（小白高考）新高考數(shù)學(零基礎)一輪復習教案8.3《圓的方程及綜合問題》 (原卷版)

頁第三節(jié)圓的方程第1課時系統(tǒng)知識牢基礎——圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系知識點一圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2．點與圓的位置關系點M(x0，y0)，圓的標準方程(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2.理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關系三種情況(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq\a\vs4\al(＝)r2?點在圓上(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq\a\vs4\al(>)r2?點在圓外(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq\a\vs4\al(<)r2?點在圓內[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結構都認為是圓，一定要先判斷D2＋E2﹣4F的符號，只有大于0時才表示圓．3．謹記常用結論若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：(1)當F＝0時，圓過原點．(2)當D＝0，E≠0時，圓心在y軸上；當D≠0，E＝0時，圓心在x軸上．(3)當D＝F＝0，E≠0時，圓與x軸相切于原點；E＝F＝0，D≠0時，圓與y軸相切于原點．(4)當D2＝E2＝4F時，圓與兩坐標軸相切．[重溫經典]1．圓x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圓心坐標是()A．(2,3)B．(﹣2,3)C．(﹣2，﹣3)D．(2，﹣3)2．圓心坐標為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝23．方程x2＋y2＋mx﹣2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是()A．(﹣∞，﹣eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B．(﹣∞，﹣2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C．(﹣∞，﹣eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D．(﹣∞，﹣2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)4．若點(1,1)在圓(x﹣a)2＋(y＋a)2＝4的內部，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(﹣1,1)B．(0,1)C．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)D．a＝±15．已知圓C經過A(5,2)，B(﹣1,4)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為____________．6．已知圓C經過點A(1,3)，B(4,2)，且與直線2x＋y﹣10＝0相切，則圓C的標準方程為________________．知識點二直線與圓的位置關系1．直線與圓的位置關系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點Δeq\a\vs4\al(<)0Δ＝0Δeq\a\vs4\al(>)0幾何觀點d>rdeq\a\vs4\al(＝)rd<r2．圓的切線(1)過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)(y﹣b)＝r2.(2)過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.(3)切線長①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).[提醒]過一點求圓的切線方程時，要先判斷點與圓的位置關系，以便確定切線的條數(shù)．3．圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因為半弦長eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|.4．謹記常用結論過直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.[重溫經典]1．直線l：x﹣y＋1＝0與圓C：x2＋y2﹣4x﹣2y＋1＝0的位置關系是()A．相離B．相切C．相交且過圓心D．相交但不過圓心2．若直線x﹣y＋1＝0與圓(x﹣a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1,3]C．[﹣3,1]D．(﹣∞，﹣3]∪[1，＋∞)3．圓C：x2＋y2﹣2x＝0被直線y＝eq\r(3)x截得的線段長為()A．2B.eq\r(3)C．1D.eq\r(2)4．圓x2＋y2﹣4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y﹣2＝0B．x＋eq\r(3)y﹣4＝0C．x﹣eq\r(2)y＋4＝0D．x﹣eq\r(3)y＋2＝05．設直線x﹣y＋a＝0與圓x2＋y2＋2x﹣4y＋2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則a＝()A．﹣1或1B．1或5C．﹣1或3D．3或56．已知直線l與圓x2＋y2﹣4y＝0相交于A，B兩點，且線段AB的中點P坐標為(﹣1,1)，則直線l的方程為__________．知識點三圓與圓的位置關系1．圓與圓的位置關系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內切內含圖形量的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1﹣r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1﹣r2|d＜|r1﹣r2|[提醒]涉及兩圓相切時，沒特別說明，務必要分內切和外切兩種情況進行討論．2．謹記常用結論圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2)．[重溫經典]1．圓O1：x2＋y2﹣2x＝0和圓O2：x2＋y2﹣4y＝0的位置關系是()A．相離B．相交C．外切D．內切2．圓C1：(x﹣m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y﹣m)2＝4外切，則m的值為()A．2B．﹣5C．2或﹣5D．不確定3．圓x2＋y2＝8與圓x2＋y2＋4x﹣16＝0的公共弦長為()A．8B．4C．2D．14．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y﹣2＝0與圓C2：x2＋y2﹣4x﹣2y＋4＝0的公切線有()A．1條B．2條C．