新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線專題突破提升練習(xí)第26講 四邊形面積問題（解析版）

第26講四邊形面積問題參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的任意一點，過點SKIPIF1<0作雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若四邊形SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點）的面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)的取值范圍為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則雙曲線的方程為SKIPIF1<0，焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立雙曲線方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓外，且在雙曲線上，可得SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)的范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．二．填空題（共2小題）2．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為橢圓的左右焦點，過橢圓SKIPIF1<0的中心任作一直線與橢圓交于SKIPIF1<0兩點，當(dāng)四邊形SKIPIF1<0面積最大時，SKIPIF1<0的值等于7．【解答】解：因為四邊形是平行四邊形，所以，四邊形可以成兩個全等三角形的組合圖形，則SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時四邊形SKIPIF1<0面積最大，SKIPIF1<0即當(dāng)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在上下頂點時，SKIPIF1<0取最大值，四邊形SKIPIF1<0面積最大，令橢圓的實半軸為SKIPIF1<0，虛半軸為SKIPIF1<0，焦半徑為SKIPIF1<0此時，SKIPIF1<0．故答案為7．3．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別作直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點（點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方），則四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為4．【解答】解：由題意可得橢圓的焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，設(shè)平行線間的距離為SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得四邊形SKIPIF1<0為矩形，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，代入橢圓的方程可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這時SKIPIF1<0，②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，且SKIPIF1<0，由橢圓的對稱性可得SKIPIF1<0為平行四邊形，設(shè)SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓的方程SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得兩條平行線間的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：4．三．解答題（共15小題）4．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，過右焦點SKIPIF1<0作與SKIPIF1<0軸垂直的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與橢圓的交點到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上），若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0的最大值．【解答】解：（1）由已知可得SKIPIF1<0，因為直線經(jīng)過右焦點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0．（2）因為過SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上），所以設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0．得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，得當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．5．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過其右焦點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸垂直的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，橢圓SKIPIF1<0的右頂點為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若斜率為SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且與橢圓交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0的取值范圍．【解答】解：（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0（2分）（2）斜率為SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，可得直線方程為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0△SKIPIF1<0恒正，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4分）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（此處也可以用點差法：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點的坐標(biāo)SKIPIF1<0（6分）SKIPIF1<0點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離之和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0的取值范圍：SKIPIF1<0（12分）6．已知曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：直線SKIPIF1<0過定點；（2）若以SKIPIF1<0為圓心的圓與直線SKIPIF1<0相切，且切點為線段SKIPIF1<0的中點，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【解答】解：（1）證明：SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0，設(shè)切點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立兩切線方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，可化為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0；（2）法一：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為切點可得SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離即為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即有直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；法二：（2）由（1）得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．綜上，四邊形SKIPIF1<0的面積為3或SKIPIF1<0．7．如圖，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0；雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的不垂直于SKIPIF1<0軸的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點時，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．解得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的兩端，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．則四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，四邊形SKIPIF1<0面積取得最小值2．8．已知點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的焦點，SKIPIF1<0是其準(zhǔn)線SKIPIF1<0上任意一點，過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為切點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點．（Ⅰ）求焦點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，并證明直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0；（Ⅱ）求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【解答】解：SKIPIF1<0解法一：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以直線SKIPIF1<0過焦點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0解法二：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0直線方程為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0，所以交點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即直線過焦點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是增函數(shù)，則四邊形SKIPIF1<0面積的最小值為3．9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0（與SKIPIF1<0軸不重合）且交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，過SKIPIF1<0且垂直于直線SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)動點SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡可得：SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0垂直的直線SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．可得當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時，四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直時，其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0的面積為12．綜上，四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍為SKIPIF1<0．10．平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，過橢圓SKIPIF1<0右焦點的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的兩點，若四邊形SKIPIF1<0的對角線SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0面積的最大值．【解答】解：（1）直線SKIPIF1<0過橢圓的右焦點，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓的右焦點為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0；由題意，可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為1，所以SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0．11．過橢圓SKIPIF1<0右焦點的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且橢圓的長軸長為短軸長的SKIPIF1<0倍．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的兩點，若四邊形SKIPIF1<0的對角線分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0面積的最大值．【解答】解：（1）由題意知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；（2）聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．依題意可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0相交SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，最大值為SKIPIF1<0．所以四邊形SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<0．12．已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的兩點，△SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點）的面積為9，點SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0．（1）求此雙曲線的方程；（2）設(shè)點SKIPIF1<0是此雙曲線SKIPIF1<0上的任意一點，過點SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平行線交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，試證：平行四邊形SKIPIF1<0的面積為定值．（3）若點SKIPIF1<0是此雙曲線SKIPIF1<0上不同于實軸端點的任意一點，設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的變化范圍．【解答】（1）解：SKIPIF1<0雙曲線的離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知所求雙曲線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在雙曲線上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②聯(lián)立①②解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求雙曲線方程為SKIPIF1<0；（2）證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)其中一條平行SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不妨設(shè)點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（定值）；（3）解：SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0上任意一點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0軸的垂線，在SKIPIF1<0軸上方交雙曲線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線的夾角SKIPIF1<0；（2）過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0和雙曲線SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求△SKIPIF1<0的面積最小值；（3）過雙曲線SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0分別作該雙曲線兩條漸近線的平行線，它們分別交兩條漸近線于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求平行四邊形SKIPIF1<0的面積．【解答】解：（1）雙曲線SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則雙曲線的方程為SKIPIF1<0，可得雙曲線的方程為SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，可得夾角SKIPIF1<0；（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0設(shè)為SKIPIF1<0，聯(lián)立雙曲線方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，綜上可得△SKIPIF1<0的面積的最小值為SKIPIF1<0；（3）設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由平行于直線SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有行四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0．14．如圖，已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0在第一象限上的一點，且滿足SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0分別作雙曲線SKIPIF1<0兩條漸近線的平行線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與漸近線的交點分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求四邊形SKIPIF1<0的面積；（2）若對于更一般的雙曲線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0上任意一點，過點SKIPIF1<0分別作雙曲線SKIPIF1<0兩條漸近線的平行線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與漸近線的交點分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．請問四邊形SKIPIF1<0的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示該定值）；若不是定值，請說明理由．【解答】解：（1）因為雙曲線SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且與漸近線SKIPIF1<0平行的直線的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立雙曲線的方程，解得點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；（2）四邊形SKIPIF1<0的面積為定值SKIPIF1<0，理由如下：設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立，解得，即點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0（定值）．15．已知SKIPIF1<0的兩個頂點坐標(biāo)是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是坐標(biāo)原點，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（Ⅰ）求點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）若互相平行的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別過定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點的橢圓（不含左右頂點）．因為，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0．故，點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（Ⅱ）由題意可知，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，易求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．這時，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，不符合要求．當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時，可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故，SKIPIF1<0，又，兩條平行直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0間的距離SKIPIF1<0．由橢圓的對稱性知：四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，其面積SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．16．如圖，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0；雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程；（2）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的不垂直于SKIPIF1<0軸的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點時，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【解答】解：（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）因為直線SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸且過點SKIPIF1<0，故可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由聯(lián)立橢圓方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知此方程的判別式大于0．設(shè)S