2023年江蘇省常州市常州高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.把函數(shù)/(x)=sir?x的圖象向右平移菅個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象.給出下列四個(gè)命題

①g(x)的值域?yàn)?0口

TT

②g(x)的一個(gè)對(duì)稱軸是*=/

n1

的一個(gè)對(duì)稱中心是

③g(x)3"?2

④g(x)存在兩條互相垂直的切線

其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

]7

2.若函數(shù)大幻=5好+爐一5在區(qū)間(“，。+5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(一3,0)

3.有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各

邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少

是()

A.8B.7C.6D.4

4.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z(l-i)=2+2i,則復(fù)數(shù)z等于()

A.-2zB.2zC.-1+zD.0

5.將函數(shù)〃x）=sin2x的圖象向左平移°個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則。的值為（）

71乃71

B.

127

6.設(shè)平面a與平面￡相交于直線心，直線”在平面a內(nèi)，直線。在平面夕內(nèi)，且貝！|“a，△”是“a工人”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分不必要條件

7.已知/（幻是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，當(dāng)xw（O,2］時(shí)，f\x）=2x-］,貝（一2）+/（0）=（）

A.-3B.2C.3D.-2

8.曲線y=；/+21nx上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為（）

3

A.3B.2C.一D.1

2

x—2y+120

9.已知實(shí)數(shù)X、丁滿足不等式組2尤—y—l<0,則z=-3x+y的最大值為（）

J>0

3

A.3B.2C.一一D.-2

2

rccsx7T7t

10.函數(shù).7?（%）="竿在-不，不上的圖象大致為（）

N十N乙乙

11.復(fù)數(shù)三=一（i為虛數(shù)單位），則|z|等于（）

1-Z

A.3B.272

C.2D.V2

尸v24

12.已知雙曲線J一當(dāng)=1的一條漸近線方程為y=-x,則雙曲線的離心率為（）

ab'3

4553

A.-B.-C.-D.一

3342

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量￡=（1,加），力=（2,1）,且￡_L5，則機(jī)=.

14.邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,AC與交于點(diǎn)O,E是線段C?的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與C。相交于點(diǎn)￡若

ZBAD=60。,則麗.赤=.

15.某種牛肉干每袋的質(zhì)量M依）服從正態(tài)分布，質(zhì)檢部門的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示：該正態(tài)分布為NR,。?），

P（1.婚物2.1）=0.98.某旅游團(tuán)游客共購(gòu)買這種牛肉干100袋，估計(jì)其中質(zhì)量低于l.%g的袋數(shù)大約是袋.

16.在AABC中，點(diǎn)。在邊4B上，且￡＞乂=23力，設(shè)a=力，CB^b＞則麗=（用5,5表示）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知等差數(shù)列｛q｝中，/=5,%=14,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“=2或一1.

⑴求見(jiàn)也;

（2）若%=（—1）%“+或，求｛或｝的前"項(xiàng)和刀,.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=ae、—sinx,其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)4=1時(shí)，證明：對(duì)Vxw[0,+oo）J（x）..l;

（2）若函數(shù)Ax）在（0,上存在極值，求實(shí)數(shù)”的取值范圍。

19.（12分）在多面體A3CDEE中，四邊形A8CD是正方形，CFlYffiAfiCD,CF//DE,AB=CF=2DE=2,

G為B尸的中點(diǎn).

(1)求證：CG1AF,

（2）求平面與平面AEE所成角的正弦值.

20.（12分）已知。>03>0,函數(shù)/（x）=k+a|+|2x—q的最小值為1.

（1）證明：2a+b=2.

（2）若。+?之山。恒成立，求實(shí)數(shù)r的最大值.

21.（12分）在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行

合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示：

試銷價(jià)格

456789

X（元）

產(chǎn)品銷量y

898382797467

（件）

已知變量x，y且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲），=4x+53；乙

>=Tx+105；丙y=T.6x+104，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.

（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)1,則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中

隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.（10分）某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”

的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:

n滿意不滿意

SHJiq

iHJHJ

（1）是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？

（2）為答謝顧客，該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開(kāi)展促銷活動(dòng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購(gòu)買該商品的支付情

況如下：

購(gòu)物卡支

支付方式現(xiàn)金支付AP尸支付

付

頻率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧

優(yōu)惠方式按8折支付

付客按8折支付

將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購(gòu)買一件該促銷商品所支付的金額為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

附表及公式：K2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PR.k。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由圖象變換的原則可得8(X)=一；迎2%-高+(由3(2》-￡卜［-1,1］可求得值域；利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;

對(duì)g(x)求導(dǎo)，并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.

