高中數(shù)學(xué)講義-極坐標(biāo)與參數(shù)方程

中國知名教育品牌考試輔導(dǎo)專業(yè)機(jī)構(gòu)極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、教學(xué)目標(biāo) 本次課是一堂新課，通過本次課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生理解極坐標(biāo)和參數(shù)方程的概念等基礎(chǔ)知識，掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，掌握一般常見曲線和直線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。深刻理解參數(shù)方程所代表的數(shù)學(xué)思想——換元思想?？季V解讀極坐標(biāo)和參數(shù)方程是新課標(biāo)考綱里的選考內(nèi)容之一，只有理科生選學(xué)。在每年的高考試卷中，極坐標(biāo)和參數(shù)方程都是放在一道填空題中，與平面幾何作為二選一的考題出現(xiàn)的。由于極坐標(biāo)是新添的內(nèi)容，考綱要求比較簡單，所以在考試中一般以基礎(chǔ)題出現(xiàn)，不會有很難的題目。三、知識點回顧（一）曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：1．過定點（x0，y0），傾角為α的直線：（t為參數(shù)）其中參數(shù)t是以定點P（x0，y0）為起點，對應(yīng)于t點M（x，y）為終點的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點P與點M間的有向距離．根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論．eq\o\ac(○,1)．設(shè)A、B是直線上任意兩點，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則＝＝．eq\o\ac(○,2)．線段AB的中點所對應(yīng)的參數(shù)值等于．2．中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：（為參數(shù)）3．中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的橢圓：（為參數(shù)）（或）中心在點（x0,y0）焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4．中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的雙曲線：（為參數(shù)）（或）5．頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：（t為參數(shù)，p＞0）直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點P（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．（三）極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)的任意一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對(ρ,θ)就叫做點M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2、極坐標(biāo)有四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位及它的方向．極坐例題講解1、已知一條直線上兩點、，以分點M（x，y）分所成的比為參數(shù)，寫出參數(shù)方程。2、直線(t為參數(shù))的傾斜角是A．B．C．D．3、方程（t為非零常數(shù)，為參數(shù)）表示的曲線是()A．直線B．圓C．橢圓D．雙曲線4、已知橢圓的參數(shù)方程是（為參數(shù)），則橢圓上一點P(，)的離心角可以是A．B．C．D．5、把彈道曲線的參數(shù)方程化成普通方程．6、將下列數(shù)方程化成普通方程．①，②，③，④，⑤．eq\o\ac(○,6)eq\o\ac(○,7)7、直線3x－2y＋6=0，令y=tx＋6（t為參數(shù)）．求直線的參數(shù)方程．8、已知圓錐曲線方程是若t為參數(shù)，為常數(shù)，求該曲線的普通方程，并求出焦點到準(zhǔn)線的距離；若為參數(shù)，t為常數(shù)，求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。9、在圓x2＋2x＋y2=0上求一點，使它到直線2x＋3y－5=0的距離最大．10、在橢圓4x2＋9y2=36上求一點P，使它到直線x＋2y＋18=0的距離最短（或最長）．11、已知直線；l：與雙曲線（y-2）2-x2=1相交于A、B兩點，P點坐標(biāo)P(-1，2)。求：（1）|PA|.|PB|的值；（2）弦長|AB|;弦AB中點M與點P的距離。12、已知A（2,0）,點B,C在圓x2+y2=4上移動，且有求重心G的軌跡方程。13、已知橢圓和圓x2+(y-6)2=5,在橢圓上求一點P1,在圓上求一點P2,使|P1P2|達(dá)到最大值，并求出此最大值。14、已知直線l過定點P(-2,0),與拋物線C:x2+y-8=0相交于A、B兩點。（1）若P為線段AB的中點，求直線l的方程；（2）若l繞P點轉(zhuǎn)動，求AB的中點M的方程.15、橢圓上是否存在點P，使得由P點向圓x2+y2=b2所引的兩條切線互相垂直？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。16、在同一極坐標(biāo)系中與極坐標(biāo)M（－2,40°）表示同一點的極坐標(biāo)是（）（A）（－2,220°）（B）(－2,140°)（C）(2,－140°)（D）(2,－40°)17、已知△ABC的三個頂點的極坐標(biāo)分別為A(4，0°),B(－4,－120°),C(2＋2,30°)，則△ABC為()。（A）正三角形（B）等腰直角三角形（C）直角非等腰三角形（D）等腰非直角三角形18、在直角坐標(biāo)系中，已知點M(－2，1)，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)極角在(－π，π]內(nèi)時，M點的極坐標(biāo)為（）（，π－argtg(－)）（B）（－，argtg(－)（C）（－，π－argtg）（D）（，－π＋argtg）19、把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)。20、把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)。21、已知正三角形ABC中，頂點A、B的極坐標(biāo)分別為，試求頂點C的極坐標(biāo)。22、化圓的直角方程x2+y2-2ax=0為極坐標(biāo)方程。23、化圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程。24、討論下列問題：（1）在極坐標(biāo)系里，過點M（4，30°）而平行于極軸的直線的方程是（）（A）＝2（B）＝－2（C）（D）（2）在極坐標(biāo)系中，已知兩點M1(4，arcsin)，M2(－6，－π－arccos(－))，則線段M1M2的中點極坐標(biāo)為（）（A）(－1，arccos)（B）(1,arcsin)（C）(－1，arccos(－))（D）(1,－arcsin)（3）已知P點的極坐標(biāo)是(1,π)，則過點P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是（）。（A）ρ=1（B）ρ＝cosθ（C）ρcosθ=－1（D）ρcosθ=1（4）若ρ>0,則下列極坐標(biāo)方程中，表示直線的是（）。（A）θ=（B）cosθ=(0≤θ≤π)（C）tgθ=1（D）sinθ=1(0≤θ≤π)（5）若點A(－4,π)與B關(guān)于直線θ=對稱，在ρ>0,－π≤θ<π條件下，B的極坐標(biāo)是。（6）直線ρcos(θ－)=1與極軸所成的角是。（7）直線ρcos(θ－α)=1與直線ρsin(θ－α)=1的位置關(guān)系是。（8）直線y=kx＋1(k<0且k≠－)與曲線ρ2sinθ－ρsin2θ＝0的公共點的個數(shù)是（）。（A）0（B）1（C）2（D）325、討論下列問題；（1）圓的半徑是1，圓心的極坐標(biāo)是(1,0)，則這個圓的極坐標(biāo)方程是（）。（A）ρ＝cosθ（B）ρ＝sinθ（C）ρ＝2cosθ（D）ρ＝2sinθ（2）極坐標(biāo)方程分別是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個圓的圓心距是（）。（A）2（B）（C）1（D）（3）在極坐標(biāo)系中和圓ρ=4sinθ相切的一條直線方程是（）（A）ρsinθ=2（B）ρcosθ=2（C）ρsinθ=4（D）ρcosθ=4（4）圓＝Dcosθ－Esinθ與極軸相切的充分必要條件是（）（A）D·E＝0（B）D2＋E2＝0（C）D＝0，E≠0（D）D≠0，E＝0（5）圓2sinθ－2cosθ的圓心的極坐標(biāo)為。（6）若圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，則這個圓的面積是。（7）若圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，則這個圓的直角坐標(biāo)方程為。（8）設(shè)有半徑為4的圓，它在極坐標(biāo)系內(nèi)的圓心的極坐標(biāo)為(－4,0)，則這個圓的極坐標(biāo)方程為。26、當(dāng)a、b、c滿足什么條件時，直線與圓相切？27、試把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并就m值的變化討論曲線的形狀。