第三章泛函分析初步

《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》1第三章：泛函分析初步(參閱教材Ch6)(Fundamentalsoniii)30∈W,使0+X=X注：1)加法封閉+數(shù)乘封閉?VX,eW,Va,EC,有3)span{X,X?……×,}為由X,,X…×,張成(生成)的線性空間?！缎盘?hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》2子空間?對(duì)VX,Y∈MVa,β∈C,有aX+βYeV。4定義(距離空間，Metricspace):設(shè)W≠②,稱W為距離空間，指在W中定義了映射：p(X.Y)W×W→R,(含0正實(shí)數(shù)),i)p(X,Y)≥0,且p(X,Y)=0?X=Y(正定性)4定義(柯西序列Cauchy《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》第二.度量空間(W.p)不要求W是線性空間!ii)|laX||=|a||X|VaeC(正齊性)《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》44范數(shù)舉例：(長度概念的推廣——廣義長度)(為2范數(shù)，稱為歐氏范數(shù)。◆例2:離散時(shí)間(信號(hào))序列空間1,無窮維向量特別地，定義無窮范數(shù)：特別地，定義無窮范數(shù)：《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》54離散序列空間的Minkovski不等式：等號(hào)成立條件為：4連續(xù)函數(shù)空間的Minkovski不等式：則不等成蘇i(D≤:p<x4定理(I”空間包含定理):低次方可和的離散序列必高次方可和，即Icl2c.cF《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》6重重其中rū.Ispsa.Norm)。4定義(弱收斂，如第一章的廣義極限):依泛函收斂。注：強(qiáng)收斂→弱收斂。C[a,b]上的函數(shù)x(1),其p次方[R]不可積，如p=I的情況。方[L]可積。則4Banach空間包含定理：若1≤p≤q≤o,則7L[a,b]gL'[a,b]VX,Y,Z∈W,λ∈C(數(shù)域),均有一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為84定義(內(nèi)積空間):定義了內(nèi)積的空間為內(nèi)積空間。H表示共軛轉(zhuǎn)置?！鬾維平方可積復(fù)連續(xù)函數(shù)空間《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》9分子≥0積空間稱為Hilbert空間。換言之：若內(nèi)積空間作為導(dǎo)出范數(shù)下的一個(gè)4Cauchy-Schwarz不等式：W為內(nèi)積空間，VX,Y∈W,有取說明：1)在Holder不等式中，取p=q=2,就成為Cauchy-Schwarz不等式。2)在U”空間中，有Cauchy-Schwarz不等式：《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》3.線性泛函：4定義(算子——Operator):X1Y為線性空間，算子：圖3-1算子的映射作用4定義(數(shù)域——NumberField):包括0、1且對(duì)四則運(yùn)算封閉的集合。4定義(泛函——Functional):值域是實(shí)/復(fù)數(shù)域的算子稱為泛函。注：定積分，距離，范數(shù)，內(nèi)積，δ函數(shù)(第三種定義),(普通)函數(shù)均為泛函。4定義(線性算子):X,Y為線性空間，T:X→Y,若對(duì)則T為線性算子。4定義(線性泛函):線性算子T的值域?yàn)閷?shí)/復(fù)數(shù)集。注：1)距離、范數(shù)是泛函，但非線性泛函；2)連續(xù)線性算子：T|x?-x?→0,n→m→|Tx,-Tx?→0,n《信號(hào)與系統(tǒng)》第三章：泛函分析初步《信號(hào)與系統(tǒng)》圖3-2連續(xù)線性泛函的映射作用3)對(duì)線性算子：有界連續(xù)；定義(有界線性算子):設(shè)算子T:X→Y(L,S)3M>0,使ITX|y≤M||X|l.成立，則稱T為有界線性算子。4)內(nèi)積為連續(xù)線性泛函；,$3.6完備規(guī)范正交集上廣義傅里葉展開4定義(集合正交):若X,YcW,對(duì)VX∈X,VYεY,有X⊥Y,則稱集合X與集合Y正交，記為：X⊥Y。4定義(正交補(bǔ)):VcW,V的正交補(bǔ)v+={X∈W|X⊥V},顯然：4定義(規(guī)范正交完備集V):即正交集中每個(gè)元的范數(shù)均為1。2.正交投影——OrthogonalProjection:4定義(正交投影):W是Hilbert空間，V