運動方程建立

2運動方程的建立2.1利用d’Alembert原理的直接平衡法2.2動力學普遍定律2.3哈密頓〔Hamilton〕原理2.4Lagrange運動方程2.5約束與Lagrange乘子法2.6假想振型法2.7廣義體系特性的表達式1精選ppt2.1利用d’Alembert原理的直接平衡法d’Alembert原理：任何質(zhì)量m的動量變化率等于作用在這個質(zhì)量上的力。其中p(t)作用力矢量，u為質(zhì)量m的位置矢量。對絕大多數(shù)結(jié)構動力學問題，可以認為質(zhì)量是不隨時間變化的。（2.1）（2.2）（2.3）質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力，也叫d’Alembert力，與它的加速度成正比，但方向相反。這個概念稱為d’Alembert原理。因此，本節(jié)實際為考慮慣性力的直接平衡法。2精選ppt作用在結(jié)構上的力有哪些呢？P1單層廠房受側(cè)向力作用下，發(fā)生側(cè)位移。立柱中會產(chǎn)生與平衡的水平剪力。若逐漸緩慢地撤掉，則立柱與橫梁逐漸回到平衡位置。說明結(jié)構有恢復平衡的能力，即存在彈性恢復力。若側(cè)移較小，兩個立柱在彈性范圍內(nèi)，彈性恢復力與側(cè)移成正比。（2.4）抗側(cè)移剛度3精選ppt單層廠房初始發(fā)生側(cè)移，突然撤掉作用力，橫梁會圍繞平衡位置來回振蕩。這種振蕩會永遠持續(xù)下去嗎？顯然不會，為什么？因為結(jié)構系統(tǒng)中存在能量消耗。

關于阻尼有兩種定義或理解：1）使振動衰減的作用；2）使能量耗散。在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素1〕結(jié)構在變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱“內(nèi)摩擦〞，耗散能量；2〕建筑物根底的振動引起土壤發(fā)生振動，此振動以波的形式向周圍擴散，振動波在土壤中傳播而耗散能量；輻射阻尼。3〕土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點上的摩擦和空氣阻尼等等。4精選ppt

把結(jié)構中的這種能量消耗與某種力學元器件〔阻尼器〕的能量消耗等效，那么可以用阻尼器表示這種作用。度量這種能量消耗卻異常困難。粘滯阻尼理論（2.5）粘滯阻尼力5精選ppt

振動的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對非彈性力的描述不同，目前主要有兩種阻尼理論：*粘滯阻尼理論——非彈性力與變形速度成正比*滯變阻尼理論——滯變阻尼可定義為一種與速度同相而與位移成比例的在阻尼力。

