2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案6.2《等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》 (教師版)

頁(yè)第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.理解等差數(shù)列的概念，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．與一次函數(shù)相對(duì)比，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．與二次函數(shù)相結(jié)合，掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．4．與具體的問(wèn)題情境相結(jié)合，考查等差數(shù)列的概念，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．等差數(shù)列的概念(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)，且A＝eq\f(a＋b,2).2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.3．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(2)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(3)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列．4．等差數(shù)列的相關(guān)結(jié)論(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為eq\a\vs4\al(p).(2)在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最eq\a\vs4\al(大)值；若a1<0，d>0，則Sn存在最eq\a\vs4\al(小)值．(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞eq\a\vs4\al(增)數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞eq\a\vs4\al(減)數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．(4)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(求數(shù)列的項(xiàng))在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1B．0C．1D．6解析：選B∵{an}為等差數(shù)列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.2．(求公差)已知等差數(shù)列{an}中，a2＝1，前5項(xiàng)和S5＝－15，則數(shù)列{an}的公差為()A．－3B．－eq\f(5,2)C．－2D．－4解析：選D設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,S5＝－15，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,5a1＋\f(5×4,2)d＝－15，))解得d＝－4.3．(求項(xiàng)數(shù))已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，則n＝________.解析：因?yàn)閍3＋a9＝a10－a8，所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.答案：54．(等差數(shù)列的性質(zhì))在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：180二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．(忽視數(shù)列中項(xiàng)為0的情況)已知等差數(shù)列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，則使數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最大值的正整數(shù)n的值是________．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由|a3|＝|a9|，得|a1＋2d|＝|a1＋8d|，解得a1＝－5d或d＝0(舍去)，則a1＋5d＝a6＝0，a5>0，故使前n項(xiàng)和Sn取最大值的正整數(shù)n是5或6.答案：5或62．(忽視相鄰項(xiàng)的符號(hào))首項(xiàng)為28的等差數(shù)列{an}，從第8項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，則公差d的取值范圍是________．解析：由題意知數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a8<0，,a7≥0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(28＋7d<0，,28＋6d≥0，))解得－eq\f(14,3)≤d<－4.答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－4))3．(忽視項(xiàng)的符號(hào))已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－n，則|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝________.解析：設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋a13＋…＋a20)＝S11－(S20－S11)＝2S11－S20，而S11＝eq\f(11×10＋0,2)＝55，S20＝10×20＋eq\f(20×20－1,2)×(－1)＝10，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝100.答案：100考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算[典題例析](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝()A．9B．10C．11D．15(2)(多選)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3＝0，a4＝8，則()A．Sn＝2n2－6nB．Sn＝n2－3nC．a(chǎn)n＝4n－8D．a(chǎn)n＝2n(3)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________.[解析](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S11＝11a1＋\f(11×11－1,2)d＝22，,a4＝a1＋3d＝－12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－33，,d＝7，))∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S3＝3a1＋3d＝0，,a4＝a1＋3d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝4，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝－4n＋2n(n－1)＝2n2－6n.(3)法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋eq\f(10×9,2)×1＝25.法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝eq\f(a4－a1,4－1)＝eq\f(1－－2,3)＝1，所以S10＝10×(－2)＋eq\f(10×9,2)×1＝25.[答案](1)B(2)AC(3)25[方法技巧]解決等差數(shù)列基本量計(jì)算問(wèn)題的思路(1)在等差數(shù)列{an}中，a1與d是最基本的兩個(gè)量，一般可設(shè)出a1和d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可．