【詳解】

,//、.21-COS2X

由題,/(x)=smx=——

1—cos21x----

則向右平移三個(gè)單位可得，,、I12-Icos7111

12g(x)+

2262

???cos2x-^e[-1,1],g(x)的值域?yàn)閇0,1]，①錯(cuò)誤;

TTTT

當(dāng)x=時(shí),2x-二=0,所以x=二是函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱軸，②正確;

12612

當(dāng)x=工時(shí),2x-g=工，所以g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是(￡,!］，③正確；

362I32)

g'(x)=sin(2x-彳］e［-1,1］，則3X1,x2eR,g'(玉)=-1,g'(/)=1，使得g'(x)?g'H)=-1,則g(x)在x=%和

x=x2處的切線互相垂直，④正確.

即②③④正確，共3個(gè).

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.

2.C

【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.

【詳解】

由題意，/(幻=/+2*=直*+2),故大x)在(-8,-2),(0,+s)上是增函數(shù)，在(-2,0)上是減函數(shù)，作出其圖象如

圖所示.

則結(jié)合圖象可知，<u八解得aG［-3,0),

a+5>0

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.

3.A

【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：行壽=40，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：?26『+(2用=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為："方=2后，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形

中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.

【詳解】

最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為："+42=472，

從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：J(2忘了+(2夜了=4，

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：萬(wàn)=2血，

從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為:

從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為:Jf+F=0,

從下往上第七層正方體的棱長(zhǎng)為:

從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為:

???改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】

z(l—i)—2+2z,z—2；21—2/.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

將將函數(shù)=sin2x的圖象向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度,

可得函數(shù)g(X)=Sin[2(x+*)]=sin(2x+2(p)

jrjrK7T

又由函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，所以=]+解得°+芋入z,

njr

因?yàn)?4夕45，當(dāng)左=0時(shí)，9=4,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

試題分析：a_L0,b±m(xù)=>6_La,又直線a在平面a內(nèi)，所以a_Lb,但直線4碗不一定相交，所以“a_LB”是“a_Lb”

的充分不必要條件，故選A.

考點(diǎn)：充分條件、必要條件.

7.A

【解析】

由奇函數(shù)定義求出/(0)和/(-2).

【詳解】

因?yàn)?(幻是定義在[-2,2]上的奇函數(shù)，/(0)=0.又當(dāng)xw((),2]時(shí)，

/(%)=2^-1,.-./(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,2)+/(0)=-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

8.A

【解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率左23,即可得出答案.

【詳解】

解：由于y=g/+2inx,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：

k-/"(x)=x2+—=x2+—+—>3^x2?—=3(x〉0),

XXX\XX

即切線斜率攵23,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號(hào)成立,

1,

所以y=]V+2inx上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.

9.A

【解析】

畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案.

【詳解】

x—2y+120

畫(huà)出不等式組2x-y-1W0所表示平面區(qū)域，如圖所示，

y>0

由目標(biāo)函數(shù)z=-3x+y,化為直線y=3x+z,當(dāng)直線y=3x+z過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

此時(shí)直線y=3x+z在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

x-2y+l=0

又由｛c,解得A(-l,0),

y=0

所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為z=-3x(—l)+0=3,故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.其中解答中正確畫(huà)出不等式組表示的可行域，利用“一畫(huà)、二移、

三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

■JT

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在0<x<—時(shí)的符號(hào)，即可求解.

【詳解】

YCCWX

由/(-%)==-/(%)可知函數(shù)/(X)為奇函數(shù)?

2+2

所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A,B；

當(dāng)0cx<1時(shí)，cosx>0,

、xcosX、八

'''/(x)=——7>。,排除選項(xiàng)

2+2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.

11.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)白從而求得z,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.

【詳解】

_2i2/(l+z).八.

z=l-廣1)(1+廣

所以z=—1T,忖=血，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的共機(jī)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.

12.B

【解析】

由題意得出》的值，進(jìn)而利用離心率公式e二=可求得該雙曲線的離心率.

a'

【詳解】

22I士即安-T組〃/4丫16

雙曲線3一方=i的漸近線方程為f由題意可得o——9

a29

因此，該雙曲線的離心率為e=￡=Ji^^=f?=T

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式6=計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-2

【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)加的等式，即可求得實(shí)數(shù)加的值.

【詳解】

_1_

'..”=（1,加），8=（2,1）且a_1_〃，貝Ua?/?=2+，〃=0，解得/〃=—2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.-

4

【解析】

取基向量而，AB，然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將屁，喬表示為基向量后再相乘可得.

