第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)(1.1-1.2) - 精簡(jiǎn)

yinhui928@126.com與積分變換復(fù)變函數(shù)尹慧華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院1一．

以小班為單位夠買(mǎi)練習(xí)冊(cè)（每本5元）

時(shí)間：本周周一～周日（科技樓南樓609）；二．每周一次答疑每周二晚上７:30～９:30（科技樓南樓813）；三．結(jié)業(yè)成績(jī)分配

平時(shí)成績(jī):30%；卷面成績(jī):70%．每周收發(fā)一次作業(yè)（練習(xí)冊(cè)）通知四．統(tǒng)考：第13周周六上午（計(jì)算機(jī)閱卷）2本課程由復(fù)變函數(shù)與積分變換兩個(gè)部分組成。復(fù)變函數(shù)：解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示注：帶“*”

號(hào)的內(nèi)容本課堂不需要掌握。積分變換：教學(xué)內(nèi)容復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分解析函數(shù)共形（保形）映射留數(shù)及其應(yīng)用傅里葉變換拉普拉斯變換3第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實(shí)變函數(shù)在§1.1復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算二、共軛復(fù)數(shù)4一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的基本概念定義(1)設(shè)

x

和

y

是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，(或者

)的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)。(2)x

和

y

分別稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z

的實(shí)部與虛部，并分別表示為：

當(dāng)y=0時(shí)，因此，實(shí)數(shù)可以看作是復(fù)數(shù)的特殊情形。(3)當(dāng)x=0時(shí)，稱(chēng)為純虛數(shù)；就是實(shí)數(shù)。將形如其中

i

稱(chēng)為虛數(shù)單位，即P1

5設(shè)與是兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果則稱(chēng)與相等。它們之間只有相等與不相等的關(guān)系。一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的基本概念相等當(dāng)且僅當(dāng)特別地，復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同，兩個(gè)復(fù)數(shù)(虛部不為零)不能比較大小，注P2

6一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)與是兩個(gè)復(fù)數(shù)，(1)復(fù)數(shù)的加減法加法減法(2)復(fù)數(shù)的乘除法乘法除法P2

7二、共軛復(fù)數(shù)1.共軛復(fù)數(shù)的定義設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，定義稱(chēng)為

z

的共軛復(fù)數(shù)，記作。共軛復(fù)數(shù)有許多用途。注計(jì)算復(fù)數(shù)除法時(shí)可利用分母的共軛復(fù)數(shù)將分母化為實(shí)數(shù)。例已知求解P2

8二、共軛復(fù)數(shù)2.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)其中，“”可以是(2)(3)(1)性質(zhì)（共軛運(yùn)算與四則運(yùn)算互換）（證明題用的多些）P3

9解(1)(2)例已知求（共軛運(yùn)算與四則運(yùn)算互換）10證明P4例1.1

例證明：（共軛運(yùn)算與四則運(yùn)算互換）11§1.2復(fù)數(shù)的幾種表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根四、幾個(gè)關(guān)系12一、復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面此時(shí)，x

軸稱(chēng)為實(shí)軸，y

軸稱(chēng)為虛軸。在平面上建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，定義用坐標(biāo)為

的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)從而將全體復(fù)數(shù)和平面上的全部點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，的平面稱(chēng)為復(fù)平面或者這樣表示復(fù)數(shù)zz平面。軸軸實(shí)軸虛軸13引進(jìn)復(fù)平面后，復(fù)數(shù)

z

與點(diǎn)

z

以及向量

z

視為同一概念所引的向量與該復(fù)數(shù)z也構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(復(fù)數(shù)零對(duì)應(yīng)零向量)。

