單開鏈中運(yùn)動影響系數(shù)的矩陣表示

單開鏈中運(yùn)動影響系數(shù)的矩陣表示

通過對機(jī)器人機(jī)構(gòu)的深入研究，我們發(fā)現(xiàn)聯(lián)合機(jī)器人具有高貴、低能耗、剛性、負(fù)載能力強(qiáng)、傳輸簡單、動態(tài)性能好等優(yōu)點，并且易于控制。因此，國內(nèi)外科學(xué)家對空間聯(lián)合機(jī)器人感興趣，正在研究其新機(jī)型、運(yùn)動學(xué)和動態(tài)特征，并將它們應(yīng)用到實際應(yīng)用中。聯(lián)合機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)研究主要包括布局、速度和加速度的分析。傳統(tǒng)的過程是通過各種方法建立了機(jī)構(gòu)位置方程，并通過迫害來獲得機(jī)構(gòu)的速度和加速度。然而，一般來說，聯(lián)合機(jī)構(gòu)的位置很難直接理解，因此很難獲得一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。影響系數(shù)法只彌補(bǔ)了其不足。影響系數(shù)法不需要任何操作流程。它與體的運(yùn)動參數(shù)（如速度和加速度）無關(guān)，而是與體的大小、體的類型和位置有關(guān)，即體的形狀。它僅包含向量或向量的交叉操作，計算簡單，因此在機(jī)構(gòu)分析中具有廣闊的應(yīng)用前景。筆者在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上將運(yùn)動影響系數(shù)法在并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析中的應(yīng)用系統(tǒng)化,利用本文所得的結(jié)論,可進(jìn)行各種并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動及特殊位形等的分析.1單鏈訪問鏈soc的影響系數(shù)1.1運(yùn)動速度及參數(shù)如圖1所示,按坐標(biāo)系前置方法建立各連桿坐標(biāo)系,Zi沿運(yùn)動副軸線方向,其單位矢量用Si表示;Xi沿相鄰兩軸線公法線方向,單位矢量用ai表示;相鄰公法線間沿Si的偏距用di表示;公法線長度用ai表示;扭向角用αi表示;轉(zhuǎn)角用θi表示.對單自由度運(yùn)動副,di和θi中只有一個是變量,另一個是常量.固定坐標(biāo)系XYZ的Z軸取S1方向,XY平面垂直于S1方向.桿件i的絕對角速度ωi可寫成其中˙θθ˙n是繞轉(zhuǎn)動副軸線Sn的相對角速度.若將式(1)寫成式中Gi?稱為桿i的一階轉(zhuǎn)動影響系數(shù),˙??˙稱為廣義速度矢量,第n個分量為˙?n?˙n,可以是˙θnθ˙n或˙SS˙n,這決定于第n個運(yùn)動副是轉(zhuǎn)動副還是移運(yùn)動副.綜合式(1)、式(2),得描述構(gòu)件的速度特性除了用ωi以外,還需在構(gòu)件上任選一參考點P,得出其線速度vP.假設(shè)在桿件i上任選一點P,則P點對固定坐標(biāo)系的矢徑為Ρ=d1S1+i∑r=2(a(r-1)a(r-1)+drSr)+ΤiΡ(i)(4)其中Ti為連桿坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系方向之間的轉(zhuǎn)動變換矩陣,P(i)為P點對連桿坐標(biāo)系的矢徑.將式(4)對時間求導(dǎo),得P點的速度由固聯(lián)于動坐標(biāo)系上的矢量r,其導(dǎo)數(shù)有關(guān)系式=ω×r,則式(5)又可寫成其中i∑r=n+1(a(r-1)a(r-1)+drSr)+ΤiΡ(i)=Ρ-RnRn表示第n動坐標(biāo)系原點對固定坐標(biāo)系的矢徑.于是式(6)變成vΡ=i∑n=1[˙dnSn+˙θnSn×(Ρ-Rn)](7)把vP寫成vΡ=GΡ?˙?(8)式中GP?即為一階移動影響系數(shù),綜合式(7)、式(8),得[GΡ?]n={Sn×(Ρ-Rn)n≤i?n為R副Snn≤i?n為Ρ副(?9?)0n＞i定義桿件i的運(yùn)動速度矢量VH={ωivp}T,綜合式(3)及式(9),得VΗ={ωivΡ}Τ=[Gi?GΡ?]Τ˙?(10)或VΗ=GΗ?˙?(11)顯然,GH?=[Gi?GP?]T一般情況下GH?為非奇異,于是有˙?=[GΗ?]-1VΗ(12)1.2階移動影響系數(shù)對式(2)微分就可得到構(gòu)件i的角加速度εi=ddt(Gi?)˙?+Gi????(13)由式(3)得ddt([Gi?]n)={˙Snn≤i,n為R副0其他情況(14)因為˙Sn可寫成˙Sn=˙?1?Sn??1+˙?2?Sn??2+?+˙?n?Sn??n=˙?Τ[?Sn??1?Sn??2??Sn??n]Τ所以式(13)可寫成εi=˙?Τ[?S1??1?S2??1??Sn??10?S2??2??Sn??200?00??Sn??n]n×n˙?