第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性?1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）.CONTENTS0102/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破01?

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則：（1）若

f'（x）＞0

?，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）若

f'（x）＜0

?，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；（3）若恒有

f'（x）＝0

?，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù).提醒

討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.f'（x）＞0

f'（x）＜0

f'（x）＝0

?1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f'（x）＞0.

（

）答案：（1）×

（2）如果f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）＝0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性.

（

）（3）若函數(shù)f（x）在定義域上都有f'（x）＞0，則f（x）在定義域上一定單調(diào)遞增.

（

）答案：（2）√

答案：（3）×2.如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象，則下列判斷正確的是

（

）A.在區(qū)間（－2，1）上f（x）單調(diào)遞增B.在區(qū)間（1，3）上f（x）單調(diào)遞減C.在區(qū)間（4，5）上f（x）單調(diào)遞增D.在區(qū)間（3，5）上f（x）單調(diào)遞增解析：C

在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在區(qū)間（4，5）上單調(diào)遞增.

?1.若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上遞增，則f'（x）≥0，所以“f'（x）＞0在（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（減）的充要條件是?x∈（a，b），f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.?1.（多選）（2023·貴陽(yáng)一模）下列選項(xiàng)中，在R上是增函數(shù)的有

（

）A.f（x）＝x4B.f（x）＝x－sinxC.f（x）＝xexD.f（x）＝ex－e－x－2x

2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函數(shù)，則a的最大值是

?.

解析：f'（x）＝3x2－a，由結(jié)論1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），∴a≤3，即a的最大值是3.答案：302?證明（判斷）函數(shù)的單調(diào)性【例1】

（1）（2022·北京高考·節(jié)選）

已知函數(shù)f（x）＝exln（1＋x），設(shè)g（x）＝f'（x），討論函數(shù)g（x）在[0，＋∞）上的單調(diào)性；

（2）已知函數(shù)f（x）＝lnx－a（x＋1），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

｜解題技法｜討論函數(shù)f（x）單調(diào)性的步驟（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f'（x）的正負(fù)，由符號(hào)確定f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性.提醒

研究含參函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.?

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

已知函數(shù)f（x）＝aex－2－x，其中a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法（1）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)方程f'（x）＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，依照實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間f'（x）的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間；（3）若導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f'（x）的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f'（x）的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.提醒

若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”隔開(kāi).?

A.（－3，1）B.（0，1）C.（－1，3）D.（0，3）

2.已知定義在區(qū)間（－π，π）上的函數(shù)f（x）＝xsinx＋cosx，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是

?.

函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用考向1

比較大小【例3】

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f'（x），且f（x）·f'（x）＞x恒成立，則

（

）A.f（1）＜f（－1）B.f（1）＞f（－1）C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜

答案

D｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)比較大小的策略利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.考向2

解不等式

A.（－∞，－2）∪（1，＋∞）B.（2，＋∞）C.（－∞，－1）∪（2，＋∞）D.（－1，2）

答案

C

（1）若函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

所以a＞－1.即a的取值范圍是（－1，＋∞）.（2）若函數(shù)f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

｜解題技法｜已知單調(diào)性求解參數(shù)范圍的步驟（1）對(duì)含參數(shù)的函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得到f'（x）；（2）若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則f'（x）≥0恒成立；若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則f'（x）≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；（3）驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號(hào)時(shí)，是否恒有f'（x）＝0.若f'（x）＝0恒成立，則函數(shù)f（x）在（a，b）上為常數(shù)函數(shù)，舍去此參數(shù)值.?

2.設(shè)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－cosx，則不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集為（

）A.（－∞，1）D.（1，＋∞）解析：D

根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－cos

x，此時(shí)有f'（x）＝ex＋sin

x＞0，則f（x）在[0，＋∞）上為增函數(shù)，又f（x）