【詳解】

設(shè)4尸=AAD+(1—A)AC>又A.E=—AD-\—AO=—AD-\—AC,

2224

且存在實(shí)數(shù)/使得Ak=rA￡S

:.A.AD+(.l-A.)AC=^tAD+^tAC,

JA=2-t

1-2=-/

I4

—.21—.

/.AF=-AD+-AC,

33

W=AF-AE=-AD+—AC,

612

/.BE.EF=(AE-AB).EF=(AD+DE-AB).EF=(AD+^DB-AB)^AD+^AC)

=(AD+-AB--AD-AB^-AD+—AC)

44612

3—■3—1—1—.

=(-AD——AB)?(—AD+—AB)

44412

=2而2—_L麗2」旗.而

16168

)小「

=——3x41x4,—1x2x2x—1

161682

=—1

4

故答案為：一?

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題.

15.1

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性，求得質(zhì)量低于19kg的袋數(shù)的估計(jì)值.

【詳解】

1-()98

由于〃=2,所以P(m<1.9)==0.01,所以10()袋牛肉干中，質(zhì)量低于1.9kg的袋數(shù)大約是100x0.01=1袋.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

1-2

16.—a+—br

33

【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將而轉(zhuǎn)化為用向量場(chǎng)，麗表示，即可得到結(jié)果.

【詳解】

在八。1。中①=瓦+而，因?yàn)镈A=2BD，

—?―?2―?

所以COCA+-AB,又因?yàn)橥?函—互，

所以前=6+—無(wú)看=畫(huà)+—(圍一以)=上a+—。有=一1+—5.

333333

1_2-

故答案為：—a+—b

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過(guò)幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2"+2〃-1,〃為偶數(shù)

17.⑴%=3〃-1,〃=2"“；(2)(,=:

2"—n—，〃為奇數(shù)

I22

【解析】

a,—tZi+d=5ci,=2,、

(1)由條件得出方程組'…,°，可求得｛%｝的通項(xiàng)，當(dāng)〃22時(shí)，d=S“一S,i，可得

a5+4J=14[d=3'

"=2%,當(dāng)〃=1時(shí)，5=4=2偽-1,,得出也｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得也｝的通項(xiàng)；

(2)由⑴可知，c“=(--1)+2"-二分〃為偶數(shù)和"為奇數(shù)分別求得.

【詳解】

a2=a]+d=54=2

(1)由條件知,/.Q”=3〃-1,

%=4+4d=14[d=3

當(dāng)〃之2時(shí),a=S,-S“_]=2仇-1-(2%-1),即a=2%,

當(dāng)〃=1時(shí)，=2偽一1,二.偽=1,

\他』是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.“L2M；

(2)由(1)可知，%=+

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，7；=[(-2)+5+(-8)+--+(3n-l)]+S?=3x-+2,,-l=2,,+-n-l

ZI

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，7；,=/；,_,+cn=2-'+-(/1-1)-1-(3/2-1)+2^=2"--?--

2"+二〃-1,〃為偶數(shù)

綜上，1=

2”—n—,〃為奇數(shù)

22

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得，以及其前n項(xiàng)和，注意分〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列

的和，屬于中檔題.

18.(1)見(jiàn)證明；(2)ae(O,l)

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對(duì)a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從

而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)存在

極值.

【詳解】

(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=e*-sinx,于是，/r(x)=ev-cosix.

又因?yàn)?，?dāng)xe(O,+<?)時(shí)，/>1且co&x?l.

故當(dāng)xw(0,+oo)時(shí)，ex-cosx>0，即/'(x)>0.

所以，函數(shù)f(x)=d-sinx為(0,+oo)上的增函數(shù),于是，"x"F(O)=l.

因此，對(duì)Vxe[0,+<?),/(x)>l；

⑵方法一：由題意“X)在(0,'J上存在極值，則/'(x)=ae'-co.在(0,?上存在零點(diǎn)，

①當(dāng)ae(O,l)時(shí)，/'(x)=ae*-cosx為上的增函數(shù)，

注意到了'(0)=a-l<0,/圖=入』>0,

所以，存在唯一實(shí)數(shù)使得/'(與)=0成立.

