2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 8-4-1平面 學(xué)案

8.4.1平面【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(2)能用符號語言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．(3)掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實(shí)．【問題探究】(1)生活中的一些物體給我們以平面的感覺，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的大草原等，你能說出平面的一些幾何特征嗎？(2)在凹凸不平的地面上放一個三條腿的凳子和一個四條腿的凳子，哪個穩(wěn)定？若把直尺邊緣上的任何兩點(diǎn)放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系？兩張紙面相交有幾條交線？題型1文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化例1用符號表示下列語句，并畫出圖形：(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)但在平面β外；(2)直線a經(jīng)過平面α內(nèi)一點(diǎn)A，平面α外一點(diǎn)B；(3)直線a在平面α內(nèi)，也在平面β內(nèi)．學(xué)霸筆記：(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形．(1)l?α，m∩α＝A，A?l；(2)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.題型2點(diǎn)、線共面問題例2如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.題后師說證明點(diǎn)、線共面的2種常用方法跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α題型3點(diǎn)共線問題例3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求證：D，A，Q三點(diǎn)共線．題后師說證明三點(diǎn)共線的方法跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P、Q題型4線共點(diǎn)問題例4如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為AB、AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．題后師說證明三線共點(diǎn)的一般步驟跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l隨堂練習(xí)1．若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的圖形是()2．如果點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，則可以表示為()A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈α3．如圖所示，用符號語言可表示為()A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝B．α∩β＝m，n∈α，m∩nC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．不重合的三條直線，若相交于一點(diǎn)，最多能確定________個平面．課堂小結(jié)1.平面的概念．2．三個基本事實(shí)．3．利用三個基本事實(shí)證明共面、共線、共點(diǎn)問題．8．4.1平面問題探究提示：(1)無限延展、不計大小、不計厚薄等．(2)三條腿的凳子穩(wěn)定；直尺的邊緣上的其余點(diǎn)在桌面上；兩張紙面相交有一條交線．例1解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在平面α內(nèi)但在平面β外，所以可以用下圖表示：(2)因?yàn)橹本€a經(jīng)過平面α內(nèi)一點(diǎn)A，α外一點(diǎn)B，所以可以用下圖表示：(3)因?yàn)橹本€a在平面α內(nèi)，也在平面β內(nèi)，所以可以用下圖表示：跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如下圖所示：(2)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α上一點(diǎn)Q，如下圖所示：例2證明：方法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．跟蹤訓(xùn)練2證明：因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個平面β，所以直線a?β，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α.又因?yàn)閍?α，P?a，所以α與β重合，所以PQ?α.例3證明：MN∩EF＝Q，∴Q∈直線MN，Q∈直線EF，又∵M(jìn)∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直線AD，即D，A，Q三點(diǎn)共線．跟蹤訓(xùn)練3證明：方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實(shí)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點(diǎn)共線．方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點(diǎn)共線．例4證明：連接EF，D1C，A1B，∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B，EF＝12A1B又∵A1B∥D1C，A1B＝D1C，∴EF∥D1C，EF＝12D1C∴E、F、D1、C四點(diǎn)共面，且四邊形EFD1C為梯形．∵EF<D1C，∴直線D1F與CE交于一點(diǎn)．設(shè)D1F∩CE＝P，如圖．∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又∵CE?平面ABCD，P∈CE，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)．又∵平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練4證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB與CD必交于一點(diǎn)，設(shè)AB交CD于M.則M∈AB，M∈CD，又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共點(diǎn)．[隨堂練習(xí)]1．解析：選項(xiàng)B、C中直線a在平面α外，選項(xiàng)D中直線a與平面α相交，選項(xiàng)A中直線a在平面α內(nèi)．故選A.答案：A2．解析：點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α.故選B.答案：B3．