信號與系統(tǒng)第10章系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析

第10章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法101狀態(tài)變量與狀態(tài)方程10.2狀態(tài)方程的建立10.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法10.4離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法10.5系統(tǒng)的可控性和可觀性10.6本章小結(jié)9.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程9.1.1狀態(tài)及狀態(tài)變量的概念

根據(jù)第一章討論，我們知道連續(xù)時間系統(tǒng)在任意時刻t0的狀態(tài)是一組最少數(shù)目的數(shù)據(jù)｛x1(t0),x2(t0),…，xn(t0)｝，這組數(shù)據(jù)連同時間間隔［t0,t］上的輸入就足以確定系統(tǒng)在t時刻的輸出(響應(yīng))。描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的變量稱為狀態(tài)變量。圖9.1-1系統(tǒng)的狀態(tài)變量對于圖9.1-1的二階網(wǎng)絡(luò)，由KVL和KCL方程可得考慮到iC(t)=C

duC(t)/dt和uL(t)=LdiL(t)/dt，可將上面兩式寫成：假設(shè)指定網(wǎng)絡(luò)中的i(t)和u(t)為輸出，那么由圖9.1-1可得

設(shè)系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)。以狀態(tài)變量作為分量組成的n維列矢量x(t)，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)(列)矢量。記成矩陣形式為狀態(tài)變量在初始觀察時刻(t=t0-)的值稱為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。圖9.1-2狀態(tài)軌跡9.1.2連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程圖9.1-3系統(tǒng)的輸入輸出模型圖9.1-4一階動態(tài)系統(tǒng)

采用積分器模擬圖9.1-4(a)中記憶元件特性時，該記憶元件的輸入輸出關(guān)系可表示為x(t0)鑒于記憶元件的“拉〞出過程，并沒有改變系統(tǒng)內(nèi)部各局部間的連接關(guān)系，因此可以用記憶元件和無記憶局部的輸入輸出關(guān)系來表征原系統(tǒng)的特性，即圖9.1-5動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)模型設(shè)n階LTI離散系統(tǒng)，它具有p個輸入f1(k),f2(k),…，fp(k);q個輸出y1(k),y2(k),…,yq(k)。記系統(tǒng)的n個狀態(tài)變量為x1(k),x2(k)，…，xn(k),那么其狀態(tài)方程是關(guān)于狀態(tài)變量的一階差分方程組，輸出方程是關(guān)于輸入、輸出和狀態(tài)變量的代數(shù)方程組。兩組方程的標準形式可寫為x(k0)式中9.1.3離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程圖9.1-6二輸入二輸出離散系統(tǒng)對于圖9.1-6所示的二輸入二輸出離散系統(tǒng)，如果選擇兩個移位器的輸出x1(k)、x2(k)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，那么可在移位器的輸入端寫出狀態(tài)方程：在系統(tǒng)的輸出端得到輸出方程：將上述兩式寫成矩陣形式，那么有圖9.1-7狀態(tài)空間方程模擬框圖(1)狀態(tài)和狀態(tài)變量的本質(zhì)在于表征系統(tǒng)的記憶特性或動態(tài)特性。它概括了為了預知未來特性而必須知道的有關(guān)系統(tǒng)歷史情況的信息，并以能量形式保存在系統(tǒng)中。因此，只有動態(tài)系統(tǒng)才存在狀態(tài)和狀態(tài)變量；而對于瞬時系統(tǒng)，那么無狀態(tài)和狀態(tài)變量可言，自然也不存在狀態(tài)空間描述問題。(2)根據(jù)狀態(tài)、狀態(tài)變量的定義及其狀態(tài)模型，一般可選取獨立記憶元件(儲能元件)中與系統(tǒng)能量有關(guān)的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。典型的狀態(tài)變量有：機械系統(tǒng)中與位能有關(guān)的位置變量，與動能有關(guān)的速度變量；電系統(tǒng)中與儲存電場能有關(guān)的電容電壓或電荷變量，與儲存磁場能有關(guān)的電感電流或磁鏈變量；以及離散系統(tǒng)中移位器的輸出變量等等。狀態(tài)變量是一組獨立變量，其數(shù)目等于獨立記憶元件的個數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。(3)設(shè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)矢量x(·)=［x1(·)x2(·)…xn(·)］T，將x(·)作如下線性變換：ω(·)=Px(·)式中，ω(·)=［ω1(·)ω2(·)…ωn(·)］T，P為n×n階常數(shù)矩陣，且|P|≠0。由于求解式(9.1-16)總可以得到x(·)，因此，其ω(·)矢量同樣也是滿足狀態(tài)和狀態(tài)變量定義的?？梢?，給定系統(tǒng)的狀態(tài)變量選擇并不是惟一的。在實際應(yīng)用中，通常選取那些概念明確、測量容易并能使計算簡化的物理量作為狀態(tài)變量。例如，對于LTI電系統(tǒng)，可直接選取獨立電容電壓和電感電流或移位器輸出信號作為狀態(tài)變量。(4)根據(jù)狀態(tài)空間方程，以先由狀態(tài)方程解出狀態(tài)矢量x(·)，然后由輸出方程得到輸出矢量y(·)。x(·)提供系統(tǒng)的內(nèi)部信息，y(·)給出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。這種利用狀態(tài)空間描述方程分析系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間分析法。它是現(xiàn)代系統(tǒng)分析的理論根底。9.2狀態(tài)方程的建立1.直接編寫法第一步，選取系統(tǒng)中所有獨立電容電壓和獨立電感電流作為狀態(tài)變量。第二步，對與狀態(tài)變量相聯(lián)系的每個電容和電感分別列出獨立的節(jié)點(或割集)KCL方程和回路KVL方程。第三步，利用適當?shù)腒CL、KVL方程和元件伏安關(guān)系，消去上一步方程中可能出現(xiàn)的“非法〞變量，然后整理得出標準形式的狀態(tài)方程。第四步，用觀察法列出輸出方程。9.2.1連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立2.由微分方程建立狀態(tài)空間方程

