重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月階段測試數(shù)學(xué)試題

重慶南開中學(xué)高2026級高一（上）數(shù)學(xué)測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，則A∪B=（）A.{2，3} B.{0，1，2，3} C.{1，2} D.{1，2，3}【答案】B【解析】分析】先求出集合B，再求A∪B.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B2.使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意要選的是的真子集.【詳解】由得，因?yàn)檫x項(xiàng)中只有，故只有C選項(xiàng)中的條件是使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件．故選：C.3.已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)可得，求解集即知函數(shù)定義域.【詳解】由題設(shè)，，解得，∴的定義域?yàn)?故選：A.4.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，所以，即.故選：D.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)奇偶性排除D，再根據(jù)時(shí)，，故排除AB即可得答案.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)奇函數(shù)，故排除D，由于，故當(dāng)時(shí)，，故排除AB，故選：C6.若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是

（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件及分離參數(shù)將不等式恒成立轉(zhuǎn)為為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由不等式對任意恒成立轉(zhuǎn)化為，其中,即可.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

.故選：A.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.8.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】先將函數(shù)化簡變形得，然后構(gòu)造函數(shù)，可判斷為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)?，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷各項(xiàng)是否為指數(shù)函數(shù)即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)形式為且，顯然A、D不符合，C符合；對于B，且，故符合.故選：BC10.（多選）若函數(shù)在上滿足：對任意的，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列函數(shù)能被稱為“理想函數(shù)”的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先通過分析，得到若在上單調(diào)遞增，則函數(shù)為“理想函數(shù)”，然后依次判斷四個(gè)選項(xiàng)能否滿足題意.【詳解】不妨設(shè)，則由題意可得，即，由單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即若在上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．A選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；B選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義；C選項(xiàng)中，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合“理想函數(shù)”的定義；D選項(xiàng)中．該函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合“理想函數(shù)”的定義．故選：ABD．11.下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)?B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域結(jié)合二次函數(shù)或不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，可得，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：令，解得，可知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，可得，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；對于選項(xiàng)C：令，則，可得，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，可得在上單調(diào)遞增，且，所以的值域?yàn)?，即函?shù)的值域?yàn)?，故C正確；對于選項(xiàng)D：由題意可得的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，可得，所以函?shù)的值域?yàn)?，故D正確；故選：BCD.12.定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的周期為6C.D.和的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于8【答案】AD【解析】【分析】由題設(shè)得即可判斷A選項(xiàng)；由對稱性結(jié)合奇偶性得即可判斷B選項(xiàng)；利用周期性及解析式求出函數(shù)值即可判斷C選項(xiàng)；先求得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，畫出和的圖象得到有四個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由定義域?yàn)镽，可得，，即，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，A正確；由以及為偶函數(shù)可得，則，即函數(shù)的周期為4，B錯(cuò)誤；由周期性知，，又，即，則，C錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域?yàn)?，，可得函?shù)圖象關(guān)于直線對稱，分別畫出和的圖象如圖所示：由圖可得和的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于，D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題4個(gè)小題，每小題5分，共20分．各題答案必須填寫在答題卡上相應(yīng)位置（只填結(jié)果，不寫過程）．13.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過定點(diǎn).【詳解】令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)的判定方法，即可求解.【詳解】設(shè)，即，可得函數(shù)的圖象表示開口向下，對稱軸為的拋物線，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.15.若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】設(shè)，得到，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程等價(jià)于，設(shè)，可得，即方程等價(jià)于在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故答案為：.16.函數(shù)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在時(shí)，，若存在滿足，且，則最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出函數(shù)一個(gè)周期的值域，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點(diǎn)，且，再利用函數(shù)的周期性求解.【詳解】解：函數(shù)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋瑢θ我?，都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點(diǎn)，且，，的最小值估計(jì)值為，故的最小值取507，相應(yīng)的最小值為，則的最小值為1518.5.故答案為：四、解答題：本大題6個(gè)小題，共70分．各題解答必須答在答題卡上（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）．17.計(jì)算下列各式的值：（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】18.己知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào).（1）求m的值．（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可得或，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性排除增根；（2）先判斷為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過討論化簡不等式求其解.【小問1詳解】由題意，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)，符合題意，所以.【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，可得，即，而在上遞減且恒負(fù)，在上遞減且恒正，所以或或，解得或．19.已知，．（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），則，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的值域，（2）將問題轉(zhuǎn)化為，令，則再次轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后利用基本不等式可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)的值域?yàn)?，【小?詳解】由，得，所以，由，得，所以，令（），則在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為20.為宜傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張面積為的矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形），為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，設(shè)．（1）將四個(gè)宣傳欄的總面積y表示為x的表達(dá)式，并寫出x的范圍；（2）為充分利用海報(bào)紙空間，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸（和分別為多少時(shí)），可使用宣傳欄總面積最大？并求出此時(shí)宣傳欄的最大面積．【答案】（1）（2）AD=120cm，，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出總面積y表示為x的表達(dá)式即可.（2）根據(jù)（1）利用基本不等式求可使用宣傳欄總面積最大時(shí)和的值.【小問1詳解】根據(jù)題意，矩形海報(bào)紙面積為，所以，又因?yàn)楹?bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，所以四個(gè)宣傳欄的總面積，其中所以.即.【小問2詳解】由（1）知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即,時(shí)，可使用宣傳欄總面積最大為.21.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若存在m∈[1，1]，使得不等式成立，求x的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，解出a的值，再驗(yàn)證函數(shù)的奇偶性即可求解.（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為m∈[1，1]，使得，討論x的取值范圍即可求解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意可得，即，解得，所以，，即為奇函數(shù)，所以.【小問2詳解】由（1）可知，存在m∈[1，1]，使得不等式成立，存在m∈[1，1]，使得不等式成立，設(shè)，定義域?yàn)?，奇函?shù)，，而，所以為奇函數(shù)，存在m∈[1，1]，成立，即存在m∈[1，1]，成立，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以，存在m∈[1，1]，使得，看成關(guān)于的一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，x的取值范圍為22.已知函數(shù)．（1）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，正實(shí)數(shù)b，c滿足，且的取值范圍為A．若函數(shù)在上的最大值不大于最小值的兩倍，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分