熱點(diǎn)04 冪的運(yùn)算與整式乘法的7種題型（解析版）

熱點(diǎn)04冪的運(yùn)算與整式乘法的7種題型冪的運(yùn)算：熟記同底數(shù)冪的乘法、除法、冪的乘方與積的乘方法則，理解零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義；期末試卷中通常會(huì)考察2~3道小題和1道大題，大多數(shù)情況下，選擇題第1題為冪的四種運(yùn)算，解答題第1題為冪的混合運(yùn)算（涉及冪的四種運(yùn)算以及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪），選擇題和填空題中會(huì)有1道小題考察科學(xué)記數(shù)法——表示較小的數(shù)；（1）對(duì)于零指數(shù)冪，要注意任何不為0的數(shù)的0次方都等于1，0的0次方是不存在的；（2）對(duì)于負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，要嚴(yán)格根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算，若底數(shù)是分?jǐn)?shù)，則只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)；（3）對(duì)于冪的混合運(yùn)算，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似。整式乘法：熟記多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，牢記完全平方公式和平方差公式；期末試卷中通常會(huì)考察2道小題和1~2道大題，大多數(shù)情況下，解答題第3題為整式的混合運(yùn)算——化簡(jiǎn)求值題（涉及完全平方公式和平方差公式）；（1）對(duì)于多項(xiàng)式×多項(xiàng)式的題，必須按一定的順序進(jìn)行，做到不重不漏；（2）對(duì)于涉及完全平方公式和平方差公式的題，要注意靈活變通，公式中的字母可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，部分題目中可能會(huì)涉及“整體”思想，即需要將復(fù)雜單項(xiàng)式或多項(xiàng)式看作一個(gè)整體使問題簡(jiǎn)單化，此時(shí)應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來；（3）對(duì)于整式的混合運(yùn)算——化簡(jiǎn)求值題，必須先化簡(jiǎn)后求值，化簡(jiǎn)時(shí)，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，且能用公式的優(yōu)先用公式展開?！绢}型1冪的運(yùn)算及逆用】1．（2022·臨沂·二模）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【詳解】解：．，不合題意；．，符合題意；．，不合題意；．，不合題意．故本題選：．2．（2022·南京·期末）下列運(yùn)算中，正確的是A． B． C． D．【詳解】解：選項(xiàng)，原式，不合題意；選項(xiàng)，原式，不合題意；選項(xiàng)，原式，不合題意；選項(xiàng)，原式，符合題意．故本題選：．3．（2022·宿遷·期末）已知，且，則的最小值為A．9 B．10 C．11 D．12【詳解】解：，，，，．，，，解得：，，的最小值為：．故本題選：．4．（2022·南通·期末）已知，，則的值為A． B． C．432 D．216【詳解】解：．故本題選：．5．（2022·靈寶·期末）若，，則可表示為．（用含、的代數(shù)式表示）【詳解】解：，，．故本題答案為：．6．（2023·無錫·期中）計(jì)算：．【詳解】解：原式．故本題答案為：．7．（2022·揚(yáng)州·期末）小明和小紅在計(jì)算時(shí)，分別采用了不同的解法．小明的解法：，小紅的解法：．請(qǐng)你借鑒小明和小紅的解題思路，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）已知滿足，求的值．【詳解】解：（1），，原式；（2），，，，，．【題型2零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪】1．（2022·泰興·期末）的值為A．1 B． C．2022 D．【詳解】解：的值為1．故本題選：．2．（2022·鹽城·期末）為整數(shù)，則下列運(yùn)算結(jié)果不是1的為A． B． C． D．【詳解】解：由于是整數(shù)，，不合題意；由于是整數(shù)，是偶數(shù)，所以，不合題意；由于，所以，不合題意；由于是整數(shù)，是奇數(shù)，所以，符合題意．故本題選：．3．（2023·渭南·一模）若代數(shù)式：的值等于1，則的值等于．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)（不合題意）；當(dāng)時(shí)，解得：，又，則，此時(shí)；綜上，或．故本題答案為：3或．4．（2022·連云港·期末）算式可以表示為A． B． C． D．【詳解】解：．故本題選：．5．（2022·鎮(zhèn)江·期末）我們知道：，，，，那么接近于A． B． C． D．【詳解】解：，，，．故本題選：．【題型3科學(xué)記數(shù)法——表示較小的數(shù)】1．（2022·南通·期末）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【詳解】解：．故本題選：．2．（2022·南京·模擬）某種病毒顆粒平均直徑約為0.000000125，數(shù)據(jù)0.000000125用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【詳解】解：0.000000．故本題選：．【題型4冪的混合運(yùn)算】1．（2022·徐州·期末）計(jì)算：（1）；（2）．【詳解】解：（1）；（2）．2．（2022·南京·模擬）計(jì)算：（1）；（2）．【詳解】解：（1）；（2）．【題型5整式的乘法運(yùn)算——多項(xiàng)式×多項(xiàng)式】1．（2022·蘇州·期末）若的結(jié)果中不含項(xiàng)，則的值為A．0 B．2 C． D．【詳解】解：，結(jié)果中不含項(xiàng)，，解得：．故本題選：．2．（2022·連云港·期末）若的積中不含的二次項(xiàng)，則的值是A． B． C．1 D．2【詳解】解：，積中不含的二次項(xiàng)，，．故本題選：．3．若，則．【詳解】解：，，，，解得：，，．故本題答案為：15．【題型6整式的乘法運(yùn)算——乘法公式及變形】1．（2022·鹽城·期末）圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖2形式拼成一個(gè)正方形，那么中間陰影部分的面積為A． B． C． D．【詳解】解：方法一：圖2中四個(gè)長(zhǎng)方形的面積的和圖1的長(zhǎng)方形的面積，圖2的大正方形的面積，圖2中陰影部分的面積圖2的大正方形的面積圖2中四個(gè)長(zhǎng)方形的面積的和．