情況1

系統(tǒng)微分方程不含輸入導數(shù)項?？疾煲粋€三階系統(tǒng)，設(shè)其輸入輸出方程為傳輸算子為式中不含輸入f(t)的導數(shù)項。其算子方程可寫為圖9.2-3

根據(jù)狀態(tài)模型，我們選擇信號流圖中每個積分器的輸出信號作為狀態(tài)變量，即然后在各積分器的輸入端寫出狀態(tài)方程，得其輸出方程為表示成矩陣形式有

設(shè)n階線性時不變系統(tǒng)輸入輸出方程為相應(yīng)的算子方程和傳輸算子為假設(shè)選n維狀態(tài)矢量為圖9.2-4

情況2

系統(tǒng)微分方程含有輸入導數(shù)項。我們?nèi)匀幌扔靡粋€簡單系統(tǒng)來說明狀態(tài)空間方程的建立過程，然后將結(jié)果推廣到n階系統(tǒng)。設(shè)一個三階連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程為相應(yīng)的算子方程和傳輸算子為為了利用情況1中得到的結(jié)果，我們引入輔助變量q，令整理后比較等號兩邊諸項，得同理，選每個積分器輸出信號作為狀態(tài)變量，有在積分器輸入端寫出狀態(tài)方程，整理成矩陣形式為由信號流圖得出輸出方程為將上述討論結(jié)果推廣到一般n階系統(tǒng)。設(shè)n階系統(tǒng)的輸入輸出方程為寫出相應(yīng)的算子方程和傳輸算子為引入輔助變量q,將式(9.2-30)寫成如下兩個方程：圖9.2-6給出了該式的信號流圖表示。假設(shè)選n維狀態(tài)矢量為圖9.2-5圖9.2-6那么描述式(9.2-29)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程具有如下形式：由于在微分方程中出現(xiàn)了輸入的導數(shù)項，使輸出方程中系數(shù)矩陣C發(fā)生了變化。當m＜n時，輸出方程中的D矩陣仍為零。假設(shè)m=n,信號流圖中節(jié)點xn、y間出現(xiàn)增益為bm=bn的支路，這時輸出方程變成如果系統(tǒng)的初始條件y(0-)、y′(0-)和y″(0-)，將它們代入上述各式，并考慮到t=0-時f(0-)=0，即可聯(lián)立求解得到系統(tǒng)的初始狀態(tài)x1(0-)、x2(0-)和x3(0-)。由上討論可知，依據(jù)系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間方程的步驟是：第一步，由系統(tǒng)微分方程確定系統(tǒng)的傳輸算子H(p)，并畫出它的信號流圖表示；第二步，選信號流圖中積分器的輸出信號作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；第三步，在各積分器的輸入端寫出狀態(tài)方程；第四步，在信號流圖的輸出端(匯總)寫出輸出方程。3.由系統(tǒng)函數(shù)建立狀態(tài)空間方程設(shè)LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為9.2.2離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例9.2-1離散系統(tǒng)模擬框圖如圖9.2-7(a)所示，試建立其狀態(tài)空間方程。圖9.2-7例9.2-1圖解寫成矩陣形式為例9.2-2描述某離散時間系統(tǒng)的差分方程為試建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。解由差分方程寫出系統(tǒng)的傳輸算子為圖9.2-8例9.2-2信號流圖

圖9.2-8(a)中有三個移位支路，需設(shè)三個狀態(tài)變量，分別令這些支路的輸出信號為狀態(tài)變量x1(k)、x2(k)和x3(k),如圖中所示。對各移位支路輸入節(jié)點的信號列方程，得這就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。其輸出方程為寫成矩陣形式，得到狀態(tài)空間方程的標準形式為