阻尼力其他公式： 總與質(zhì)點速度反向；大小與質(zhì)點速度有如下關系：1〕與質(zhì)點速度成正比〔常用，稱為粘滯阻尼〕。2〕與質(zhì)點速度平方成正比〔如在流體中運動受到的阻力〕3〕與質(zhì)點速度無關〔如摩擦力〕。6精選ppt在結(jié)構動力學上，左右等效的條件是參數(shù)合理選取。阻尼系數(shù)為c的阻尼器與原結(jié)構耗能等效這樣，單層廠房結(jié)構就可以采用質(zhì)量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)等效mc7精選pptmcmc下面采用利用d’Alembert原理的直接平衡法，研究質(zhì)量、彈簧、阻尼器系統(tǒng)的運動方程。解：（1）以小車（質(zhì)量）的水平位移為基本未知量在動荷載的作用下，小車會發(fā)生水平運動?！?〕分析小車水平方向的受力，有8精選ppt作用在小車上的力有：外力彈性恢復力阻尼力慣性力〔3〕列小車水平向平衡方程這就是單層廠房水平側(cè)移的運動方程。也是所有單自由度結(jié)構體系的運動方程。（2.6）9精選ppt慣性力的計算〔1〕平面內(nèi)質(zhì)量為m的質(zhì)點〔2〕平面內(nèi)質(zhì)量為m,邊長分別為a、b的均布質(zhì)量塊〔3〕平面內(nèi)質(zhì)量為m,半徑為r的均布質(zhì)量圓盤慣性力計算的另一種方法——直接積分法：質(zhì)量是分布的；加速度在質(zhì)量各處均不一樣，但可以采用函數(shù)表達，那么可對慣性力直接積分得到。10精選ppt一平板單位面積質(zhì)量密度為，上邊作用著一均布荷載p(t)，左上角用一彈簧系數(shù)k的水平彈簧拉著，左下角為一固定角支座，下邊的中央和右下角安置了兩個阻尼系數(shù)為c的阻尼器，水平長度為a，豎直長度為b。假定平板的運動為小變形，建立平板的運動方程。abo例2.111精選ppt解:〔1〕選定平板右下角向下位移為根本未知量u(t)〔2〕對平板進行受力分析，如下圖。o12精選ppt〔3〕列平衡方程對o點取矩，列力矩平衡方程，有整理，得簡寫為13精選ppt作業(yè)1：圖示體系為質(zhì)量均勻分布的剛性平板,其質(zhì)量密度為，試建立運動方程。彈簧4k的頂點J作豎向運動Z(t)。2b2aJ14精選ppt實際結(jié)構采用考慮慣性力的直接平衡法建立運動方程在質(zhì)量凝聚方案選定后，主要是彈簧系數(shù)問題柔度法列位移方程mEIl=1l柔度系數(shù)柔度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。15精選ppt剛度法mEIl1y剛度系數(shù)剛度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。列動力平衡方程16精選ppt例1.mEIlEIl=1l17精選ppt例2.=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/418精選ppt例3.m1EIl/3l/3l/3m2=簡記為位移向量柔度矩陣荷載向量質(zhì)量矩陣加速度向量19精選ppt圖示為三種不同支承情況的單跨梁，EI＝常數(shù)，梁的質(zhì)量m凝聚在梁的中點。作業(yè)2不考慮結(jié)構阻尼，建立三種不同支承單跨梁的運動方程。20精選ppt受理想約束的系統(tǒng)，在運動的任何瞬時，主動力與慣性力在虛位移上的元功之和為零。理想約束：如果系統(tǒng)的約束反力所做的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。如光滑面約束，光滑鉸鏈約束等在運動過程中不消耗能量的約束。主動力：非慣性力。動力學普遍定律：考慮慣性力的虛位移原理。2.2動力學普遍定律系統(tǒng)為所有約束所允許的無窮小位移。三個特點：約束允許，即滿足邊界條件；無窮小，但不為零，可以不考慮系統(tǒng)形狀的改變；虛設的，大小與方向是任意的。2.2.1虛位移21精選ppt實位移是在一定的力作用下和一定初始條件下運動而實際發(fā)生的；虛位移那么是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實位移具有明確的方向，可能是微小值，也可能是有限值。虛位移那么是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。在定常約束條件下，微小的實位移必然是虛位移之一。這是因為只有約束所允許的位移才是實際可能發(fā)生的位移。定常約束是指不隨時間變化的約束。實位移虛位移實際的可能的方向明確多個可能方向微小值，有限值微小實位移是虛位移的一種無窮小22精選ppt虛位移要滿足約束條件，因此系統(tǒng)內(nèi)的虛位移之間存在一定關系。如何尋找這種關系是虛位移原理應用的前提?！瞐〕幾何法在微小變形的理論前提下，結(jié)構位移不改變其形狀。在確定虛位移之間關系時，可不考慮結(jié)構的形狀改變，運用幾何學或運動學來求各點虛位移之間的關系?！瞓〕解析法廣義坐標：與約束條件協(xié)調(diào)，并足以標定系統(tǒng)在空間中最小的獨立物理量。廣義坐標的數(shù)目=系統(tǒng)的自由度數(shù)。2.2.2虛位移的表示方法23精選ppt如一系統(tǒng)的個廣義坐標為、、、……，那么系統(tǒng)中任意質(zhì)點的物理量〔如位移量等〕均可用個廣義坐標表示。如質(zhì)點的矢徑可表示為式中n為質(zhì)點數(shù)，k為廣義坐標數(shù)質(zhì)點i的虛位移為式中為變分符號24精選ppt變分當有無窮小增量時，相應的增量稱為函數(shù)的微分，并有其中，為函數(shù)關于時間的一階導數(shù)?，F(xiàn)在給函數(shù)的形式一個微小的改變，即改變?yōu)槠渲袨橐粺o窮小量；為的任意函數(shù)，由于函數(shù)的這一改變，將改變?yōu)樵O有一個以t為根本變量的函數(shù)25精選ppt對應于這一改變，當有一確定值時，有一個增量，設以表示，那么

