相似三角形常見模型總結(jié)

第一部分相似三角形模型分析相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行） （二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：雙垂型：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。8字型拓展共享性一線三等角的變形一線三直角的變形第二部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE∥CD交CA延長線于E．求證：．ACDEB例2：已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)E在中線ADACDEB求證：（1）；（2）．例3：已知：如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分別交AD、AC于E、F．求證：．相關(guān)練習(xí)：1、如圖，已知AD為△ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線．求證：．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分線，∠C=90°，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點(diǎn)N。求證：(1)△AME∽△NMD;(2)ND=NC·NB3、已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一點(diǎn)，CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB4.在中，AB=AC，高AD與BE交于H，，垂足為F，延長AD到G，使DG=EF，M是AH的中點(diǎn)。求證：5．（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）、（3）小題滿分各5分）ACBPDE（第25題圖）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD=∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為xACBPDE（第25題圖）（1）求證：AE=2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．雙垂型1、如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如圖，已知銳角△ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別是27和3，DE=6，求：點(diǎn)B到直線AC的距離。共享型相似三角形1、△ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,∠DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等邊三角形的邊長.2、已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求證：（1）△ABE∽△ACD；（2）．一線三等角型相似三角形CCADBEF例1：如圖，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°（1）求證：△BDE∽△CFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE例2：（1）在中，，，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.①若點(diǎn)在線段上（如圖），且，求線段的長；②若，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABCABC備用圖ABC備用圖ABCPQABCD正方形的邊長為（如下圖），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，求出線段的長.ABCDABABCDABCD例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．CDABP（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPCCDABP①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長．（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫出AP的長．例4：如圖，在梯形中，∥，，．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，射線交腰于點(diǎn)，射線交腰于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）求證：△∽△；（2）若△是以為腰的等腰三角形，求的長；（3）若，求的長．相關(guān)練習(xí)：1、如圖，在△ABC中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．ABCDE(1)求證：△ABCDE(2)如果，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說明△ADE是什么三角形，并說明理由．2、如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一點(diǎn)，BD=2，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作，射線EF交線段AC于F．（1）求證：△DBE∽△ECF；（2）當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求線段BE的長；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△DEF與△DBE相似，求FC的長．3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．（1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；（2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；EDCBAP（第2EDCBAP（第25題圖）EEDCBA（備用圖）4、如圖，已知邊長為的等邊，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以線段為邊向右側(cè)作等邊，直線交直線于點(diǎn)，（1）寫出圖中與相似的三角形；（2）證明其中一對(duì)三角形相似；（3）設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；備用圖（4）若，試求的面積．備用圖一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過點(diǎn)P作，交邊AB于點(diǎn)E,設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。例2、在中，是AB上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交線段BC于點(diǎn)Q，（不與點(diǎn)B,C重合），設(shè)，試求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域?！揪毩?xí)1】在直角中，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線AC于點(diǎn)F（1）、求AC和BC的長（2）、當(dāng)時(shí)，求BE的長。（3）、連結(jié)EF,當(dāng)和相似時(shí)，求BE的長?！揪毩?xí)2】在直角三角形ABC中，是AB邊上的一點(diǎn)，E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（與A,C不重合），與射線BC相交于點(diǎn)F.(1)、當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：(2)、當(dāng)，求的值（3）、當(dāng)，設(shè),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域【練習(xí)4】]如圖，在中，，，，是邊的中點(diǎn)，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作，交射線于點(diǎn)．設(shè)，的面積為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）如果以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的面積.【練習(xí)