2023-2024學年人教A版必修第一冊 　兩角和與差的余弦 學案

兩角和與差的余弦學習目標抬頭望青山1.能利用單位圓與向量的數(shù)量積推導證明兩角差的余弦公式.(邏輯推理)2.能利用兩角差的余弦公式與誘導公式推導證明兩角和的余弦公式.(邏輯推理)3.理解兩角和與差的余弦公式,并能利用公式解決簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡和證明問題.(數(shù)學運算)【情境導學】某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.如圖所示,在地平面上有一點A,測得A,C兩點間距離約為60米,從點A觀測電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)約為45°,∠CAB=15°,你能否求出這座電視發(fā)射塔的高度?如何用兩角的正弦、余弦值來表示兩角和與差的余弦值?兩角和與差的余弦公式簡記符號公式使用條件Cα-βcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβα,β∈RCα+βcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ思考(1)兩角和的余弦公式是怎樣由兩角差的余弦公式推導而來的?提示:在兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ中,只要用-β替換β,便可以得到兩角和的余弦公式.(2)兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征是什么?可用什么口訣記憶?提示:可簡單記為“余余正正,符號相反”,即展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展開前兩角間的符號與展開后兩項間的符號相反.【教材深化】1.對公式Cα-β和Cα+β的三點說明(1)公式的結(jié)構(gòu)特點:公式的左邊是差(和)角的余弦,右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的和(差)式,可用兩角和與差的余弦公式口訣,結(jié)構(gòu)是“余余正正,加減相反”.(2)公式的適用條件:公式中的α,β不僅可以是任意具體的角,也可以是一個“團體”,如cos(α+β2-α-β2)中的“α+β(3)公式的“活”用:公式的運算要“活”,體現(xiàn)在正用、逆用、變用.而變用又涉及兩個方面:①公式本身的變用,如cos(α-β)-cosαcosβ=sinαsinβ.②角的變用,也稱為角的變換,如cosα=cos[(α+β)-β]等.2.辨明一個易錯點利用兩角差的余弦公式解決給值求角問題時,易忽視角的范圍而導致解題錯誤.【自我小測】1.辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)cos(70°+40°)=cos70°-cos40°. (×)提示:cos(70°+40°)=cos110°≠cos70°-cos40°.(2)對于任意實數(shù)α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立. (×)提示:當α=-45°,β=45°時,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cosα-cosβ=cos(-45°)-cos45°=0,此時cos(α-β)=cosα-cosβ.再如α=0°,β=60°時也成立.(3)對任意α,β∈R,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ都成立.(√)提示:結(jié)論為兩角和的余弦公式.(4)cos30°cos60°+sin30°sin60°=1. (×)提示:cos30°cos60°+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=322.(教材改編·例4)sin70°sin40°-sin50°cos110°= ()A.12 B.-12 C.32 【解析】選C.sin50°=sin(90°-40°)=cos40°;cos110°=cos(180°-70°)=-cos70°;所以原式=sin70°sin40°+cos40°cos70°=cos(70°-40°)=cos30°=323.(教材改編·例3)已知α∈(0,π),tanα=-2,則cos(α-π4)=________【解析】由tanα=-2得sinα=-2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=15因為α∈(0,π),tanα=-2,所以α∈(π2,π),所以cosα=-55,sinα=因為cos(α-π4)=cosαcosπ4+sinαsin所以cos(α-π4)=-55×22+255答案:10類型一給角求值問題(數(shù)學運算)[例1](1)(2023·濟南高一檢測)cosπ12= (A.6+24 C.-6+24 【解析】選A.cosπ12=cos(π3-π4)=12×22+3(2)化簡下列各式:①cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);②-sin167°·sin223°+sin257°·sin313°.