方法二：圖中陰影部分是正方形，且四個(gè)邊長(zhǎng)都是，陰影部分的面積．故本題選：．2．（2022·無錫·期末）下列各式運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【詳解】解：，故錯(cuò)誤，不合題意；，故錯(cuò)誤，不合題意；，故錯(cuò)誤，不合題意；，故正確，符合題意．故本題選：．3．（2022·蘇州·期末）若，那么代數(shù)式的值為A． B． C．1 D．3【詳解】解：，，，原式．故本題選：．4．（2022·蘇州·期末）若是完全平方式，則的值等于A．2 B．4或 C．2或 D．8或【詳解】解：，，解得：或．故本題選：．5．（2022·泰興·期末）已知，，則的值為A．8 B．16 C．20 D．40【詳解】解：，，①，②，①②得：，．故本題選：．6．（2022·南京·模擬）若，，則代數(shù)式的值是．【詳解】解：，，．故本題答案為：13．7．（2022·揚(yáng)州·期末）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值；解：因?yàn)?，所以，即：，又因?yàn)?，所以．根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，，求的值；（2）填空：①若，則；②若，則．（3）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)．是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長(zhǎng)方形外側(cè)作正方形和，若長(zhǎng)方形的面積為200平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【詳解】解：（1），；（2）①令，，則，，，，故本題答案為：6；②令，，則，，，，故本題答案為：17；（3）由題意得：，令，，則：，，，，所以陰影部分的面積和為500平方米．8．（2022·海安·期末）如圖，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖揭示了為非負(fù)整數(shù)）展開式中各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，請(qǐng)你猜想的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是15．故本題答案為：15．【題型7整式的混合運(yùn)算——化簡(jiǎn)求值】1．（2022·成都·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【詳解】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．2．（2022·天津·模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【詳解】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．3．（2022·海安·期末）定義：對(duì)于形如的多項(xiàng)式，，為常數(shù)，其中，若取兩個(gè)不相等的數(shù)值，時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，則稱數(shù)值和為多項(xiàng)式的一組“等值元”，記作，．例如多項(xiàng)式，當(dāng)取0和4時(shí)，多項(xiàng)式的值均為5，則稱0和4為多項(xiàng)式的一組“等值元“，記作，．（1）下列各組數(shù)值中，是多項(xiàng)式的“等值元“的有（填寫序號(hào)）①和；②0和；③和．（2）若，是的一組“等值元”，求的值；（3）若，和，是多項(xiàng)式的兩組“等值元“，求的值．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以和是多項(xiàng)式的一組“等值元“，因此①符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以和不是多項(xiàng)式的“等值元”，因此②不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以和是多項(xiàng)式的一組“等值元”，因此③符合題意；故本題答案為：①③；（2），是的一組“等值元”，，解得：；（3），是多項(xiàng)式的兩組“等值元”，，，，即，又，是多項(xiàng)式的“等值元”，，，即，或，．1．（2022·鹽城）下列計(jì)算，正確的是A． B． C． D．【詳解】解：．與不是同類項(xiàng)，所以不能合并，不合題意；．，不合題意；．，不合題意；．，符合題意．故本題選：．2．（2022·宿遷·期末）若，，．【詳解】解：，，，即．故本題答案為：81．3．（2022·南京·期末）若，，則．【詳解】解：，，．故本題答案為：．4．（2022·淮安·期末）計(jì)算：（1）；（2）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．5．（2022·常州·期末）已知，且，則的取值范圍是．【詳解】解：，，則，，，即．故本題答案為：．6．（2022·南京·期末）石墨烯是目前世界上最薄、最堅(jiān)硬的納米材料，單層石墨烯的厚度僅為．用科學(xué)記數(shù)法表示0.00000000034是A． B． C． D．【詳解】解：．故本題選：．7．（2022·連云港·期末）如果的乘積中不含項(xiàng)，則為．【詳解】解：原式，不含項(xiàng)，，解得：．8．（2022·揚(yáng)州·期末）計(jì)算：（1）；（2）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．9．（2022·南京·期末）計(jì)算：（1）；（2）．【詳解】解：（1）；（2）．10．（2022·啟東·期末）能夠用如圖中已有圖形的面積說明的等式是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，由題意得：長(zhǎng)方形③與長(zhǎng)方形②的面積相等，正方形④的面積為，于是有，所以．故本題選：．11．（2022·啟東·期末）如果二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么的值是．【詳解】解：二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，，，解得：或．故本題答案為：4或．12．（2022·南京·期末）若，，則．【詳解】解：，，，，．故本題答案為：．13．（2022·揚(yáng)州·期末）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．14．（2022·鎮(zhèn)江·期末）（1）從圖中任意選擇一個(gè)，通過計(jì)算圖中陰影部分的面積，可得到關(guān)于、的等量關(guān)系是；（2）嘗試解決：①已知：，，則；②已知：，，求的值；③已知：，求的值；（3）填數(shù)游戲：如圖4，把數(shù)字填入構(gòu)成三角形狀的9個(gè)圓圈中，使得各邊上的