稱為函數(shù)的等時變分，簡稱變分。這就是說，當基本變量不變時，由于函數(shù)本身形式的變化所引起的函數(shù)的任意改變量稱為函數(shù)的變分。由以上定義可以看出，微分和變分是性質(zhì)完全不同的兩種增量。這里還可以用圖線來說明。26精選ppt變分與微分示意圖由于函數(shù)形式發(fā)生改變而有的的增量。從圖中可以清楚地看出：微分是當改變到時，設將及用圖線來表示。的增量；變分是當不變時，27精選ppt變分與微分在概念上雖然不同，其計算方法卻是一樣的，但在計算變分時，根本變量是保持不變的。下面介紹關于變分運算的兩個規(guī)那么〔1〕由于微分變分的運算彼此無關，可以得到如下得關系式證明如下。由變分的定義有而根據(jù)導數(shù)的定義28精選ppt上式說明：變分與微分運算次序是可以互換的?！?〕同理，變分與積分得運算次序也可以互換。由此，得29精選ppt確定雙擺各點直角坐標系下的虛位移。各點的直角坐標用廣義坐標表示。廣義坐標選擇為和假設廣義坐標、的變分為、例2.230精選ppt雙擺，擺錘A、B各重、。擺桿長、設在B施加一水平力維持平衡，求擺桿與鉛垂線的夾角、。解：由虛功原理將下式代入得，例2.331精選ppt因為變分、是彼此獨立的虛位移，為任意的。則有、，于是

32精選ppt如圖所示復擺，由兩個長為2剛性桿組成。上面的剛性桿中間用一根彈簧系數(shù)為運用動力學普遍定理建立系統(tǒng)的運動方程。的水平彈簧系著。、質(zhì)量為m的均勻作業(yè)333精選ppt2.3哈密頓〔Hamilton〕原理建立結(jié)構動力方程，我們已經(jīng)講過利用達朗貝爾原理的直接平衡法和利用虛位移原理的動力學普遍定律。第一個方法直接建立矢量平衡方程式，第二個方法雖然功是標量，但用來計算功的力和位移卻是矢量。應用矢量不方便之處就是確定方向。有沒有利用標量建立結(jié)構動力方程的方法。有！這就是哈密頓原理。34精選ppt設有一局部空間〔有限大或無限大〕，當質(zhì)點占據(jù)其中一定的位置時，就受到一個力的作用，而這個力的大小和方向單一地決定于質(zhì)點的位置，那么這局部空間稱為力場。如果質(zhì)點在力場中運動，力場對質(zhì)點作用力的功，僅與質(zhì)點的起止位置有關，與路徑無關，該力場稱為勢力場或保守力場。如引力場、重力場、彈簧極限范圍內(nèi)的彈性力場都是勢力場。質(zhì)點經(jīng)過任一封閉曲線回到起點，有勢力所做的功恒等于零。