(2)與等差數(shù)列有關(guān)的基本運(yùn)算問(wèn)題，主要圍繞著通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d和前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，在兩個(gè)公式中共涉及五個(gè)量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三個(gè)量，選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個(gè)量．[針對(duì)訓(xùn)練]1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢(qián)，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”(“錢(qián)”是古代一種質(zhì)量單位)，在這個(gè)問(wèn)題中，甲得()A.eq\f(5,3)錢(qián)B.eq\f(3,2)錢(qián)C.eq\f(4,3)錢(qián)D.eq\f(5,4)錢(qián)解析：選C甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢(qián)數(shù)依次設(shè)為等差數(shù)列中的項(xiàng)a1，a2，a3，a4，a5，設(shè)公差為d，由題意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝eq\f(5,2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝\f(5,2)，,3a1＋9d＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(4,3)，,d＝－\f(1,6)，))則甲得eq\f(4,3)錢(qián)，故選C.2．將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．解析：法一：觀察歸納法數(shù)列{2n－1}的各項(xiàng)為1,3,5,7,9,11,13，…；數(shù)列{3n－2}的各項(xiàng)為1,4,7,10，13，….觀察歸納可知，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)為1,7,13，…，是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，則an＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1＋6n－5,2)＝3n2－2n.法二：設(shè)bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，則2n－1＝3m－2，得n＝eq\f(3m－1,2)＝eq\f(3m－3＋2,2)＝eq\f(3m－1,2)＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，則ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝eq\f(n1＋6n－5,2)＝3n2－2n.答案：3n2－2n.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明[典例]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)由已知，得a2－2a1＝4，則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)證明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得eq\f(nan＋1－n＋1an,nn＋1)＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項(xiàng)eq\f(a1,1)＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．則eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.[方法技巧]等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列[提醒]用定義證明等差數(shù)列時(shí)，容易漏掉對(duì)起始項(xiàng)的檢驗(yàn)，從而產(chǎn)生錯(cuò)解．比如，對(duì)于滿足an－an－1＝1(n≥3)的數(shù)列{an}而言并不能判定其為等差數(shù)列，因?yàn)椴荒艽_定起始項(xiàng)a2－a1是否等于1.[針對(duì)訓(xùn)練]已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)證明：∵eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－an＋1,an＋1－1an－1)＝eq\f(1,3)，∴bn＋1－bn＝eq\f(1,3)，∴{bn}是等差數(shù)列．(2)由(1)及b1＝eq\f(1,a1－1)＝eq\f(1,2－1)＝1，知bn＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3)，∴an－1＝eq\f(3,n＋2)，∴an＝eq\f(n＋5,n＋2).考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用[典例](1)在等差數(shù)列{an}中，若a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10B．20C．40D．2＋log25(2)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)的和，已知3a8＝5a13，且a1>0，若Sn取得最大值，則n的值為()A．20B．21C．22D．23[解析](1)由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，則2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3a8＝5a13可得3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，即a1＝－eq\f(39,2)d，∵a1>0，∴d<0，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，∴a20＝a1＋19d＝－eq\f(1,2)d>0，a21＝a1＋20d＝eq\f(1,2)d<0，∴當(dāng)n＝20時(shí)，Sn取得最大值．[答案](1)B(2)A[方法技巧]利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝eq\f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…組成等差數(shù)列．本例(2)應(yīng)用了性質(zhì)②.[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝18，則{an}的前9項(xiàng)和S9等于()A．9B．17C．72D．81解析：選D由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，則{an}的前9項(xiàng)和S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9×eq\f(18,2)＝81.故選D.2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A．35B．42C．49D．63解析：選B在等差數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列，即7,14，S15－21成等差數(shù)列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.考點(diǎn)四等差數(shù)列的最值問(wèn)題[典例](1)(多選)(2021·青島一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是()A．a(chǎn)1＝22B．d＝－2C．當(dāng)n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得最大值D．當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為20(2)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_(kāi)_______．