3條D．4條5．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay﹣6＝0(a>0)的公共弦的長為2eq\r(3)，則a＝________.6．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y﹣a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________.第2課時精研題型明考向——圓的方程、直線與圓的位置關系一、真題集中研究——明考情1．已知圓x2＋y2﹣6x＝0，過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()A．1B．2C．3D．42．若直線l與曲線y＝eq\r(x)和圓x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，則l的方程為()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)3．直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x﹣2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6]B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)]D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)][把脈考情]常規(guī)角度1.圓的方程．主要考查圓的方程的求法，圓的最值問題2.直線與圓的位置關系．主要考查圓的切線方程、圓的弦長問題創(chuàng)新角度與三角形(或四邊形)結合求面積問題，與向量、三角函數(shù)交匯考查最值或范圍問題二、題型精細研究——提素養(yǎng)題型一求圓的方程[典例](1)已知圓M與直線3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝﹣x﹣4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1(2)一個圓與y軸相切，圓心在直線x﹣3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2eq\r(7)，則該圓的方程為_______________________________________________________．[方法技巧]1．求圓的方程的2種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．2．確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．[針對訓練]1．已知直線l：3x﹣4y﹣15＝0與圓C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋5﹣r2＝0(r>0)相交于A，B兩點，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝6，則圓C的標準方程為()A．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝25B．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝36C．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝16D．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝492．已知圓C的圓心是直線x﹣y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與圓(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝8相外切，則圓C的方程為______________．題型二弦長問題[典例](1)若a，b，c是△ABC三個內角的對邊，且csinC＝3asinA＋3bsinB，則直線l：ax﹣by＋c＝0被圓O：x2＋y2＝12所截得的弦長為()A．4eq\r(6)B．2eq\r(6)C．6D．5(2)過點(1,1)的直線l與圓(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝9相交于A，B兩點，當|AB|＝4時，直線l的方程為__________．[方法技巧]解決有關弦長問題的常用方法及結論幾何法如圖所示，設直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA﹣yB|(其中k≠0)．特別地，當k＝0時，|AB|＝|xA﹣xB|；當斜率不存在時，|AB|＝|yA﹣yB|，當直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距構成直角三角形，在解題時，要注意把它和點到直線的距離公式結合起來使用[針對訓練]1．已知圓C：(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝3及直線l：ax＋y﹣2a﹣2＝0，當直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為________．2．函數(shù)f(x)＝xlnx＋a的圖象在x＝1處的切線被圓C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0截得的弦長為2，則實數(shù)a的值為________．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、綜合練——練思維敏銳度1．圓(x﹣2)2＋y2＝4關于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的圓的方程是()A．(x﹣eq\r(3))2＋(y﹣1)2＝4B．(x﹣eq\r(2))2＋(y﹣eq\r(2))2＝4C．x2＋(y﹣2)2＝4D．(x﹣1)2＋(y﹣eq\r(3))2＝42．過點(2,1)的直線中被圓(x﹣1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長最大的直線方程是()A．3x﹣y﹣5＝0B．3x＋y﹣7＝0C．x＋3y﹣5＝0D．x﹣3y＋5＝03．過點(﹣4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x﹣4y﹣20＝0交于A，B兩點，若|AB|＝8，則直線l的方程為()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x﹣12y＋20＝0D．5x﹣12y＋20＝0或x＋4＝04．已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2﹣6y＋6＝0相交于A，B兩點，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為()A．1B．±1C.eq\r(3)D．±eq\r(3)5．已知圓(x﹣2)2＋y2＝1上的點到直線y＝eq\r(3)x＋b的最短距離為eq\r(3)，則b的值為()A．﹣2或2B．2或4eq\r(3)＋2C．﹣2或4eq\r(3)＋2D．﹣4e