質(zhì)點在勢力場中所受的力稱為有勢力或保守力。非有勢力稱為非保守力。摩擦力、阻尼力為非保守力。一般情況下外力也是非保守力。2.3.1保守力場〔勢力場〕35精選ppt式中：——體系的總動能，——體系的總勢能，包括應變能及任何保守外力的勢能，——作用在體系上的非保守力（包括阻尼力和任意外荷）所作的功。——在指定時間內(nèi)所取的變分。在任何時間區(qū)間[，加上所考慮的非保守力所做的功的變分等于零。]內(nèi)，動能和勢能的變分2.3.2哈密頓原理36精選ppt應用這一原理可導出任何給定體系的運動方程。與虛位移原理的區(qū)別在于，不明顯使用慣性力和彈性恢復力，而分別被動能和勢能的變分項所取代。方法的優(yōu)點是只和標量有關。哈密頓原理用于靜力問題，就是最小勢能原理。此時動能消失。37精選ppt利用哈密頓原理建立彈簧—阻尼—質(zhì)量塊系統(tǒng)的動力方程。

勢能：

非保守力：外荷載、阻尼力非保守力作功代入哈密頓原理中，動能：mc例題2.438精選ppt=注意，哈密頓原理研究的是結(jié)構從時刻其位置A運動到時刻位置B的動力反應。即結(jié)構在[，]區(qū)間上除，兩時刻結(jié)構的動力反應，也就是哈密頓原理所列公式是假設初始與最后的位置已知，即u(t1)、u(t2)為已知的情況。因此

和39精選ppt這就是哈密頓原理成立的根本條件，即端點不變分。由于是任意的。所以40精選ppt2.4Lagrange運動方程只要用一組廣義坐標、、…來表示總動能、總勢能和總保守力的虛功，就可以從動力學的變分積分原理〔哈密頓原理〕中，直接推導出N個自由度體系的運動方程。大多數(shù)結(jié)構體系的動能可以用廣義坐標和它們的一階導數(shù)表示。勢能那么可以單獨用廣義坐標表示。此外，非保守力在廣義坐標的一組任意變分所引起的虛位移上所做的虛功可以表示為這些變分的線性函數(shù)，也就是非保守力作功可以用廣義坐標變分的線性組合來表示。即41精選ppt這里系數(shù)分別是對應于廣義坐標、、…的廣義力函數(shù)。代入哈密頓原理的方程中42精選ppt將動能、勢能、非保守力作功的變分代入對速度項進行分步積分由于端點不變分，即43精選ppt所有的變分是任意的，

這就是Lagrange運動方程。一般來說，勢能與廣義速度無關，記有44精選ppt

在許多系統(tǒng)中，不含非保守力，實際上是保守系統(tǒng)，那么

Lagrange方程對推導系統(tǒng)的運動方程非常有效，特別是自由度較多時。所有的運動微分方程都是從兩個標量函數(shù)和與非保守力有關的虛功得到。這些方程適應于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。Lagrange方法的主要優(yōu)點是防止了約束力的求解。45精選pptExample2.5建立以下系統(tǒng)的運動方程。解：、為廣義坐標以〔1〕選定根本未知量