比如，復(fù)數(shù)的加減法等同于向量的平行四邊形法則。在復(fù)平面上，從原點(diǎn)到點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面實(shí)軸虛軸14將復(fù)數(shù)和向量對(duì)應(yīng)之后，除了利用實(shí)部與虛部來(lái)給定一個(gè)復(fù)數(shù)以外，一、復(fù)數(shù)的幾何表示2.復(fù)數(shù)的模與輻角定義設(shè)

z

的是一個(gè)不為

0

的復(fù)數(shù)，(1)向量

z

的長(zhǎng)度

r

稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z

的模，記為還可以借助向量的長(zhǎng)度與方向來(lái)給定一個(gè)復(fù)數(shù)。(2)向量

z

的“方向角”

稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z

的輻角，記為軸軸復(fù)數(shù)

0

的模為

0，輻角無(wú)意義。注15一、復(fù)數(shù)的幾何表示2.復(fù)數(shù)的模與輻角xy+-

兩點(diǎn)說(shuō)明(1)輻角是多值的，(2)輻角的符號(hào)約定為：逆時(shí)針取正號(hào)，順時(shí)針取負(fù)號(hào)。相互之間可相差其中

k

為整數(shù)。例如對(duì)于復(fù)數(shù)則有16由此就有如下關(guān)系：一、復(fù)數(shù)的幾何表示2.復(fù)數(shù)的模與輻角主輻角對(duì)于給定的復(fù)數(shù)

設(shè)有滿(mǎn)足：且則稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z

的主輻角，記作(單值)17解xy例求復(fù)數(shù)的模與主輻角。

超出了主輻角的范圍，舍去！更一般地18(1)已知實(shí)部與虛部，求模與主輻角。一、復(fù)數(shù)的幾何表示3.相互轉(zhuǎn)換關(guān)系y

xOxyP7

xy19(1)已知實(shí)部與虛部，求模與主輻角。一、復(fù)數(shù)的幾何表示3.相互轉(zhuǎn)換關(guān)系(2)已知模與輻角，求實(shí)部與虛部。

由此引出復(fù)數(shù)的三角表示式。y

xOxy20二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示1.復(fù)數(shù)的三角表示稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z

的三角表示式。y

xOxy如圖，有定義設(shè)復(fù)數(shù)

r

是

z

的模，是z的任意一個(gè)輻角，由P9

21二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示2.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示利用歐拉公式得稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z

的指數(shù)表示式。定義設(shè)復(fù)數(shù)

r

是

z

的模，是z的任意一個(gè)輻角，但習(xí)慣上一般取為主輻角。在復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，注共同點(diǎn)：都需要先知道模和主輻角22解xy復(fù)數(shù)的三角表示式為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式為例寫(xiě)出復(fù)數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式.23二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示3.利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算設(shè)乘法即兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；P10

24關(guān)于

(在集合意義下)附：所謂“在集合意義下”是指：比如事實(shí)上，分別從集合中與集合中任取一個(gè)元素(即輻角)，相加后，得到集合中的一個(gè)元素(即輻角)。25除法兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；即二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示3.利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算設(shè)26解則有P11例1.5修改

例計(jì)算解求P10

例1.4例設(shè)因?yàn)楣?7復(fù)數(shù)z的乘冪，設(shè)

z

是給定的復(fù)數(shù)，

n

為正整數(shù)，n

個(gè)

z

相乘的積稱(chēng)為定義三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘冪則設(shè)法則

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。即記為28三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘冪由以及歐拉公式可得在上式中令r=

1，則得到棣莫弗(DeMoivre)公式：

棣莫弗(DeMoivre)公式

進(jìn)一步易得到正弦與余弦函數(shù)的

n

倍角公式。P12

又因?yàn)閯t有29例

由此引出方根的概念。此外，顯然有30復(fù)數(shù)

w，三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根稱(chēng)為把復(fù)數(shù)開(kāi)

n

次方，或者稱(chēng)為求復(fù)數(shù)的

復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算。設(shè)是給定的復(fù)數(shù)，n

是正整數(shù)，求所有滿(mǎn)足的定義n

次方根，記作或

復(fù)數(shù)的

n

次方根一般是多值的。P13

31三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開(kāi)方法則。設(shè)推導(dǎo)即得——正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。由有法則設(shè)則32三、復(fù)數(shù)的乘冪與