曲面高斯曲率的色標分布研究

曲面高斯曲率的色標分布研究

0高斯曲率法與面性法分析為了改善設計和制造汽車零件的結(jié)構(gòu)，高質(zhì)量的汽車可以縮短設計周期，降低制造難度，節(jié)約公司成本。此外，在駕駛行業(yè)產(chǎn)品中，高質(zhì)量的汽車可以有效減少空氣阻力。因此，高質(zhì)量汽車產(chǎn)品的產(chǎn)量越來越受到重視，成為科學研究和相關(guān)產(chǎn)品建模和研究的熱點。產(chǎn)品曲面模型創(chuàng)建后，質(zhì)量分析和評價是滿足產(chǎn)品設計要求的重要工作。近年來，研究人員主要采用控制點法、多段曲線法、等參考線法和反射線法對曲線進行分析和評價，但采用高斯坦率法很少有關(guān)于曲線質(zhì)量的文獻。本文從高思卡的具體含義出發(fā)，結(jié)合具體剖面，探討了高思卡率法在分析零件質(zhì)量方面的應用。1高斯曲率含義高斯曲率的概念最早是由德國著名的物理學家、數(shù)學家高斯(1777.04~1855.02)首先提出的,現(xiàn)在已經(jīng)成為曲面論中最重要的內(nèi)蘊幾何量.透徹理解高斯曲率的含義有利于提高曲面質(zhì)量分析與評價的效率,對后續(xù)的曲面鈑金零件模具制造也會產(chǎn)生積極影響.1.1法佐的網(wǎng)格點及最大明確率目前包括CATIA在內(nèi)的多數(shù)三維CAD軟件都采用B-Spline方法繪制空間曲面,如k×h(k≤n,h≤m)階的B-Spline曲面可以表示成如下形式:S(u,v)=n∑i=0m∑j=0SijBi,k(u)Bj,h(v)(1)S(u,v)=∑i=0n∑j=0mSijBi,k(u)Bj,h(v)(1)上式中uk-1≤u≤un+1,vh-1≤v≤vm+1,Sij是空間中給定的(n+1)×(m+1)個網(wǎng)格點,通常稱為曲面S(u,v)的控制頂點,Bi,k(u)和Bj,h(v)分別是關(guān)于節(jié)點向量u,v的k階和h階B-Spline樣條曲線的基函數(shù).過曲面S(u,v)上的任意點P有無數(shù)個包含法矢n在內(nèi)的密切平面,無數(shù)個密切平面與曲面S(u,v)相交可以得到無數(shù)條過點P的空間曲線,如圖1所示.如果密切平面與空間曲面S(u,v)相交所得到的空間曲線可以采用參數(shù)方程r(t)=(x(t),y(t),z(t))來表示,則其曲率計算公式為:k=√|y′(t)z′(t)y″(t)z″(t)|2+|z′(t)x′(t)z″(t)x″(t)|2+|x′(t)y′(t)x″(t)y″(t)|2(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2)32(2)k=∣∣∣y′(t)y′′(t)z′(t)z′′(t)∣∣∣2+∣∣∣z′(t)z′′(t)x′(t)x′′(t)∣∣∣2+∣∣∣x′(t)x′′(t)y′(t)y′′(t)∣∣∣2√(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2)32(2)通過公式(2)可以看出,由于空間曲線的彎曲程度不同,所以包含法矢n在內(nèi)的密切平面與曲面S(u,v)相交得到的所有空間曲線在p點通常具有不同的曲率,一般將所有曲率絕對值的最大值稱為最大曲率,用kmax表示;所有曲率絕對值的最小值稱為最小曲率,用kmin表示,kmax和kmin稱為曲面S(u,v)在p點的主曲率.1.2低相關(guān)系數(shù)的su,v高斯曲率是主曲率kmax和kmin的點積,記為K=kmax·kmin,也稱為全曲率.設曲面S(u,v)的矢函數(shù)為r(u,v),且矢函數(shù)r(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)ru和rv及混合偏導數(shù)ruu、ruv和rvv,根據(jù)曲面論的基本公式,可以得到曲面S(u,v)在某點的高斯曲率計算公式:Κ=LΝ-Μ2EG-F2(3)K=LN?M2EG?F2(3)(3)式中E=r2u2u,F=rurv,G=r2v2v,L=n·ruu,,N=n·rvv.1.3eg-s13-stp,k-3-點算法因為高斯曲率所反映的實質(zhì)是曲面上點附近曲面的彎曲程度,所以曲面上某點的高斯曲率能較好地反映其鄰域內(nèi)曲面的形狀.根據(jù)矢量運算法則,EG-F2=r2ur2v-(ru·rv)2=(ru×rv)2>0,所以曲面在某點的高斯曲率與LN-M2是同號的.