[解析](1)因?yàn)镾6＝90，所以6a1＋eq\f(6×5,2)d＝90，即2a1＋5d＝30，①又因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以aeq\o\al(2,7)＝a3·a9，所以(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)，整理得a1＝－10d，②由①②解得a1＝20，d＝－2，故A錯(cuò)誤，B正確；所以Sn＝20n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋21n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(21,2)))2＋eq\f(441,4)，又n∈N*，所以當(dāng)n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得最大值，故C正確；令Sn＝－n2＋21n>0，解得0<n<21，又n∈N*，所以n的最大值為20，故D正確．故選B、C、D.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.法一：通項(xiàng)法由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2n＋15≥0，,－2n＋1＋15≤0，))解得eq\f(13,2)≤n≤eq\f(15,2).因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝7時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大，最大值為S7＝eq\f(7×13－2×7＋15,2)＝49.法二：二次函數(shù)法由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.所以Sn＝eq\f(n13＋15－2n,2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以當(dāng)n＝7時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大，最大值為S7＝49.[答案](1)BCD(2)49[方法技巧]求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值的常用方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)的最值．(2)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，進(jìn)而求Sn的最值．①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm(當(dāng)am＋1＝0時(shí)，Sm＋1也為最大值)；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm(當(dāng)am＋1＝0時(shí)，Sm＋1也為最小值)．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是()A．d<0B．a(chǎn)7＝0C．S9>S5D．S6與S7均為Sn的最大值解析：選ABD由{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，a7＋a8＝S8－S6<0，則數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，即選項(xiàng)A、B正確；由S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)<0，得S9<S5，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由a1>a2>…>a6>a7＝0>a8>a9>…，可得S6與S7均為Sn的最大值，即選項(xiàng)D正確，故選A、B、D.2．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{eq\r(Sn)}也為等差數(shù)列，則eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))的最大值是________．解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意得2eq\r(S2)＝eq\r(S1)＋eq\r(S3)，∴2eq\r(2a1＋d)＝eq\r(a1)＋eq\r(3a1＋3d)，把a(bǔ)1＝1代入求得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2，∴eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))＝eq\f(n＋102,2n－12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋10,2n－1)))2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,2)2n－1＋\f(21,2),2n－1)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(21,2n－1)))2≤121.∴eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))的最大值是121.答案：121創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子作盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”其意思為：“996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女作旅費(fèi)，從第一個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，使孝順子女的美德外傳，試求各人應(yīng)分得多少斤．”則第3個(gè)子女分得棉花()A．65斤B．82斤C．99斤D．106斤解析：選C設(shè)第一個(gè)孩子分配到a1斤棉花，則由題意得S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)×17＝996，解得a1＝65.則a3＝65＋2×17＝99(斤)．2．(多選)朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作．《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問(wèn)題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問(wèn)題．現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問(wèn)題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開(kāi)始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是()A．4B．5C．7D．8解析：選BD依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為a1，公差為d＝1，設(shè)一共放n(n≥2)層，則總根數(shù)為：Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)＝100，整理得2a1＝eq\f(200,n)＋1－n.因?yàn)閍1∈N*，所以n為200的因數(shù)，eq\f(200,n)＋(1－n)≥2且為偶數(shù)，驗(yàn)證可知n＝5,8滿足題意．3.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊解析：選C由題意知，由天心石開(kāi)始向外的每環(huán)的扇面形石板塊數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為{an}，易知其首項(xiàng)a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差數(shù)列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝eq\f(2n9＋18n,2)－2×eq\f(n9＋9n,2)＝9n2＝729，得n＝9，所以三層共有扇面形石板的塊數(shù)為S3n＝eq\f(3n9＋27n,2)＝eq\f(3×9×9＋27×9,2)＝3402，故選C.4．