4-3-1 等比數(shù)列的概念（教案）- 高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第四章數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義，了解等比中項(xiàng)的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)問題.3.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.通過等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)，能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的運(yùn)算、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.

教學(xué)過程新知積累1.等比數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（顯然）.2.等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)，.3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得.所以，，，……由此可得，又，這就是說，當(dāng)時(shí)上式也成立.因此，首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為.4.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系由可知，當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列的第n項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，即，如圖所示.反之，任給指數(shù)函數(shù)（k，a為常數(shù)，，，且），則，，…，，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為.例題鞏固例1若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng).解法1：由，，得，②的兩邊分別除以①的兩邊，得，解得.把代入①，得.此時(shí)，把代入①，得.此時(shí).因此，的第5項(xiàng)是24或-24.解法2：因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.所以.因此，的第5項(xiàng)是24或-24.例2已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項(xiàng)表示.解：由題意得①，②，②的兩邊分別除以①的兩邊，得，所以.例3數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為，后三項(xiàng)的公差為，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為，，80，，.于是得，解得或.所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.例4用10000元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.（1）若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息（精確到1元）？（2）若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到）？解：（1）設(shè)這筆錢存n個(gè)月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，則是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，所以.所以12個(gè)月后的利息為（元）.（2）設(shè)季度利率為r，這筆錢存n個(gè)季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，則也是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為1+r.于是.因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為元.解不等式，得.所以當(dāng)季度利率不小于1.206%時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.例5已知數(shù)列的首項(xiàng).(1)若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列.證明：（1）由，，得的通項(xiàng)公式為.設(shè)，則.又，所以是以27為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列.(2)由，，得.兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得.所以.又，所以是首項(xiàng)為1，公差為-2的等差數(shù)列.例6某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%，從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)．以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)？解：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，.由題意知，，其中，則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是，由計(jì)算工具計(jì)算（精確到0.1）并列表如下.n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項(xiàng)以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)時(shí)，遞減，且即可.由，得，所以當(dāng)時(shí)，遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，.所以生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能控制在100個(gè)以內(nèi).課堂練習(xí)1.在等比數(shù)列中，，，則()A.512 B.1024 C.512或-512 D.1024或-1024答案：A解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以，所以.故選A.2.若某單位某年12月的產(chǎn)值是同年1月產(chǎn)值的m倍，則該單位此年產(chǎn)值的月平均增長率是().A. B. C. D.答案：C解析：設(shè)月平均增長率為x，則，所以，故選C.3.在等比數(shù)列中，若對(duì)任意，都有，則公比_________.答案：解析：由得，故，解之得.4.已知為等比數(shù)列，，，則的通項(xiàng)公式為_________.答案：或解析：，兩式相除，消去，得，解得或.小結(jié)作業(yè)小結(jié)：本節(jié)課