新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗學(xué)案新人教A版選擇性必修第三冊

8．3列聯(lián)表與獨立性檢驗學(xué)習(xí)目標(biāo)1．基于2×2列聯(lián)表，通過實例了解獨立性檢驗的基本思想．2．掌握獨立性檢驗的基本步驟．3．能利用條形圖、列聯(lián)表探討兩個分類變量的關(guān)系．4．了解χ2的含義及其應(yīng)用．5．會用獨立性檢驗解決簡單的實際問題．核心素養(yǎng)1．通過學(xué)習(xí)獨立性檢驗的基本思想，提升邏輯推理素養(yǎng)．2．借助χ2公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．3．借助條形圖，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．4．通過利用獨立性檢驗解決實際問題，提升數(shù)據(jù)分析能力.知識點1分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量：用來區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的_隨機變量__，其取值可以用實數(shù)表示．(2)2×2列聯(lián)表：如果隨機事件X與Y的樣本數(shù)據(jù)如下表格形式Y(jié)＝0Y＝1合計X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d在這個表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．練一練：下面是一個2×2列聯(lián)表：XY合計Y＝0Y＝1X＝0a2173X＝182533合計b46則表中a，b處的值分別為(C)A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,52[解析]因為a＋21＝73，所以a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.知識點2獨立性檢驗(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0,1}的成對分類變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對立事件，故要判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關(guān)聯(lián)，需要判斷假定關(guān)系_H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)__是否成立．通常稱H0為零假設(shè)．(2)獨立性檢驗：利用隨機變量χ2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．(3)公式：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(4)對照表及檢驗規(guī)則：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828當(dāng)χ2≥xα?xí)r就推斷“X與Y不獨立”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，可以認(rèn)為“X與Y獨立”．練一練：根據(jù)表格計算：性別不看電視看電視男3785女35143χ2≈_4.514__(保留3位小數(shù))．[解析]χ2＝eq\f(300×(37×143－85×35)2,122×178×72×228)≈4.514.題|型|探|究題型一列聯(lián)表與等高堆積條形圖典例1某學(xué)校對高三學(xué)生做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張．性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高堆積條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系．[解析]作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向合計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)所占的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)．[規(guī)律方法]1.利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間關(guān)系的步驟(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響．2．利用等高條形圖判斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟微提醒：等高堆積條形圖的缺點是不能給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率．對點訓(xùn)練?為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對病人組和對照組的尿液做尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下表．問：鉛中毒病人組和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別？尿棕色素合計陽性數(shù)陰性數(shù)鉛中毒病人組29736鉛中毒對照組92837合計383573[解析]由上述列聯(lián)表可知，在鉛中毒病人組中尿棕色素為陽性的約占80.56%，而鉛中毒對照組僅約占24.32%.說明它們之間有較大差別．畫出等高堆積條形圖如圖所示．由列聯(lián)表及等高堆積條形圖可知，鉛中毒病人組與對照組相比較，尿棕色素為陽性數(shù)差別明顯，因此鉛中毒病人組和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有明顯差別．題型二獨立性檢驗典例2某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[分析](1)根據(jù)列聯(lián)表，用頻率代替概率，可分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；(2)求出χ2的值，與臨界值表對比可得結(jié)論．[解析](1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.8；女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為eq\f(30,50)＝0.6.(2)χ2＝eq\f(100×(40×20－30×10)2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異．[規(guī)律方法]解決獨立性檢驗問題的基本步驟對點訓(xùn)練?2024年春季，某出租汽車公司決定更換一批小汽車以代替原來報廢的出租車，現(xiàn)有A，B兩款車型的使用壽命(單位：年)頻數(shù)表如下：使用壽命/年5678總計A型出租車/輛10204525100B型出租車/1)填寫下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為出租車的使用壽命與汽車車型有關(guān)；使用壽命不高于6年使用壽命不低于7年總計A型B型總計(2)司機師傅小李準(zhǔn)備在一輛開了4年的A型車和一輛開了4年的B型車中選擇，為了盡最大可能實現(xiàn)3年內(nèi)(含3年)不換車，試通過計算說明，他應(yīng)如何選擇？