2023年人教版初中數(shù)學《最短路徑問題》教案（二）

2023年人教版初中數(shù)學《最短路徑問題》精華版教案（二）

【教學目標】

教學知識點

能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中

的作用;感悟轉(zhuǎn)化思想.

能力訓練要求

在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲

透數(shù)學建模的思想.

情感與價值觀要求

通過有趣的問題提高學習數(shù)學的興趣.在解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學學

習的實用性,體現(xiàn)人人都學有所用的數(shù)學.

【教學重難點】

重點:利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為"兩點之間，線段最短”問題.

難點:如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.

突破難點的方法:利用軸對稱性質(zhì)，作任意已知點的對稱點，連接對稱點和已知

點,得到一條線段，利用兩點之間線段最短來解決.

【教學過程】

一、創(chuàng)設(shè)情景引入課題

師:前面我們研究過一些關(guān)于"兩點的所有連線中，線段最短"、"連接直線外一

點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?/p>

題.現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史

中著名的"將軍飲馬問題”.

(板書)課題

學生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認識.

二、自主探究合作交流建構(gòu)新知

追問1:觀察思考，抽象為數(shù)學問題

這是一個實際問題,你打算首先做什么？

活動1:思考畫圖、得出數(shù)學問題

將A,B兩地抽象為兩個點，將河I抽象為一條直線.

追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？

師生活動:學生嘗試回答，并互相補充,最后達成共識：(1)從A地出發(fā)，到河邊I

飲馬,然后到B地;(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處,把這些地點與A,B連接起來

的兩條線段的長度之和,就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和;⑶現(xiàn)在

的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線I上的點.設(shè)C為直線上的一

個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為:當點C在I的什么位置時,AC與CB的和最小(如圖).

強調(diào):將最短路徑問題抽象為"線段和最小問題"

活動2:嘗試解決數(shù)學問題

問題1：如圖，點A,B在直線I的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在I的

什么位置時,AC與CB的和最?。?/p>

追問1你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點夕嗎?

B

問題2如圖，點A,B在直線I的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在I的

什么位置時,AC與CB的和最??？

師生活動:學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補充

如果學生有困難，教師可作如下提示

作法：

⑴作點B關(guān)于直線I的對稱點

⑵連接AB，,與直線I相交于點C,則點C即為所求.

如圖所示：

問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？

教師展示:證明:如圖,在直線I上任取一點C（與點C不重合），連接AC,BC,BC.

由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B'C,BC'=B'C.

/.AC+BC=AC+B'C=AB',

AC'+BC'=AC'+B'C.

在△AC'B'中,

AC'+B'C^AB',

...當只有在C點位置時,

AC+BC最短.

R

方法提煉：

將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題

問題4

練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客,然后將

游客送往河岸BC上,再返回P處,請畫出旅游船的最短路徑.

基本思路:由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ,線段PQ為旅游船最短

路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為"點P,Q在直線

BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點R,使PR與QR的和最小”.

問題5造橋選址問題

如圖,A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使

從A到B的路徑AMNB最短?（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

思維分析:1.如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是

AM+MN+BN,那么怎樣確定什么情況下最短呢？

2.利用線段公理解決問題:我們遇到了什么障礙呢?

M

思維點撥:在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢?什么圖形變換能

幫助我們呢?（估計有以下方法）

1.把A平移至U岸邊.

2.把B平移到岸邊.

3.把橋平移到和A相連.

4.把橋平移到和B相連.

教師:上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢?請檢驗.

1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢?把A或B分別向下或上平移一個橋長，那么怎

樣確定橋的位置呢？

問題解決:如圖，平移A到Ai,使AAi等于河寬，連接AiB交河岸于N.作橋MN,此時

路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋MiNi,連接AMi,BNiANi.由平移性質(zhì)可

知,AM=AIN,AAI=MN=MINI,AMI=AINI.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AAi+AiB,而

AMi+MiNi+BNi轉(zhuǎn)化為AAi+AiNi+BNi.在△AiNiB中,由線段公理知AiNi+BNi>AiB.

因止匕AMi+MiNi+BNi>AM+MN+BN,如圖所示：

三、鞏固訓練

（一）基礎(chǔ)訓練

1.最短路徑問題

⑴求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要連接這兩

點，與直線的交點即為所求.

如圖所示，點A,B分別是直線屏側(cè)的兩個點，在I上找一個點C,使CA+CB最短，這

時點C是直線I與AB的交點.

(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要找到其中

一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所

求.

如圖所示，點A,B分別是直線I同側(cè)的兩個點，在I上找一個點C,使CA+CB最短，這

時先作點B關(guān)于直線I的對稱點B：則點C是直線I與AB，的交點.

2.如圖,A和B兩地之間有兩條河,現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別

建在何處才能使從A到B的路徑最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河岸垂

直)

*R

如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+QB.橋MN和PQ在中間，且方向不

能改變，仍無法直接利用"兩點之間，線段最短"解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到

兩側(cè)或同一側(cè).平移的方法有三種:兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN

平移到A點處,PQ平移到B點處.

V

（二）變式訓練

如圖，小河邊有兩個村莊A,B,要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水.

（1）若要使廠部到A,B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？

（2）若要使廠部到A,B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？

（三）綜合訓練

茅坪民族中學八⑵班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排（圖中的

AO,BO）,AO桌面上擺滿了橘子,0B桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘

子再拿糖果,然后到D處座位上，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程

最短?

（）