復半正定條件的推廣

復半正定條件的推廣

0半正定性條件分析矩陣的正定性理論在許多學科中得到了廣泛應(yīng)用，但矩陣的正定性需要對矩陣的半正定性進行補充。因此，對矩陣半正定性的研究非常重要。兩個復半正定矩陣的和必是復半正定矩陣,然而,兩個復半正定矩陣的乘積未必是半正定的,因此,研究在怎樣的條件下,復半正定矩陣的乘積仍是復半正定矩陣,就顯得很有必要。本文就此問題進行了討論,結(jié)合矩陣的特征值及矩陣是復半正定矩陣或半正定Hermite矩陣的相關(guān)結(jié)果,得到了矩陣乘積半正定性的幾個條件。用Cn×n表示復數(shù)域C上n階矩陣集合,Cn×1表示復數(shù)域上n維列向量的集合,AH表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置,λ(A)表示A的特征值,ReZ表示復數(shù)Z的實部。?A∈Cn×n均有A=H(A)+S(A),其中H(A)=(A+AH)/2,S(A)=(A-AH)/2分別稱為矩陣A的Hermite部分與反Hermite部分。1復半定矩陣ha定義1設(shè)A∈Cn×n,若對任意的非零列向量X∈Cn×1,有Re(XHAX)≥0,則稱A為復半定矩陣。引理1A是復半正定矩陣,當且僅當H(A)是半正定Hermite矩陣。引理2若A,B是n階復矩陣,且AB=BA,則A,B有公共的特征向量。2ab是復半定理矩陣定理1設(shè)A∈Cn×n,B∈Cn×n是半正定Hermite矩陣,且AB=BA,則AB是半正定Hermite矩陣。證明由引理2易知,A,B與AB有公共的特征向量。設(shè)λ為AB的任意一個特征值,非零向量x是屬于λ的特征向量,μ是B的某一特征值,所對應(yīng)的特征向量也為x。由特征值與特征向量的定義,有(AB)X=λx,(AB)x=A(Bx)=A(μx)=μ(Ax)。因此,有μ(Ax)=λx。1)當μ≠0時,Ax=λμ-1x,此式說明λμ-1是A的特征值。由A,B是半正定Hermite矩陣,有λμ-1≥0,μ>0,易知λ≥0;2)當μ=0時,λx=0,而x為非零向量,所以,λ=0。由(1)(2),得λ≥0。因此,AB是半正定Hermite矩陣。定理2設(shè)A是n階復半正定矩陣,B是n階半正定Hermite矩陣,且AB=BA,則AB是復半正定矩陣。證明H(AB)=[AB+(AB)H]/2=[AB+(BA)H]/2=[AB+AHB]/2=H(A)B。同理,可得H(BA)=BH(A)。因而,有H(A)B=BH(A)。而A是復半正定矩陣,由引理1,得H(A)是半正定Hermite矩陣,由于B是半正定Hermite矩陣,再由定理1,得H(A)B是半正定Hermite矩陣,因此,AB是復半正定矩陣。在定理2中,若B是復半正定矩陣,則H(B)是半正定Hermite矩陣,因而有如下結(jié)論。推論1設(shè)A與B是n階復半正定矩陣,且AH(B)=H(B)A,則AH(B)是復半正定矩陣。定理3設(shè)A與B是n階復半正定矩陣,且矩陣H(A)與H(B),H(A)與S(B),S(A)與H(B),S(A)與S(B)分別是可交換的,若S(A)S(B)的特征值全為非負實數(shù),則AB是復半正定矩陣。證明設(shè)A=H(A)+S(A),B=H(B)+S(B),有而H(A)H(B)+S(A)S(B)=[(A+AH)(B+BH)+(A-AH)(B-BH]/4=[AB+(BA)H]/2,由定理條件知AB=BA,故H(A)H(B)+S(A)S(B)=H(AB)。同理,可得H(A)S(B)+S(A)H(B)=S(AB)。