電磁場與波第4章 時變電磁場

在時變場情況下，電場和磁場相互激勵，在空間形成電磁波，時變電磁場的能量以電磁波的形式傳播。電磁場的波動性可用電磁場滿足的波動方程來描述，而波動方程是將麥克斯韋方程組進(jìn)行適當(dāng)變化后得到的。第4章時變電磁場4.1波動方程時變電磁場具有波動性，其波動方程與一般波動方程相似，這是波動運動的共性。另一方面，電磁場的波動具有個性，即它必須滿足麥克斯韋方程。波動方程的建立在無源空間中，電荷和電流處處為零，即

＝0，J＝0，電磁場滿足的麥克斯韋方程為對第二式兩邊取旋度，并利用D=

E、B=

H，得利用和得同理：

電磁場波動方程，典型的三維波動方程

波動方程解的一般形式求解三維方程比較困難，且解的物理意義不易理解。下面將方程簡化，再進(jìn)行求解和分析。設(shè)強(qiáng)度E只與z和時間t有關(guān)，其方向沿x方向，即

一維波動方程

解的函數(shù)形式

變量

波動方程解的詮注電磁場的波動性現(xiàn)在關(guān)心函數(shù)變量。

考慮第一項代表的物理意義。

設(shè)f+的波形當(dāng)變量時為最大值。令波形最大值的位置為z=zmaxt00t1vt1t2vt2t3vt3t4vt4z不同時刻波形最大值出現(xiàn)的位置

t=0，zmax=0；

t=t1＞0，zmax=vt1＞0；

……沿z方向傳播

圖形移動速度，即電磁波速度

t=t2＞t1，zmax=vt2＞vt1＞0；t5vt5波動方程及其解的進(jìn)一步說明

同理可得第二項表示沿-z方向傳播的波

波動方程的解代表兩個沿相反方向傳播的波，具體選擇視具體情況而定三維波動方程的解仍然代表傳播的波，但無法用圖形描繪滿足波動方程的電磁場，以振蕩形式在空間中傳播，形成電磁波，其傳播速度為，真空中4.2電磁場的位函數(shù)

在靜態(tài)場中引入了標(biāo)量位和矢量位，分別描述電場和磁場，簡化了對電場和磁場的分析過程。對于時變電磁場，也可以引入位函數(shù)來描述。4.2.1矢量位和標(biāo)量位標(biāo)量位函數(shù)

引入A和

的意義在于簡化電磁場的求解過程，特別是對于復(fù)雜的輻射問題，引入位函數(shù)可以大大簡化。

注意，這里定義的矢量位A和標(biāo)量位

不是惟一確定的，對于同樣一組E和B，還可以用另一組位函數(shù)來表示，即有

顯然不同的位函數(shù)對應(yīng)同樣的電磁場。由于

是任意標(biāo)量，所以同樣電磁場的位函數(shù)有無數(shù)多組，即電磁場的位函數(shù)具有不確定性。

位函數(shù)的不確定性來源于只給定了矢量位A的旋度，對其散度沒有任何限制。只有同時給定矢量場的旋度和散度，才能惟一確定這個矢量場。所以，必須對矢量位A的散度作出限制。洛侖茲條件

在電磁場工程中，通常規(guī)定矢量位A的散度為或規(guī)定矢量位A的散度為庫侖條件①②4.2.2達(dá)朗貝爾方程位函數(shù)滿足的達(dá)朗貝爾方程，是非齊次的波動方程。達(dá)朗貝爾方程和位函數(shù)的波動性

電荷產(chǎn)生標(biāo)量位波動電流產(chǎn)生矢量位波動離開源后，位函數(shù)以波動的形式存在并傳播，由此決定電磁場也以波動的形式存在和傳播4.3電磁能量守恒定律

能量守恒定律是一切物質(zhì)運動過程遵守的普遍規(guī)律，作為特殊形態(tài)的物質(zhì)，電磁場及其運動過程也遵守這一規(guī)律。

本節(jié)將詳細(xì)討論電磁場的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析討論電磁場能量、電荷電流運動及電磁場做功之間的相互聯(lián)系。

電磁能量問題有關(guān)概念電磁場的能量密度：電磁場能量的空間分布用能量密度w來描述，它表示單位體積中電磁場的能量，通常是坐標(biāo)與時間的函數(shù)，即

電磁場的能量流密度：電磁波－電磁振蕩定向運動伴隨電磁場能量移動，其流動情況用電磁場能量流密度(能流密度)S表示。S是矢量，數(shù)值為單位時間垂直流過單位面積的能量，方向為能量流動方向，一般是坐標(biāo)和時間的函數(shù)，即

