2023-2024學(xué)年山東省菏澤市一中系列高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat17頁(yè)2023-2024學(xué)年山東省菏澤市一中系列高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線與直線互相平行，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，則，解得.故選：A.2．已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，則AB的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，易知當(dāng)與直線垂直時(shí)滿足題意，求出點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】如下圖所示：

易知當(dāng)與直線垂直，且為垂足時(shí)，的值最小；此時(shí)的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即.故選：C3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程后可求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】拋物線方程為：，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，故選：C.4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)拋物線方程寫出其準(zhǔn)線方程，再利用拋物線定義即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A5．已知p：，q：關(guān)于x，y的方程表示圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由方程表示圓得出參數(shù)的范圍，然后再判斷出是的充分不必要條件.【詳解】關(guān)于x，y的方程表示圓等價(jià)于，即，顯然由可推出，反之由不能的到（可能是）故是的充分不必要條件.故選：A.6．點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直線所過(guò)定點(diǎn)，再由點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，點(diǎn)到直線的距離的最大值求解.【詳解】解：直線可化為：，由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為：，故選：B7．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，動(dòng)點(diǎn)A在橢圓上，B為橢圓的上頂點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最大值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化周長(zhǎng)為，結(jié)合，即得解.【詳解】由題意，橢圓，其中，，由于點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，故，周長(zhǎng)為，其中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)取得等號(hào)，，即，故周長(zhǎng)最大值為12.故選：C8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線方程得點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，設(shè)右焦點(diǎn)為到右準(zhǔn)線的距離是，根據(jù)準(zhǔn)線方程即可得，從而得到當(dāng)垂直于右準(zhǔn)線時(shí)，取得最小值，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，即可求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由雙曲線知，，，，所以右焦點(diǎn)為，離心率，右準(zhǔn)線方程是，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，設(shè)右焦點(diǎn)為，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是，則，所以，所以，當(dāng)垂直于右準(zhǔn)線時(shí)，取得最小值，此時(shí)可設(shè)，因?yàn)槭请p曲線上的一點(diǎn)，代入雙曲線方程可得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B二、多選題9．已知圓，則（

）A．點(diǎn)在圓的內(nèi)部 B．圓的直徑為2C．過(guò)點(diǎn)的切線方程為 D．直線與圓相離【答案】ACD【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找到圓心和半徑，利用直線和圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】A:將點(diǎn)代入圓：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故A正確；B:圓的半徑為，所以直徑為，故B錯(cuò)誤；C:將代入圓：，所以點(diǎn)在圓上，過(guò)圓上的一點(diǎn)做圓的切線有且只有一條，當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的直線為，滿足，故只有唯一的切線方程，故C正確；D:圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故D正確.故選：ACD.10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線，則（

）A．離心率為2B．漸近線方程為C．實(shí)軸長(zhǎng)為2D．右焦點(diǎn)到漸近線的距離為【答案】ABD【分析】根據(jù)雙曲線方程確定的值，即可一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】由雙曲線的方程可得，，，，所以，，，實(shí)軸長(zhǎng)，離心率，所以A正確，C不正確，所以，漸近線方程為，所以B正確，因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，不妨取漸近線，即，則到漸近線距離為，所以D正確.故選：ABD.11．2021年3月30日，小米正式開(kāi)始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo（如圖所示），設(shè)計(jì)師的靈感來(lái)源于曲線．當(dāng)時(shí)，下列關(guān)于曲線的判斷正確的有（

）A．曲線關(guān)于軸和軸對(duì)稱B．曲線所圍成的封閉圖形的面積小于8C．設(shè)，直線交曲線于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)小于8D．曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)用替換，不變，得方程不變，用替換，不變，得方程不變，可判斷A正確；根據(jù)曲線的范圍，可判斷B正確；先得到橢圓在曲線內(nèi)(除四個(gè)交點(diǎn)外)，再根據(jù)橢圓的定義可判斷C不正確；利用兩點(diǎn)間的距離公式、三角換元和三角函數(shù)知識(shí)求出最大值，可判斷D正確；【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線：，對(duì)于A，用替換，不變，得，即，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；用替換，不變，得，即，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，由，得，，所以曲線在由直線和所圍成的矩形內(nèi)（除曲線與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)外），所以曲線所圍成的封閉圖形的面積小于該矩形的面積，該矩形的面積為，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于曲線和橢圓，設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，因?yàn)椋?，所以，所以橢圓在曲線內(nèi)(除四個(gè)交點(diǎn)外)，如圖：設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于，易知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，，，所以的周長(zhǎng)為，由圖可知，的周長(zhǎng)不小于，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)曲線上的點(diǎn)，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，因?yàn)?，所以設(shè)，，，則，其中，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，取得最大值.故D正確；故選：ABD12．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)圓滿結(jié)束.根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓：和橢圓：的離心率相同，且.則下列正確的是（