[解析](1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：使用壽命不高于6年使用壽命不低于7年總計A型3070100B型5050100總計80120200所以χ2＝eq\f(200×(50×70－30×50)2,100×100×80×120)≈8.333.查表可得P(χ2≥6.635)＝0.01，由于8.333>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為出租車的使用壽命與汽車車型有關(guān)．(2)記事件A為“小李選擇A型車，3年內(nèi)(含3年)不換車”，事件B為“小李選擇B型車，3年內(nèi)(含3年)不換車”，所以P(A)＝eq\f(25,100)＝0.25，P(B)＝eq\f(10,100)＝0.1，因為P(A)>P(B)，所以小李應(yīng)選擇A型車．題型三獨立性檢驗的綜合應(yīng)用典例3某校鼓勵即將畢業(yè)的大學(xué)生到西部偏遠(yuǎn)地區(qū)去支教，校學(xué)生就業(yè)部針對即將畢業(yè)的男、女生是否愿意到西部支教進行問卷調(diào)查，得到的情況如下表所示：性別支教合計愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合計70100(1)完成上述2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析愿意去西部支教是否與性別有關(guān)？(3)若在接受調(diào)查的所有男生中按照“是否愿意去支教”進行分層抽樣，隨機抽取10人，再在10人中抽取3人進行面談，記面談的男生中，不愿意去支教的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及數(shù)學(xué)期望．[分析](2)根據(jù)列聯(lián)表求出χ2和相應(yīng)的頻率，從而分析是否與性別有關(guān)；(3)由超幾何分布公式求出相應(yīng)的分布列，計算出數(shù)學(xué)期望．[解析](1)2×2列聯(lián)表如下：性別支教合計愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合計7030100(2)零假設(shè)H0：支教與性別相互獨立，即是否愿意去西部支教與性別無關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝eq\f(100×(300－800)2,50×50×30×70)≈4.762>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為是否愿意去西部支教與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算，女生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為eq\f(30,50)＝0.6，eq\f(20,50)＝0.4；男生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為eq\f(40,50)＝0.8，eq\f(10,50)＝0.2.由eq\f(0.4,0.2)＝2可見，女生不愿意去支教的頻率是男生不愿意去支教的頻率的2倍．于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為女生不愿意去支教的概率明顯大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明顯與性別有關(guān)．(3)由題意，抽取的10人中有8人愿意去西部支教，2人不愿意去西部支教，于是ξ＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).[規(guī)律方法]解決一般的獨立性檢驗問題的步驟：對點訓(xùn)練?某地為了調(diào)查市民對“一帶一路”倡議的了解程度，隨機選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進行問卷調(diào)查，并通過問卷的分?jǐn)?shù)把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類，數(shù)據(jù)如表所示.年齡/歲[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]調(diào)查人數(shù)30302515了解“一帶一路”倡議人數(shù)1228155(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點對“一帶一路”倡議的了解有差異；(結(jié)果精確到0.001)年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計了解不了解合計(2)以頻率估計概率，若在該地選出4名市民(年齡在20歲至60歲)，記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附：α0.150.100.050.0250.010xα2.0722.7063.8415.0246.635χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.[分析](1)由表格讀取信息，年齡低于40歲的共60人，年齡不低于40歲的共40人，填寫2×2列聯(lián)表，再把數(shù)據(jù)代入χ2公式計算；(2)在總體未知的市民中選取4人，由頻率估計概率得出選出的每位市民是了解“一帶一路”倡議的概率，可知隨機變量X服從二項分布．[解析](1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表：年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計了解402060不了解202040合計6040100χ2＝eq\f(100×(40×20－20×20)2,60×40×60×40)≈2.778>2.706，故有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點對“一帶一路”倡議的了解有差異．(2)由(1)知市民了解“一帶一路”倡議的概率為eq\f(60,100)＝eq\f(3,5)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5))).X的所有可能取值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(16,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(96,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(216,625)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3×eq\f(2,5)＝eq\f(216,625)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4＝eq\f(81,625)，則X的分布列為X01234Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)E(X)＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5)，D(X)＝4×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).1．判斷兩個分類變量是彼此相關(guān)還是相互獨立的常用的方法中，最為精確的是(B)A．殘差 B．獨立性檢驗C．等高堆積條形圖 D．回歸分析[解析]用獨立性檢驗考查兩