再由定理條件及定理1,得H(A)H(B)是半正定Hermite矩陣。又S(A)S(B)為Hermite矩陣,且S(A)S(B)的特征值全為非負實數(shù),則S(A)S(B)為半正定Hermite矩陣,所以,H(AB)為半正定Hermite矩陣。因此,AB是復半正定矩陣。推論2設(shè)A是n階復半正定矩陣,且為正規(guī)矩陣,若S2(A)的特征值全為非負實數(shù),則A2是復半正定矩陣。證明A為正規(guī)矩陣,則AAH=AHA,H(A)S(A)=[A2-(AH)2]/4=S(A)H(A)。再根據(jù)定理3,取B=A,得A2是復半正定矩陣。上述的定理1,2,3為充分條件,當A,B是正規(guī)矩陣時,我們有下面的充要條件。定理4設(shè)A∈Cn×n,B∈Cn×n是正規(guī)矩陣,且AB=BA,則AB是復半正定矩陣的充要條件是Reλ(AB)≥0。證明A,B是正規(guī)矩陣,且AB=BA,則存在一個酉矩陣U∈Cn×n,有UHAU=diag(λ1,λ2,…,λn),UHBU=diag(μ1,μ2,…,μn)其中λi與μi(1≤i≤n)是A與B的特征值,且λi與μi對應(yīng)的有公共的特征向量。而UHABU=(UHAU)(UHBU)=diag(λ1μ1,λ2μ2,…,λnμn),故AB也是正規(guī)矩陣,且λiμi(1≤i≤n)為AB的特征值,也有UH(AB)HU=diag(λ1μ1ˉˉˉˉˉˉˉ,λ2μ2ˉˉˉˉˉˉˉ,?,λnμnˉˉˉˉˉˉˉ)UΗ(AB)ΗU=diag(λ1μ1ˉ,λ2μ2ˉ,?,λnμnˉ)。因而,H(UHABU)=[UHABU+(UHABU)H]/2=[UHABU+UH(AB)HU]/2=diag(Re(λ1μ1),Re(λ2μ2),…,Re(λnμn))。所以,AB是復半正定矩陣,當且僅當UHABU是復半正定矩陣,當且僅當H(UHABU)的特征值Re(λiμi)(1≤i≤n)均為非負實數(shù)即Reλ(AB)≥0。在定理4中,取B=En,即得。推論3設(shè)A∈Cn×n是正規(guī)矩陣,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,則A是復半正定矩陣的充要條件是Re(λi)≥0,i=1,2,…,n。當A是正規(guī)矩陣時,Ak是正規(guī)矩陣,而λkiik是Ak的特征值,由推論3即得。推論4設(shè)A∈Cn×n是正規(guī)矩陣,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,則對任意的正整數(shù)k,Ak是復半正定矩陣的充要條件是Re(λkiik)≥0,i=1,2,…,n。推論5設(shè)A∈Cn×n是正規(guī)矩陣,B是n階Hermite正定矩陣,且AB=BA,則AB是復半正定矩陣的充要條件是A是復半正定矩陣。證明B為Hermite正定矩陣,則B為正規(guī)矩陣,且B的特征值為正實數(shù)。設(shè)λi與μi(1≤i≤n)是A與B的特征值,且λi與μi對應(yīng)的有公共的特征向量。再由定理4及推論3,得AB為復半正定矩陣,當且僅當Reλ(AB)≥0即Re(λiμi)=μiRe(λi)≥0(1≤i≤n),當且僅當Re(λi)≥0(1≤i≤n),當且僅當A為復半正定矩陣。注:若推論5中B為n階半正定Hermite矩陣,則此推論結(jié)論中的必要性不再成立,因為此時B的特征值μi(1≤i≤n)為非負實數(shù)。4復半測定矩陣累積的半正定性本文利用可交換矩陣特征值的相關(guān)結(jié)果及矩陣