已知函數(shù)f(x)＝log2(x－1)＋2，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，則eq\f(fan＋fan＋1,2)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋an＋1,2)))的大小關(guān)系是()A.eq\f(fan＋fan＋1,2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋an＋1,2)))B.eq\f(fan＋fan＋1,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋an＋1,2)))C.eq\f(fan＋fan＋1,2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋an＋1,2)))D．不確定解析：選B由圖象并結(jié)合數(shù)列單調(diào)遞增可知eq\f(fan＋fan＋1,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋an＋1,2)))，故選B.5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金箠截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為ai(i＝1,2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，則i＝()A．4B．5C．6D．7解析：選C由題意知，由細(xì)到粗每段的重量組成一個(gè)等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝2，,a9＋a10＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝2，,2a1＋17d＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(15,16)，,d＝\f(1,8).))所以該金箠的總重量M＝10×eq\f(15,16)＋eq\f(10×9,2)×eq\f(1,8)＝15.因?yàn)?8ai＝5M，所以有48eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(15,16)＋i－1×\f(1,8)))＝75，解得i＝6，故選C.eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，則a4等于()A．2B．0C．－1D．－2解析：選D因?yàn)閍1＝1，an＋1＝an－1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d為－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故選D.2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，則S9＝()A．36B．72C．144D．288解析：選B法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，∴d＝eq\f(3,2)，∴S9＝9×2＋eq\f(9×8,2)×eq\f(3,2)＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，∴S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝72.3．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a7＝2a5，則數(shù)列{an}中第________項(xiàng)的值與4a5的值相等．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍7＝2a5，所以a1＋6d＝2(a1＋4d)，則a1＝－2d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故數(shù)列{an}中第11項(xiàng)的值與4a5的值相等．答案：114．已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a5＋a8＝0，,S9＝27，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋da1＋4d＋a1＋7d＝0，,9a1＋\f(9×8,2)d＝27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2，))∴S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝8×(－5)＋28×2＝16.法二：∵S9＝27，∴S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝27，∴a5＝3，又a2a5＋a8＝0，則3(3－3d)＋3＋3d＝0.解得d＝2，∴S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝4(a4＋a5)＝4×(1＋3)＝16.答案：165．若等差數(shù)列{an}的前17項(xiàng)和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.解析：因?yàn)镾17＝eq\f(a1＋a17,2)×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.答案：36．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足S2＝S6，eq\f(S5,5)－eq\f(S4,4)＝2，則a1＝________，公差d＝________.解析：由{an}為等差數(shù)列，得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是首項(xiàng)為a1，公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列，∵eq\f(S5,5)－eq\f(S4,4)＝2，∴eq\f(d,2)＝2?d＝4，又S2＝S6?2a1＋4＝6a1＋eq\f(6×5,2)×4?a1＝－14.答案：－144二、綜合練——練思維敏銳度1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3B．4C．5D．6解析：選C∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列．∴eq\f(Sm－1,m－1)＋eq\f(Sm＋1,m＋1)＝eq\f(2Sm,m)，即eq\f(－2,m－1)＋eq\f(3,m＋1)＝0，解得m＝5，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解，故選C.2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝()A．21B．22C．23D．24解析：選C由3an＋1＝3an－2?an＋1－an＝－eq\f(2,3)?{an}是等差數(shù)列，則an＝eq\f(47,3)－eq\f(2,3)n.∵ak·ak＋1<0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,3)－\f(2,3)k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq\f(45,2)<k<eq\f(47,2)，又∵k∈N*，∴k＝23.3．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則()A．S4<S3B．S4＝S3C．S4>S1D．S4＝S1解析：選B設(shè){an}的公差為d，由a2＝－6，a6＝6，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－6，,a1＋5d＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－9，,d＝3.))于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋eq\f(3×2,2)×3＝－18，S4＝4×(－9)＋eq\f(4×3,2)×3＝－18，所以S4＝S3，S4<S1，故選B.4．(多選)設(shè){an}是無(wú)窮數(shù)列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，則下面給出的四個(gè)判斷中，正確的有()A．若{an}是等差數(shù)列，則{An}是等差數(shù)列B．若{An}是等差數(shù)列，則{an}是等差數(shù)列C．若{an}是等比數(shù)列，則{An}是等比數(shù)列D．