【解析】①原式=cos[(θ+21°)-(θ-24°)]=cos45°=22②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin13°sin43°+sin77°sin47°=sin13°sin43°+cos13°cos43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=32【總結(jié)升華】兩角和與差的余弦的一般思路及注意點(1)一般思路:①把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,正用公式直接求值.②在轉(zhuǎn)化過程中,充分利用誘導公式,構(gòu)造兩角和或差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,然后逆用公式求值.(2)注意點:在兩角和與差的余弦公式中,α,β可以是單個角,也可以是兩個角的和或差,在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體.【即學即練】1.(2023·本溪高一檢測)cos525°= ()A.-6+24 C.6-24 【解析】選A.利用誘導公式得cos525°=cos(360°+165°)=cos165°=cos(180°-15°)=-cos15°=-cos(45°-30°)=-(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=-(22×32+22×122.sin40°sin50°-cos40°cos50°等于 ()A.-1 B.1C.0 D.-cos10°【解析】選C.由兩角和的余弦公式得:sin40°sin50°-cos40°cos50°=-(cos40°cos50°-sin40°sin50°)=-cos(40°+50°)=-cos90°=0.類型二給值求值問題(數(shù)學運算)[例2](教材提升·例3)(1)(2023·沈陽高一檢測)若cos(α+β)=35,sin(β-π4)=513,α,β∈(0,π2),則cos(α+π4A.-3365 B.C.5665 D.-【解析】選C.因為(α+β)-(β-π4)=α+π所以cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)·cos(β-π4)+sin(α+β)·sin(β-因為α,β∈(0,π2),所以0<α+β<π,-π4<β-π4<π4,所以sin(α+β)=45,cos(β-所以cos(α+π4)=35×1213+45×(2)已知cosα=35,α∈(32π,2π),則cos(α-π3)【解析】因為cosα=35,α∈(32π,2π所以sinα=-45所以cos(α-π3)=cosαcosπ3+sinαsinπ3=35×12+(-45答案:3【總結(jié)升華】1.解決三角函數(shù)求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;(2)當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.2.常見的配角技巧2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+【即學即練】1.(2023·濟寧高一檢測)已知cos(α+π12)=35,α∈(0,π2),則cos(α+π3)A.3-4310 C.-210 D.【解析】選C.因為α∈(0,π2),所以α+π12∈(π12,7π12),又cos(α+π所以sin(α+π12)=1-co所以cos(α+π3)=cos=cos(α+π12)cosπ4-sin(α+π12)sinπ4=35×22-2.設α,β都是銳角,且cosα=55,sin(α+β)=35,求cosβ【解析】依題意得sinα=1-coscos(α+β)=±1-sin又α,β均為銳角,所以0<α<α+β<π,cosα>cos(α+β).因為45>55>-45,所以cos(α+β所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-45×55+35×2類型三給值求角問題(邏輯推理)[例3](1)(2023·沈陽高一檢測)若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,A.5π4 B.C.5π4或7π4 D.5π【解析】選B.因為α∈π4,π,所以2α∈π2,2π,又因為sin2α=55,所以2α∈π2,π,α∈又因為β∈π,3π2,所以β-α所以cos(β-α)=-1-sin2于是cos(α+β)=cos2α+(β-α)=cos2αcos(β-α=-255×(-31010)-55×1010=22,易得α+β∈5π4,(2)已知cosα=55,sin(β-α)=-1010,α,β均為銳角,【解析】因為α,β均為銳角,即α,β∈(0,π2)所以β-α∈(-π2,π2所以cos(β-α)=1-sin2(β-α)=3所以cosβ=cos[(β-α)+α]=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=31010×55-(-1010)×255=22,又β∈(0,π【總結(jié)升華】解決給值求角問題的步驟(1)求角的某一個三角函數(shù)值;(2)確定角的范圍;(3)根據(jù)角的范圍寫出要求的角.提醒:在根據(jù)三角函數(shù)值求角時,易忽視角的范圍而得到錯誤的答案.【即學即練】1.在△ABC中,m=(cosA,sinA),n=(cosB,-sinB),若m·n=12,則C=________【解析】由題意,在△ABC中m=cosA,sinA,因為m·n=12,即cosAcosB-sinAsinB=1cosA+B=12,A+B=π3,所以答案:2π2.已知cosα=35,cos(α-β)=7210,且0<β<α<π2,那么【解析】cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β