【數(shù)學(xué)】天津市五所重點高中2024屆高三上學(xué)期聯(lián)考試題（解析版）

天津市五所重點高中2024屆高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，故選：B．2.設(shè)命題：，，則的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】命題：，，的否定為：，，故選：A.3.函數(shù)的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，，其在單調(diào)遞增，C，D錯誤；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，B錯誤，A正確.故選：A4.直線，則“或”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意，當(dāng)直線時，滿足，解得，所以“或”是“”的必要不充分條件，故選B.5.設(shè)a=2.10.3，b=log43，c=log21.8，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A B. C. D.【答案】B【解析】a=2.10.3＞2.10=1，∵，c=log21.8，且＜2，∴b＜c＜1．∴a＞c＞b．故選B．6.已知是等差數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由可得，整理可得，解得，，所以，，則，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，.故選：A.7.木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為1的正方形，且，均為正三角形，，，則該木楔子的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，分別過點A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，則由題意等腰梯形全等于等腰梯形，則.取的中點O，連接，因為，所以，則，∴.因為，，所以，因為四邊形為正方形，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，同理可證平面，∴多面體的體積，故選：D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.C.不等式的解集為D.將的圖象向右平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點代入，得，又，所以，故，故A錯誤；所以，故B錯誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因為，故D錯誤.故選：C.9.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有6個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A B.(C. D.【答案】A【解析】根據(jù)，作出的大致圖象如下：由圖可知：當(dāng)時，此時由兩個根，分別為，當(dāng)時，此時有4個交點，當(dāng)時，此時有3個交點，當(dāng)時，此時有2個交點，故要使得由6個不同的零點，則令，有6個不同的實數(shù)根，顯然不是的根，設(shè)的兩個零點分別為，且，故當(dāng)時，此時有4個交點，有2個交點，滿足題意，故需要滿足，解得，當(dāng)時，此時有3個交點，有3個交點，滿足題意，故需要滿足，解得，綜上可得或故選：A.二、填空題10.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為________【答案】【解析】所以復(fù)數(shù)的虛部為故答案為：.11.已知圓和圓，則圓與圓的公共弦的弦長__________．【答案】【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以，滿足兩圓相交有公共弦，兩圓公共弦所在直線方程為兩圓方程作差得：，即，所以圓心到直線的距離，則公共弦長為.故答案為：.12.曲線在處的切線的傾斜角為，則______．【答案】【解析】由，則，所以，所以故答案為：．13.定義在上的函數(shù)滿足，且時，，則________【答案】【解析】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，由可得，故函數(shù)的周期為4，所以，因為，所以..故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性及對數(shù)的運算法則，考查邏輯推理能力、運算求解能力.14.若，，且，則的最小值為________；此時_________.【答案】9【解析】因為，所以.因為，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為9，此時.故答案為：9；.15.如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，則實數(shù)的值為__________，若M，N是線段BC上的動點，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，所以；建立如圖所示的坐標(biāo)系，因為，，，可得，設(shè)，因為，則，所以，，當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，故答案為：,.三、解答題16.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由余弦定理得，∴．（2）由正弦定理，得，解得．∵，∴A為銳角，∴，∴．（3）由（2）可得，∵，∴．17.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角余弦值；（3）設(shè)為棱上的點（不與，重合），且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.（1）證明：因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，，所以，，.因為，.所以，又，平面，平面.所以平面.（2）解：設(shè)平面的法向量，由（1）可知，設(shè)平面的法向量因為，.所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角銳角，所以二面角的余弦值為.（3）解：設(shè)，即.所以，即.因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.18.已知圓C經(jīng)過點和，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過點，且l與圓C相切，求直線l的方程．（3）為圓上任意一點，在（1）的條件下，求的最小值.解：（1）因為圓心C在直線上，所以設(shè)圓C的圓心C(a,a+1),半徑為r(r>0)，所以圓的方程為，因為圓C經(jīng)過點和，所以，即解得所以圓C的方程為;（2）由題意設(shè)直線l的方程為或，當(dāng)l的方程為時，驗證可知l與圓C相切；當(dāng)l的方程為，即時,圓心C到直線l的距離為，解得，所以l的方程為，即.所以直線l的方程為或.（3）由（1）知圓心為,半徑為5，則圓心與點的距離為，因為可以看作圓上任意一點與點的距離的平方，所以的最小值為.19.已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項.（1）求數(shù)列和通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項公式，求數(shù)列的前項和；（3）求.解：（1）由題意得，解得或（不合題意，舍去），所以，又，所以，所以.（2）設(shè)奇數(shù)項的和為，，設(shè)偶數(shù)項的和為，所以.（3），所以.20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明；（3）若不等式恰有兩個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.（1）解：由題意，得的定義域為．若，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，在取得最大值，最大值為，所以等價于，即設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以當(dāng)時，，從而當(dāng)時，，即．（3