勢能零點46精選ppt〔2〕系統(tǒng)的動能勢能動能〔3〕非保守力作功〔4〕代入Lagrange方程式47精選ppt

其中廣義力在廣義坐標變分上作功。本例題中廣義坐標是非保守力作功為、。48精選ppt、其變分是。非保守力作功式中對應廣義坐標變分、所對應的廣義力分別為、將上述表達式代入拉格朗日運動方程，整理得當較小時，、代入上式，并略去高階量，整理得49精選ppt重力的作用只改變平衡位置，不起恢復力作用，那么在動力學求解中，可不考慮重力作用。結(jié)構動力學可只計算動力局部位移和內(nèi)力。計算完成后再與靜力局部疊加。進行結(jié)構強度設計等。mEIl/2l/2W重力問題50精選ppt2.5約束與Lagrange乘子法通常確定一個N個自由度體系的動力反響時，、┅、但有時為了要保持運動方程得對稱性，寧可取一組的坐標、用一組廣義坐標寫出其運動方程。、、…。因為這組坐標的數(shù)目超過了體系的自由度數(shù)，所以它不是廣義坐標。由此，我們必須在體系中增加個（）約束方程。例如雙擺問題中我們?nèi)V義坐標、，我們也可以取、、、為坐標，當然還需要增加兩個約束方程。51精選ppt假設把一般情況中的m個約束方程表示成…………的形式。那么其變分為……………………52精選ppt53精選ppt在時間間隔到然后在哈密頓變分方程中上積分，加上前面的積分，得到由于變分上式中每一個大括號內(nèi)的項必然等于零，即是完全任意的，這就是Lagrange方程的修正形式54精選ppt它允許采用坐標、、…初看起來建立上式的這種方法似乎意義不大，因為在哈密頓方程中加上了一些等于零的積分項；然而應當指出的是當每一個重新組合后自然也不一定等于零。因此，Lagrange乘子法方程的建立考慮了多于廣義坐標數(shù)目的約束方程。。時，式中的每一項單項并不一定等于零。55精選ppt、、…、共方程本身有c個，加上m個約束方程，問題可解。Lagrange乘子法方程包含個未知函數(shù)，叫做Lagrange乘子。這種與時間有關的函數(shù)56精選ppt2.6假想振型法2.6.1位移形狀函數(shù)設對其進行變量別離，這種分布的相對數(shù)值不隨時間變化。是一個結(jié)構問題的位移解，反映了系統(tǒng)位移在空間上的分布，反映了系統(tǒng)位移在時間上的變化規(guī)律。我們前面講過，結(jié)構凝聚的方法有直接往結(jié)點凝聚和往振型凝聚兩種方法。這里將結(jié)構的振型凝聚問題。57精選ppt如一豎直懸臂梁的水平側(cè)移運動為這種方法，在數(shù)學是叫別離變量法。在結(jié)構動力學上就叫振型分解法。即是時間變量的函數(shù)，也是空間變量的函數(shù)。假設固定空間形狀為即整個梁按此固定形狀振動，那么梁的運動可用某點隨時間的函數(shù)表示清楚，即一般情況下，我們選擇頂點的運動。58精選ppt多個振型疊加，并配以不同的振型坐標，即不同振型梁頂點的運動函數(shù)是不同的。這樣就足以描述梁的各種運動。此時可考慮采用多個振型，共同描述梁的運動的方法。每個不同的例題具體取多少振型，完全取決于人們對求解精度的要求。有的同學會問，外荷載千變?nèi)f化，梁的變形形狀有很多種可能。用一個形狀怎么能夠表示呢？為振型數(shù)目59精選ppt60精選ppt但問題是我們現(xiàn)在是建立運動方程，并不知道結(jié)構的真實振型。怎么辦？采用假想振型。進行振型假想時應該注意以下幾點。是位移函數(shù)，反映位移的某種可能的形狀；構成一組線性無關的向量組；的連續(xù)導數(shù)的階數(shù)應滿足勢能V中所要求的階數(shù)；必須滿足所有的位移邊界條件〔可以不滿足力的邊界條件〕?！?〕〔3〕〔2〕〔4〕61精選ppt2.6.2桿的縱向振動問題〔2〕系統(tǒng)能量動能：設桿的軸向位移為勢能：〔1〕根本未知量選定在桿中取以微元體，應力在線彈性的微元體上作功等于儲存在其中的勢能。62精選ppt〔3〕非保守力作虛功代入上式，那么勢能表達式為代入非保守力作虛功表達式，得將位移變分表達式63精選ppt廣義力為〔4〕應用Lagrange方程式64精選ppt65精選ppt綜合得，66精選ppt例2.6用假想振型法確定均勻懸臂桿在端部受到的作用下的運動方程。均勻懸臂桿的唯一邊界條件為，那么形函數(shù)解：〔1〕選定振型函數(shù)振型函數(shù)須滿足邊界條件，。因此可以?。?，。這里被無量綱化，但這并不是必須的，僅僅是求解的方便。67精選ppt〔2〕計算、68精選ppt〔3〕計算廣義力非保守力作功可以理解為廣義力在廣義坐標的變分上作功。69精選ppt(4)寫出運動方程〔5〕