于是,當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，r(x)<0,/(X)為(0,%)上的減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，/,(x)>0,/(x)為(與,上的增函數(shù)；

所以/為函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)；

xx

②當(dāng)a21時(shí)，/'(x)=ae-cosx>e-cosx>0在xG10,mJ上成立，

所以/(x)在(0,口上單調(diào)遞增，所以/(x)在(0,口上沒(méi)有極值；

③當(dāng)a?0時(shí)，/"(X)=aex-co&r<0在xe(0,?上成立，

所以/(x)在(0,口上單調(diào)遞減，所以/(x)在(0,口上沒(méi)有極值，

綜上所述，使/(%)在(0,上存在極值的a的取值范圍是(0,1).

方法二：由題意，函數(shù)/(x)在(0,5上存在極值，則/'(力=叱一cosx在(0,曰上存在零點(diǎn).

即a=詈在上存在零點(diǎn).

設(shè)g(x)=§￥，xe1°，3則由單調(diào)性的性質(zhì)可得g(x)為(0,3上的減函數(shù).

即g(x)的值域?yàn)?0,1),所以，當(dāng)實(shí)數(shù)ae(O,l)時(shí)，/'(x)=ae、-co5在上存在零點(diǎn).

下面證明，當(dāng)ae(O,l)時(shí)，函數(shù)“X)在［。,引上存在極值.

事實(shí)上，當(dāng)a?0,l)時(shí)，/'(x)=ae'-cosx為［o,/J上的增函數(shù),

=a-e5>0,所以，存在唯一實(shí)數(shù)不€(0,5

注意至!!/'(0)=。一1<0,/

使得/'(%)=。成立?于是,當(dāng)％€(0,%)時(shí)，r(x)<0,/(x)為(0,%)上的減函數(shù);

當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,/(x)為上的增函數(shù);

即玉,e(0,事J為函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)ae(O,l)時(shí)，函數(shù)”X)在上存在極值.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是一

道綜合題.

19.(1)證明見(jiàn)解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先證明CGLAB,CGLBF,=CG_L平面A5F.即可得到Abu平面43/，CGA.AF.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DE所在的直線分別為x軸、>軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AEF

和平面的法向量，帶入公式求解即可.

【詳解】

(1),??。尸，平面ABC。，AB\平面ABC。，,CFLAB.

又,:四邊形ABCD是正方形，，AB1BC.

BCnCR=c，二ABJ■平面8CR.

又YBC=CF=2,G為BE的中點(diǎn)，，CGJ_8尸.

???口=3,二CG1■平面AB尸.

,.?47<=平面4?產(chǎn)，，。6，"\

(2)?：CFl^ABCD,C尸〃DE,，平面A6co.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、)‘軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:

則0（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,E（0,0,l）F（0,2,2）.

AAE=（-2,0,1）,麗=（0,2,1）,加=（0,2,0）.

設(shè)〃=（x,y,z）為平面AEF的法向量，

n-AE-0f-2x+z=0

則，得七八，

n-EF=0[2y+z=Q

令x=l,貝U〃=(1,-1,2).

由題意知加=(0,2,0)為平面8CT的一個(gè)法向量,

./-元制n*DC-2瓜

..cosn,DC]=—~=-T=—=------,

\'\n\\DC\V6x26

二平面BCF與平面AEF所成角的正弦值為j_(_骼了=嗎.

【點(diǎn)睛】

本題第一問(wèn)考查線線垂直，先證線面垂直時(shí)解題關(guān)鍵，第二問(wèn)考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中

檔題.

9

20.(1)2；(2)-

2

【解析】

分析：⑴將/(x)=|x+a|+|2x—4轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值

(2)分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可.

詳解：(I)證明：?.?一。<2

2

-3x-a+b,x<-a

???/(x)=<—x+a+b,—a<x<—,顯然foo,——j上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

..h

3x+a-b,x>—

2

b,

。+/=1,即2a+Z?=2.

(H)因?yàn)閍+如NsZ?恒成立，所以土0Nr恒成立,

ab

a+2〃12

>-+-(2fl+z,)5++>2

abbal(ri)4[Tv)2

2a+7h9

當(dāng)且僅當(dāng)。=>=一時(shí)，一「取得最小值一，

3ab2

99

所以.4：,即實(shí)數(shù)/的最大值為

22

點(diǎn)睛：本題主要考查含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問(wèn)恒成立問(wèn)題分離參數(shù)，利用基本不等式求解

很關(guān)鍵，屬于中檔題.

21.(1)乙同學(xué)正確

3

(2)分布列見(jiàn)解析，￡(%)=-

【解析】

(1)由已知可得甲不正確，求出樣本中心點(diǎn)丘J)代入驗(yàn)證，即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的可能值，并求出

概率，得到分布列，即可求解.

【詳解】

(1)已知變量X，)’具有線性負(fù)相