+Gi????(15)記上式中n×n矩陣為Hi??,即稱桿i的二階轉(zhuǎn)動影響系數(shù),且有較簡單的形式如下:[Ηi??]mn={Sm×Snm＜n?m、n為R副0其他情況(16)至于二階移動影響系數(shù),可直接對式(9)微分,并仿照角加速度的分析過程,最后得到二階移動影響系數(shù)也有其簡單形式:[ΗΡ??]mn={Sm×[Sn×(Ρ-Rn)]m≤n≤jm、n為R副Sn×[Sm×(Ρ-Rm)]n＜m≤jm、n為R副Sm×Snm≤n≤jm為R副?n為Ρ副Sn×Smn＜m≤jm為Ρ副?n為R副0其他情況(17)桿件i上任選點P的加速度aP也可寫成aΡ=˙?ΤΗΡ??˙?+GΡ????(18)定義桿件i的加速度矢量為AH={εiaP}T,綜合式(15)、式(18),AH可表示為AΗ={εiaΡ}=˙?ΤΗΗ??˙?+GΗ????(19)其中HH??=[Hi??HP??]T若給定桿件i的加速度矢量AH,可反求各主運(yùn)動副的加速度,即???=[GΗ?]-1(AΗ-˙?ΤΗΗ??˙?)(20)從上述一階、二階運(yùn)動影響系數(shù)的形式,明顯可知,只要某一時刻的機(jī)構(gòu)位置已知,就可直接寫出與之對應(yīng)的一階、二階運(yùn)動影響系數(shù),進(jìn)而分析其速度和加速度.2執(zhí)行器的運(yùn)動分析并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)與單開鏈(SOC)機(jī)構(gòu)有著較為密切的聯(lián)系,并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以看成是多個單開鏈的末端連接到同一個執(zhí)行器上,因此它的運(yùn)動分析可仿照單開鏈(SOC)機(jī)構(gòu)的分析方法,不失一般性,若并聯(lián)機(jī)構(gòu)有6個分支,每個分支為6個回轉(zhuǎn)副的6自由度機(jī)構(gòu),其運(yùn)動分析過程如下.2.1主動運(yùn)動方程當(dāng)已知上平臺運(yùn)動,各分支中運(yùn)動副的運(yùn)動可以按式(12)寫出˙?(r)=[GΗ?]-1(r)VΗr=1,2,?,6(21)式中r表示分支序號.建立在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個分支上的矩陣GΗ?,與單開鏈(SOC)機(jī)構(gòu)的式(11)有相同的形式,稱擬影響系數(shù)矩陣.從上式中將6個主動運(yùn)動的方程分別取出,形如˙?(r)α=[GΗ?]-1(r)αVΗ式中˙?(r)α的上角標(biāo)表示分支序號,下角標(biāo)表示輸入角速度所在分支中運(yùn)動副的序號;表達(dá)式[GΗ?]-1(r)α表示第r分支的逆陣[GΗ?]-1的第α行.將6個主動運(yùn)動的線性方程組合成一個矩陣表達(dá)式,形如˙q=GqΗVΗ(22)式中q是獨立的廣義坐標(biāo);˙q是含6個輸入角速度的列矢,稱廣義速度.式(22)的逆解為VΗ=GΗq˙q(23)其中GΗq=[GqΗ]-1,稱對廣義坐標(biāo)的一階影響系數(shù)矩陣.式(23)成立的條件是GqΗ為非奇異陣.若把式(23)代入式(21),還可得到每一分支中各運(yùn)動副速度與廣義速度的關(guān)系˙?(r)=[GΗ?]-1(r)GΗq˙q=[g?q](r)˙q(24)顯然[g?q](r)=[GΗ?]-1(r)GΗqr=1,2,…,6(25)2.2階影響系數(shù)矩陣法對于并聯(lián)多支路機(jī)構(gòu),當(dāng)已知上平臺運(yùn)動,任何一分支皆有形如式(20)的關(guān)系,可以寫得???(r)=[GΗ?]-1(r){AΗ-˙?Τ(r)[ΗΗ??](r)˙?(r)}r=1,2,?,6(26)當(dāng)6個輸入主動副的相對加速度已知,可將表示已知的輸入加速度的解析式單獨地分別寫出,形如???(r)α=[GΗ?]-1(r)α{AΗ-˙?Τ(r)[ΗΗ??](r)˙?(r)}(27)式中???(r)α表示第r分支上第α個主動副的相對角加速度,將行陣[GΗ?]-1(r)α乘進(jìn)矩陣[HH??](r)之內(nèi),并由式(24)的關(guān)系,將式(27)化簡并歸并為一個矩陣表達(dá)式??q=GqΗAΗ-[˙qΤ[L1](1)˙q˙qΤ[L1](2)˙q?˙qΤ[L1](6)˙q](28)式中??q是廣義輸入角加速度,矩陣[L1](r)為[L1](r)=[g?q]Τ(r)[{[GΗ?]-1α}ΤΗΗ??](r)[gq?](r)r=1,2,?,6(29)式中{[GΗ?]-1α}ΤΗΗ??表示以六維列矢{[GΗ?]-1α}Τ乘矩陣HΗ??的每一元素構(gòu)成的矩陣.將式(28)進(jìn)一步簡化為??q=GqΗAΗ-˙qΤΜ˙q(30)[Μ]mn={[L1](1)mn[L1](2)mn?[L1](6)mn}Τ當(dāng)已知輸入角加速度,求平臺加速度時AΗ=GΗ