當曲面為球面、橢球面、雙葉雙曲面的一葉或橢圓拋物面時,LN-M2>0,即K>0,點P為橢圓點;當曲面為偽球面、單葉雙曲面或雙曲拋物面時,LN-M2<0,即K<0,點P為雙曲點;對于平面或圓柱面而言,LN-M2=0,即K=0,點P為拋物點.2a級曲面特征A級曲面(ClassASurface)一詞首先是由法國DassaultSystem公司在開發(fā)大型CAD/CAM軟件包CATIA時提出并付諸應用的,專指汽車設計中既滿足幾何光滑要求,又滿足審美需求的曲面.最初A級曲面主要應用在汽車車身設計領(lǐng)域,如發(fā)動機罩、前后翼子板、前后保險杠、車門、后背門及頂蓋等.目前隨著人們對A級曲面認知程度的提高,A級曲面已經(jīng)廣泛應用在飛機、動車、船舶、手機和衛(wèi)生設備等多種工業(yè)產(chǎn)品的設計過程中.參照施法中和朱心雄關(guān)于A級曲面特征的介紹,可以將A級曲面定義為:(1)大的曲面片是全凸的,即不存在奇異多余的拐點;(2)曲率變化分布均勻;(3)曲面滿足G2(曲率)連續(xù)或者以上;(4)應變能最小.在工程實際應用中,創(chuàng)建A級曲面通常有兩種方法,一種是采用四邊域為基礎(chǔ)的單曲面來創(chuàng)建A級曲面.此種方法操作簡單,僅適用于曲面較大但其曲率變化較小的零件,不適合創(chuàng)建復雜型面的曲面.第二種方法是利用多個彼此相交的曲面來“拼”成所需要的復合曲面模型,適用于創(chuàng)建曲率變化較大的復雜曲面模型.在此方法中,用來連接兩個基礎(chǔ)曲面的過渡曲面又稱為橋接曲面,基礎(chǔ)曲面與橋接曲面的關(guān)系如圖2所示.3橋接曲面的連續(xù)級別由于采用四邊域方法生成A級曲面的應用領(lǐng)域較窄,所以目前科研人員都將采用橋接曲面方法生成復合曲面模型作為研究的重點內(nèi)容.按照曲面類零件設計等級的不同,通常將基礎(chǔ)曲面與橋接曲面劃分為3種連續(xù)等級,分別為G0-位置連續(xù),G1-切線連續(xù)和G2-曲率連續(xù),總體上說,提高曲面的連續(xù)級別可以使曲面看起來更加光滑流暢.在三維CAD軟件中,通常使用不同的顏色來表示曲面上不同的高斯曲率值,曲面某區(qū)域的高斯曲率值如果相同,則該區(qū)域的顏色就是一致的;如果曲面上的高斯曲率值發(fā)生突變,則顏色也會隨之改變.所以通過觀察基礎(chǔ)曲面與橋接曲面顏色的變化可以直觀地對曲面連續(xù)級別進行判斷.下面將結(jié)合具體曲面,分別探討3種連續(xù)等級的高斯曲率色標圖分布特點.3.1高斯曲率色標.當兩基礎(chǔ)曲面間為G0-位置連續(xù)時,橋接曲面的邊界線空間直線,且其端點與基礎(chǔ)曲面的端點重合.橋接曲面一般為采用直紋面生成的空間近似平面,可以保證兩基礎(chǔ)曲面間完全接觸,即沒有縫隙,高斯曲率色標圖如圖3所示.從圖3可以看出,因為基礎(chǔ)曲面為空間自由曲面,其高斯曲率色標會根據(jù)曲面不同位置的彎曲程度而發(fā)生變化,但由于橋接曲面為近似平面,所以其高斯曲率值處處近似為零,即顏色幾乎沒有變化.雖然G0位置連續(xù)保證了兩基礎(chǔ)曲面間可以完全接觸,但在過渡處存在一個很尖銳的接縫,所以位置連續(xù)屬于連續(xù)性等級中最低的一種,應極力避免.3.2橋接過程中的不穩(wěn)定性當兩基礎(chǔ)曲面間為G1-切線連續(xù)時,橋接曲面的邊界線空間自由曲線,同樣其端點也與基礎(chǔ)曲面的端點重合,橋接曲面為空間自由曲面,高斯曲率色標圖如圖4所示.從圖4可以看出,雖然切線連續(xù)保證了曲面在橋接過程中不會出現(xiàn)尖銳的接縫,但由于在曲面過渡處明顯存在顏色的錯位和突變,即在視覺上仍會有一種表面中斷的感覺,所以切向連續(xù)只在汽車、飛機和船舶外表面的低可見區(qū)域以及內(nèi)飾的大部分曲面中允許存在.3.3高斯曲率色標試驗當兩基礎(chǔ)曲面間為G2-曲率連續(xù)時,不僅曲面間沒有尖銳的接縫,而且具有光滑流暢的視覺效果,高斯曲率色標圖如圖5所示.從圖5可以看出,曲面間高斯曲率色標過渡自然,沒有發(fā)生錯位和突變的現(xiàn)象,達到了A級曲面的要求.由于曲率連續(xù)曲面具有上述特點,所以其廣泛應用在汽車車身外形、儀表板、高可見內(nèi)飾件和動車組外形等對曲面質(zhì)量要求較高的曲面類零件上.4車載外包的高斯曲率色標圖采用橋接方法創(chuàng)建了某轎車車門外板曲面,其高斯曲率色標如圖6所示.從圖6可以看出,轎車車門外板除門把手外,整個曲面的高斯曲率色標圖顏色變化均勻,過渡自然,且沒有突變的地方,已經(jīng)滿足G2曲率連續(xù)的要求,說明曲面整體質(zhì)量已經(jīng)達到了A級曲面的標準.5高斯曲率法快速響應面分析設計出曲面流暢且符合美學