）A．B．C．如果兩個(gè)橢圓，分別是同一個(gè)矩形（此矩形的兩組對(duì)邊分別與兩坐標(biāo)軸平行）的內(nèi)切橢圓（即矩形的四條邊與橢圓均有且僅有一個(gè)交點(diǎn)）和外接橢圓，則D．由外層橢圓的左頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓分別作兩條切線（與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線叫橢圓的切線）與交于兩點(diǎn)，的右頂點(diǎn)為，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】BCD【分析】由離心率相同及已知得到、，即可判斷A、B；由在橢圓上得到，進(jìn)而判斷C；根據(jù)對(duì)稱性確定的坐標(biāo)，結(jié)合斜率兩點(diǎn)式得判斷D.【詳解】A：由且，則，即，故錯(cuò)誤；B：由，得，則，所以，故正確；C：滿足橢圓方程，又，則，所以，，故正確；D：由對(duì)稱性知：、關(guān)于軸對(duì)稱，，，，，，，則，，故正確.故選：BCD.三、填空題13．若直線l的一個(gè)方向向量是，則直線l的傾斜角是．【答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率，然后可求直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€l的方向向量為，所以直線的斜率為，即直線的傾斜角的大小是.故答案為：.14．若圓與圓相切，則a的值為.【答案】或或【分析】討論兩圓為內(nèi)切或外切兩種情況，利用圓心距離與兩圓半徑的關(guān)系列方程求參數(shù)a即可.【詳解】由的圓心為，半徑為1；的圓心為，半徑為5，∴若兩圓內(nèi)切，則，即；若兩圓外切，則，即.故答案為：或或.15．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為.【答案】6【解析】由橢圓方程得到F，O的坐標(biāo)，設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算將·轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值求解.【詳解】由橢圓＋＝1，可得F(－1，0)，點(diǎn)O(0，0)，設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，當(dāng)x＝2時(shí)，·取得最大值6.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用以及橢圓的幾何性質(zhì)和二次函數(shù)求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.四、雙空題16．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線：（）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)（點(diǎn)在拋物線內(nèi)）射入，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過(guò)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則直線的斜率為；若，且平分，則.【答案】02【分析】①設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，求出的坐標(biāo)，寫出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線的斜率；②由平分推導(dǎo)角的關(guān)系得出，即，根據(jù)弦長(zhǎng)公式寫出方程，求出結(jié)果.【詳解】依題意直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，．因?yàn)?，所以，．因?yàn)橹本€的方程為，所以直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，所以直線的斜率為0．②因?yàn)槠椒?，所以，所以．因?yàn)?，所以，即所以，得．故答案為：?；②2.五、解答題17．已知點(diǎn)、．(1)求線段的垂直平分線的直線方程；(2)若點(diǎn)、到直線的距離相等，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出直線的斜率與線段的中點(diǎn)，即可求出線段的垂直平分線的方程；（2）求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，分兩種情況討論，一是點(diǎn)在直線上，二是直線與直線平行，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：線段的中點(diǎn)為，，故線段的中垂線的方程為，即.（2）解：由條件線段的中點(diǎn)為在直線上或線段所在直線與直線平行，若線段的中點(diǎn)為在直線上，則，解得；線段所在直線與直線平行，則，解得．綜上所述，或.18．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線的斜率為1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出橢圓方程，結(jié)合長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率概念求解出的值，根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，并注意判別式，根據(jù)弦長(zhǎng)公式列出關(guān)于參數(shù)的方程，從而結(jié)果可求.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，所以，，解得，所以，所以.（2）根據(jù)題意可得，則，且，則，又，所以，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．19．小徐同學(xué)在平面直角坐標(biāo)系畫了一系列直線（）和以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖所示，他發(fā)現(xiàn)這些直線和對(duì)應(yīng)同一值的圓的交點(diǎn)形成的軌跡很熟悉．

(1)求上述交點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交此軌跡于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且，軌跡上一點(diǎn)在直線的左側(cè)，求三角形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)已知列方程組，消參即可得軌跡方程；（2）先設(shè)直線的方程，再和拋物線聯(lián)立方程組得兩根和及兩根積，最后結(jié)合向量關(guān)系及面積公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)交點(diǎn)為（2）

設(shè)直線為，，，，，，，，，，直線：，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為所以20．如圖，已知圓，點(diǎn)．(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與圓相切的直線l的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）分類討論，斜率不存在時(shí)，直接檢驗(yàn)，斜率存在時(shí)設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求得參數(shù)后得切線方程．（2）求出點(diǎn)的軌跡為圓，求得圓心和半徑后，求得點(diǎn)到圓心距離后可得的取值范圍．【詳解】（1）由已知，，過(guò)點(diǎn)斜率不存在的直線為，它與圓相切，符合題意，斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，切線方程為，即，綜上，切線方程為或；（2），所以在圓內(nèi)部，是弦中點(diǎn)，則，當(dāng)不重合或不重合時(shí)，，所以點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓．圓心坐標(biāo)為，半徑為，又，所以．21．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，的兩條漸近線分別與直線交于，兩點(diǎn)，且的長(zhǎng)度恰好等于點(diǎn)到漸近線距離的倍.(1)求雙曲線的離心率；(2)已知過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若對(duì)于雙曲線上任意一點(diǎn)，均存在實(shí)數(shù)，，使得，試確定，的等量關(guān)系式.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，不妨取一條漸近線，則，∴，又到的距離，∴，即，∴.（2）由（1）知，，∴，∴，∴雙曲線，即，則，直線，由消去可得，設(shè)，，則由韋達(dá)定理可得，，設(shè)，則由可得，由點(diǎn)在雙曲線上可得，即，∵，，∴.22．如圖，已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（?。┣笞C：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）求△面積的取值范圍.【答案】（?。┒c(diǎn)（1，0）（ⅱ）故△OA1B的面積取值范圍是【分析】（Ⅰ）根據(jù)焦點(diǎn)和等邊三角