若{An}是等差數(shù)列，則{a2n}是等差數(shù)列解析：選AD若{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，則An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差數(shù)列，故A正確；若{An}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，即數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，故B不正確，D正確；若{an}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，當(dāng)q≠－1時(shí)，則eq\f(An,An－1)＝eq\f(an＋an＋1,an－1＋an)＝eq\f(an－1q＋anq,an－1＋an)＝q，當(dāng)q＝－1時(shí)，則An＝an＋an＋1＝0，故{An}不是等比數(shù)列，故C不正確．故選A、D.5．在等差數(shù)列{an}中，若eq\f(a9,a8)<－1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，則當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最小值為()A．14B．15C．16D．17解析：選C∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，∴公差d>0，首項(xiàng)a1<0，{an}為遞增數(shù)列．∵eq\f(a9,a8)<－1，∴a8·a9<0，a8＋a9>0，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.∵Sn＝eq\f(na1＋an,2)，∴當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最小值為16.6．《九章算術(shù)》一書(shū)中衰分、均輸、盈不足等卷中記載了一些有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題．齊去長(zhǎng)安三千里，今有良馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，駑馬發(fā)齊至長(zhǎng)安，同日相向而行．良馬初日行一百五十五里，日增十二里；駑馬初日行一百里，日減二里．問(wèn)幾日相遇()A．十日B．十一日C．十二日D．六十日解析：選A設(shè)良馬每天行走的里數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，駑馬每天行走的里數(shù)構(gòu)成數(shù)列{bn}，則{an}，{bn}均為等差數(shù)列，公差分別為d1，d2.且a1＝155，d1＝12，b1＝100，d2＝－2，設(shè)n日相遇，則由題意知155n＋eq\f(nn－1,2)×12＋100n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝3000，解得n＝10.7．已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且a2＝4，a4＝6，b3＝3，b7＝9，由{an}，{bn}的公共項(xiàng)組成新數(shù)列{cn}，則c10＝()A．18B．24C．30D．36解析：選C因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2＝4，a4＝6，所以其公差d1＝eq\f(6－4,4－2)＝1，通項(xiàng)公式為an＝n＋2.因?yàn)閿?shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝3，b7＝9，所以其公差d2＝eq\f(9－3,7－3)＝eq\f(3,2)，通項(xiàng)公式為bn＝eq\f(3n,2)－eq\f(3,2).則a1＝b3＝3為數(shù)列{cn}的第一項(xiàng)，a4＝b5＝6為數(shù)列{cn}的第二項(xiàng)，a7＝b7＝9為數(shù)列{cn}的第三項(xiàng)，…，知{cn}為等差數(shù)列，{cn}的公差d＝3，且cn＝3＋(n－1)·3＝3n，則c10＝3×10＝30，故選C.8．已知數(shù)列{an}滿足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，則logSKIPIF1<0(a5＋a7＋a9)＝()A．－3B．3C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)解析：選A數(shù)列{an}滿足5an＋1＝25·5an，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為2.∵a2＋a4＋a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3.∴a1＋3×2＝3，解得a1＝－3.∴a5＋a7＋a9＝3a7＝3×(－3＋6×2)＝27，則logSKIPIF1<0(a5＋a7＋a9)＝logSKIPIF1<033＝－3.故選A.9．(多選)設(shè)d，Sn分別為等差數(shù)列{an}的公差與前n項(xiàng)和，若S10＝S20，則下列論斷中正確的有()A．當(dāng)n＝15時(shí)，Sn取最大值B．當(dāng)n＝30時(shí)，Sn＝0C．當(dāng)d>0時(shí)，a10＋a22>0D．當(dāng)d<0時(shí)，|a10|>|a22|解析：選BC因?yàn)镾10＝S20，所以10a1＋eq\f(10×9,2)d＝20a1＋eq\f(20×19,2)d，解得a1＝－eq\f(29,2)d.因?yàn)闊o(wú)法確定a1和d的正負(fù)性，所以無(wú)法確定Sn是否有最大值，故A錯(cuò)誤．S30＝30a1＋eq\f(30×29,2)d＝30×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(29,2)d))＋15×29d＝0，故B正確．a(chǎn)10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(29,2)d＋15d))＝d>0，故C正確．a(chǎn)10＝a1＋9d＝－eq\f(29,2)d＋eq\f(18,2)d＝－eq\f(11,2)d，a22＝a1＋21d＝－eq\f(29,2)d＋eq\f(42,2)d＝eq\f(13,2)d，因?yàn)閐<0，所以|a10|＝－eq\f(11,2)d，|a22|＝－eq\f(13,2)d，|a10|<|a22|，故D錯(cuò)誤．10．已知等差數(shù)列{an}的公差為－2，前n項(xiàng)和為Sn，a3，a4，a5為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120°，若Sn≤Sm對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)m＝()A．7B．6C．5D．4解析：選B∵等差數(shù)列{an}的公差為－2，a3，a4，a5為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120°，∴aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)－2a4·a5cos120°，即(a4＋2)2＝aeq\o\al(2,4)＋(a4－2)2＋2a4(a4－2)×eq\f(1,2)，化為aeq\o\al(2,4)－5a4＝0，又a4≠0，解得a4＝5，∴a3＝7，a5＝3，a6＝1，a7＝－1.∵Sn≤Sm對(duì)任意的n∈N*恒成立，∴實(shí)數(shù)m＝6.故選B.11．等差數(shù)列{an}，{bn}滿足：對(duì)任意n∈N*，都有eq\f(an,bn)＝eq\f(2n＋3,4n－9)，則eq\f(a7,b3＋b9)＋eq\f(a5,b4＋b8)＝________.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6.∴eq\f(a7,b3＋b9)＋eq\f(a5,b4＋b8)＝eq\f(a7＋a5,2b6)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(a6,b6)＝eq\f(2×6＋3,4×6－9)＝1.答案：112．已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n)))為等差數(shù)列，則λ的值是________．解析：因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,2n)))為等差數(shù)列，an＋1＝2an＋2n－1，所以e