電磁場的能量流通量：通過面積

的能量流通量為

電磁場對連續(xù)電荷系統(tǒng)做的功：對單位體積電荷做功的功率對體積V中電荷做功的功率

電磁場對電荷系統(tǒng)做的功：電磁場中運動速度為v的電荷q受到的電磁場作用力，功率

電磁場的能量守恒定律

設(shè)區(qū)域V中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量可能通過邊界

流出，或因?qū)中電荷做功而消耗，即減少量=流出量+消耗量

坡應(yīng)廷定理或電磁場能量守恒定理

用場量表示能量密度和能流密度能量密度和能流密度應(yīng)該與電磁場場量有關(guān)，w和S可以用場量來表示。由

與坡應(yīng)廷定理比較坡應(yīng)廷矢量電磁場能量密度電場能量密度磁場能量密度

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向——電磁能量傳輸?shù)姆较?/p>

的大小——通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率

描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量

坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）例一根長度為l、橫截面為S的導(dǎo)線兩端電位差為U，導(dǎo)線的電導(dǎo)率為

。求當(dāng)電流流過導(dǎo)線時電場能量的損耗。解：當(dāng)導(dǎo)線兩端存在電位差時，導(dǎo)線中會產(chǎn)生電場，即

可見，電場對電荷做功導(dǎo)致電場能量消耗，電場能量通過做功轉(zhuǎn)換為光、熱、機(jī)械能或其他形式的能量。

場源（電荷或電流）以一定的角頻率

隨時間作正弦變化，它所激發(fā)的電磁場也以相同的角頻率隨時間作正弦變化，稱為時諧場或正弦場廣播、電視和通信的載波，都是時諧波或稱正弦電磁波即使電磁場不是正弦場，也可以通過富里葉變換展開成正弦場來研究。所以，研究正弦場具有普遍意義復(fù)數(shù)表示法可以使大多數(shù)正弦場問題得以簡化，但有時仍需用實數(shù)形式（稱為瞬時表示法），所以經(jīng)常會遇到兩種表示法的互換另外，對于能量密度、能流密度等含有場量的平方關(guān)系的物理量（稱為二次式），只能用瞬時的形式來表示4.5時諧電磁場

設(shè)是一個以角頻率

隨時間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成式中的A0為振幅，

(r)為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。利用三角公式實數(shù)表示法或瞬時表示法，瞬時場

其中復(fù)數(shù)表示法

時間因子復(fù)振幅相位因子照此法，電場各分量Ei（i表示x，y或z）可表示成4.5.1時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示

各分量合成以后，電場強(qiáng)度為復(fù)矢量，只與坐標(biāo)有關(guān)，與時間無關(guān)

同理：

對復(fù)數(shù)表示法的進(jìn)一步說明

復(fù)數(shù)式用“?”以示區(qū)別，但實際中“?”并不寫出來復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達(dá)式由于時間因子是默認(rèn)的，有時它不用寫出來，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部份就可表示場量

復(fù)數(shù)表示法與瞬時表示法的變換瞬時表示法

復(fù)數(shù)表示法

不含時間因子的復(fù)數(shù)表示法

恢復(fù)時間因子

取實部得到瞬時表示法，即瞬時場

將復(fù)數(shù)形式表示的場量和電荷、電流，代入麥克斯韋方程組，可得正弦場的麥克斯韋方程組，如

消去時間因子

略去“·”

同理

4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程

對復(fù)數(shù)形式麥?zhǔn)戏匠痰恼f明

方程中的各量都不包含時間因子，各量均與時間無關(guān)

因為所以時間偏導(dǎo)數(shù)作用于復(fù)數(shù)形式的場量時，相當(dāng)于在場量前乘上j

，如例1已知時變場的電場強(qiáng)度為，其中Exm和kz為實常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量。解：例2已知電場強(qiáng)度為，其中Exm和kz為實常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量。解：

實際的介質(zhì)都存在損耗：導(dǎo)電媒質(zhì)—當(dāng)電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗電介質(zhì)—受到極化時，存在電極化損耗磁介質(zhì)—受到磁化時，存在磁化損耗損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)對于介電常數(shù)為

、電導(dǎo)率為

的導(dǎo)電媒質(zhì)，有

電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。

同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為

磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。

損耗角正切工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率虛部與實部之比，即有

導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。4.5.5時諧場的位函數(shù)

在時諧時情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式，即此時洛侖茲條件和位函數(shù)滿足的達(dá)朗貝爾方程變?yōu)?.5.4亥姆霍茲方程

在時諧情況下，電磁場波動方程可寫成式中，此方程稱為亥姆霍茲方程，即時諧情況下的波動方程。對于有耗介質(zhì)，有4.5.6平均能量密度和平均能流密度

時諧場中的二次式電磁場能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。二次式的表示方法二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。設(shè)某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為則能流密度為如把電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有

先取實，再代入

使用二次式時需要注意的問題

二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即“先取實后相乘”如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補(bǔ)充時間因子

二次式的時間平均值能量密度和能流密度反映的是能量密度或能流密度在某一個瞬時的取值，是時間的函數(shù)有時要關(guān)心在一個時間周期中的平均值，即平均能量密度和平均能流密度。這就是二次式的時間平均值問題如電場和磁場都用實數(shù)形式給出，則平均能流密度為如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有

同理，有

時間平均值與時間無關(guān)例4.5.4

已知無源空間中，