2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案4.7《正弦定理和余弦定理及應(yīng)用》 (原卷版)

頁(yè)第七節(jié)正弦定理和余弦定理第1課時(shí)系統(tǒng)知識(shí)牢基礎(chǔ)——正弦定理、余弦定理及應(yīng)用舉例知識(shí)點(diǎn)一正弦定理、余弦定理1．正、余弦定理及變形定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形形式a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)；sinB＝eq\f(b,2R)；sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)[提醒]若已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，可用正弦定理．在根據(jù)另一邊所對(duì)角的正弦值確定角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”及三角形內(nèi)角和定理去考慮問(wèn)題．2．謹(jǐn)記常用結(jié)論(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，則①sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)．②sineq\f(A,2)＝coseq\f(B＋C,2)，coseq\f(A,2)＝sineq\f(B＋C,2).③sinA＝sinB?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).④A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cos B．(2)三角形的面積S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.[重溫經(jīng)典]1．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，則b＝()A．2B．1C.eq\r(3)D．eq\r(2)2．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c.若2asinB＝eq\r(3)b，則角A等于()A.eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D．eq\f(π,12)3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若B＝eq\f(π,6)，c＝2eq\r(3)，b＝2，則C＝()A.eq\f(π,3)B．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)C.eq\f(π,4)D．eq\f(π,4)或eq\f(5π,4)4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形5．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若2sinB＝sinA＋sinC，cosB＝eq\f(3,5)，且S△ABC＝6，則b＝________.6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面積為5eq\r(3)，則c＝________.知識(shí)點(diǎn)二解三角形應(yīng)用舉例測(cè)量中幾個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義及圖形表示名稱意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指eq\a\vs4\al(北)方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的eq\a\vs4\al(銳)角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：[提醒](1)方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問(wèn)題中對(duì)角的不同描述．(2)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果是否符合實(shí)際情況．[重溫經(jīng)典]1．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______m.2．海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝________nmile.3．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°，A，B兩船的距離為3km，則B到C的距離為_(kāi)_______km.4.某中學(xué)舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺(tái)E點(diǎn)和看臺(tái)的坡腳A點(diǎn)，分別測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為30°和60°，量得看臺(tái)坡腳A點(diǎn)到E點(diǎn)在水平線上的射影B點(diǎn)的距離為10m，則旗桿的高是________m.第2課時(shí)精研題型明考向——解三角形及應(yīng)用舉例一、真題集中研究——明考情1．在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，則cosB＝()A.eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)2．如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝________.3．某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC＝eq\f(3,5)，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______cm2.4．在①ac＝eq\r(3)，②csinA＝3，③c＝eq\r(3)b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA＝eq\r(3)sinB，C＝eq\f(π,6)，________？5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝eq\r(3)c，b＝2eq\r(7)，求△ABC的面積；(2)若sinA＋eq\r(3)sinC＝eq\f(\r(2),2)，求C.6．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．[把脈考情]常規(guī)角度1.三角形基本量的求解：主要考查利用正弦或余弦定理解三角形求邊或角．2.三角形面積問(wèn)題：主要考查求三角形的面積或由三角形的面積求邊或角創(chuàng)新角度1.與平面幾何相結(jié)合，求邊角問(wèn)題．2.多個(gè)條件的選擇問(wèn)題．3.結(jié)合“勞動(dòng)教育”考查二、題型精細(xì)研究——提素養(yǎng)題型一三角形基本量的求解問(wèn)題[典例]在△ABC中，a＋b＝11，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面積．條件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；條件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16).[方法技巧]用正、余弦定理求解三角形基本量的方法[針對(duì)訓(xùn)練]1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinC＝sin2B，且b＝2，c＝eq\r(3)，則a等于()A.eq\f(1,2)B．eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)2．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角C＝()A.eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D．eq\f(5π,6)3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，bcosA＝eq\r(3)asinB．(1)求角A的大??；(2)若a＝2eq\r(2)，B＝eq\f(π,4)，求b，c的長(zhǎng)．題型二三角形形狀的判斷[典例](1)在△ABC中，coseq\f(A,2)＝eq\r(\f(1＋cosB,2))，則△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無(wú)法確定(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定[方法技巧]判定三角形形狀的2種常用途徑角化邊利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷邊化角通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷[針對(duì)訓(xùn)練]1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若asinA＋bsinB＜csinC，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．正三角形2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＋cosA＝eq\f(5,4).(1)求A；(2)若b－c＝eq\f(\r(3),3)a，證明：△ABC是直角三角形．題型三三角形面積問(wèn)題[典例]在條件：①(a＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，②asinB＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，③bsineq\f(B＋C,2)＝asinB中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并給出解答．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)，________，求△ABC的面積．[方法技巧]求解與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題的步驟[針對(duì)訓(xùn)練]1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，A＝eq\f(π,3)，b＝1，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)2．在①eq\f(b,a)＝eq\f(cosB＋1,\r(3)sinA)；②2bsinA＝atanB；③(a－c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若________．(1)求角B；(2)若a＋c＝4，求△ABC周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)△ABC的面積．題型四正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用[典例]在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.(1)若AB＝eq\f(3,2)，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.[方法技巧]平面幾何中解三角形問(wèn)題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．[提醒]做題過(guò)程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問(wèn)題．[針對(duì)訓(xùn)練]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值．題型五解三角形應(yīng)用舉例[典例]濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，又測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為80°.則李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度為_(kāi)_______m．(精確到1m)[方法技巧]解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的類型及解題策略1．求距離、高度問(wèn)題(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．2．求角度問(wèn)題(1)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫圖時(shí)，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準(zhǔn)確找到這些角．(2)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正、余弦定理的綜合應(yīng)用．[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長(zhǎng)安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)得天壇的直徑，在天壇外圍測(cè)得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結(jié)果精確到1米)()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，eq\r(7)≈2.646)A．39米B．43米C．49米D．53米2.如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30°角的方向沿直線前往B處營(yíng)救，則sinθ的值為_(kāi)_______．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、綜合練——練思維敏銳度1．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，則eq\f(a,b)等于()A.eq\f(3,2)B．eq\f(4,3)C.eq\r(2)D．eq\r(3)2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝eq\r(3)b，A－B＝eq\f(π,2)，則角C＝()A.eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)3．在△ABC中，如果cos(2B＋C)＋cosC>0，那么△ABC的形狀為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰三角形4．已知a，b，c分別為銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，sinB>sinC，a＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，則b的值為()A．2或3B．2C．3D．65．在△ABC中，cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，sinC＝2sinA，則△ABC的面積等于()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(15),4)6.《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深對(duì)今天的幾何學(xué)和其他學(xué)科仍有深刻的影響．如圖就是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為8m，代表陰陽(yáng)太極圖的圓的半徑為2m，則每塊八卦田的面積約為()A．42m2B．37m2C．32m2D．84m27.已知在△ABC中，D是AC邊上的點(diǎn)，且AB＝AD，BD＝eq\f(\r(6),2)AD，BC＝2AD，則sinC的值為()A.eq\f(\r(15),8)B．eq\f(\r(15),4)C.eq\f(1,8)D．eq\f(1,4)8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinC＋2sinCcosB＝sinA，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，a＝eq\r(6)，cosB＝eq\f(1,3)，則b＝________.9．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cosB＝eq\f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq\r(2)，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．10．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D在線段