自然，與連續(xù)系統(tǒng)一樣，我們也可以把系統(tǒng)傳輸算子表示成其他形式，畫出相應(yīng)的信號流圖表示，編寫出不同形式的狀態(tài)空間方程。例如，可以將H(E)寫成如下形式：取圖中各移位支路輸出信號x1(k)、x2(k)和x3(k)作為狀態(tài)變量，那么可得到相應(yīng)的狀態(tài)空間方程為即9.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為對于具有p個輸入、q個輸出的n階系統(tǒng)，上式中x(t)、f(t)和y(t)分別是n維狀態(tài)矢量、p維輸入矢量和q維輸出矢量，矩陣A、B、C、D都是常數(shù)矩陣。一個n階方陣A，其矩陣指數(shù)函數(shù)eAt仍是n階方陣?？梢宰C明，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt有以下重要結(jié)論：(1)對于任何方陣A，eAt恒有逆，且為(2)對于n階方陣A和B，假設(shè)AB=BA，那么有9.3.1矩陣指數(shù)函數(shù)(3)對于方陣A，有(4)假設(shè)A為n階方陣x為n維列矢量函數(shù)，P為非奇異矩陣，那么有9.3.2狀態(tài)微分方程的解法設(shè)標量狀態(tài)方程為將上式兩邊同乘以e-at，移項后得即上式等號兩邊取0-到t的積分，得假設(shè)標量函數(shù)f(x)可以展開為如下收斂的冪級數(shù)：兩邊同乘以eat，并整理得那么定義函數(shù)例如，指數(shù)函數(shù)ext的收斂冪級數(shù)為因此，可定義相應(yīng)的矩陣指數(shù)函數(shù)為現(xiàn)在我們來求矢量狀態(tài)方程的時間域解。設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)矢量為上式可寫成經(jīng)移項后得將上式兩邊取t0到t的積分，得出上式兩邊左乘以eAt

，整理后得假設(shè)初始觀察時刻t0=0-,并令那么可寫成這就是矢量狀態(tài)方程的時域解。式中等號右邊第一項為哪一項狀態(tài)矢量解的零輸入分量，記為顯然，假設(shè)x為n維列矢量，那么φ(t)為n階方陣。上式說明，系統(tǒng)在零輸入情況下，φ(t)的作用是使系統(tǒng)由初始時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至t時刻的狀態(tài)。因此，稱φ(t)或eAt為連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。式(9.3-15)中第二項是狀態(tài)矢量解的零狀態(tài)分量，記為一般情況下，兩個矩陣函數(shù)的卷積可以用矩陣相乘的運算規(guī)那么來定義，只是將其中的乘法運算符換成卷積運算符即可。例如:于是，矢量狀態(tài)方程的時域解可寫成假設(shè)系統(tǒng)輸入個數(shù)為p,我們定義p×p階對角矩陣考慮到的抽樣性質(zhì)，顯然有于是，系統(tǒng)輸出〔響應(yīng)〕可改寫成式中，第一項為哪一項系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，第二項是零狀態(tài)響應(yīng)，分別記為和式中稱為連續(xù)時間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)矩陣，簡稱沖激響應(yīng)矩陣。假設(shè)系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)目分別為p和q，那么h(t)是q×p階矩陣，它的第i行第j列元素hij(t)代表第j個輸入為δ(t)，而其他輸入均為零時第i個輸出的零狀態(tài)響應(yīng)?？梢钥闯?，這與單輸入單輸出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)定義是一致的。利用沖激響應(yīng)矩陣，系統(tǒng)輸出可表示為9.3.3矩陣指數(shù)的計算(1)冪級數(shù)法。按照eAt定義，用計算機求出它的近似值。(2)將矩陣A變換成相似的對角矩陣Λ，即(3)應(yīng)用凱萊-哈密頓(Caley-Hamilton)定理，將eAt表示成有限項之和，然后進行計算。在矩陣代數(shù)中，對于n階方陣A，假設(shè)有非零n維列矢量x，標量λ滿足方程式那么稱λ為矩陣A的特征值。因為所以式(9.3-25)可寫成(9.3-25)令q(λ)=det(λΙ-A)，上式可表示成q(λ)是λ的多項式，稱為矩陣A的特征多項式。q(λ)=0稱為A的特征方程，它的根稱為A的特征根，也就是式(9.3-25)中的特征值。式(9.3-27)中Ci(i=0,1,…,n)為特征多項式各項系數(shù)，λi(i=1,2,…,n)表示特征根。

根據(jù)本書附錄B，應(yīng)用凱萊-哈密頓定理可以證明：任一n階方陣A的矩陣函數(shù)f(A)總可表示成一個次數(shù)不超過(n-1)的A的多項式，即對于矩陣指數(shù)函數(shù)，那么有如果矩陣A的特征根λ1,λ2,…,λn都是單根，那么由附錄B中式(B-21)可得求解該方程組即可得出n個系數(shù)β0,β1,…,βn-1。

如果A的特征根中有某個根λ1是m重根，此時可先列出如下與λ1對應(yīng)的m個方程：9.3.4狀態(tài)方程的拉普拉斯變換解法先考察一個單輸入單輸出一階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間方程可表示為式中，f(t)、y(t)、x(t)均是標量。假設(shè)記F〔s〕=L[f(t)],Y(s)=L[y(t)]X(s)=L[x(t)],那么對式〔9.3-32〕方程兩邊分別取拉普拉斯變換，即式中，

上述求解過程同樣適用于一般的多輸入多輸出n階系統(tǒng)。對標準狀態(tài)空間方程(9.3-1)取拉普拉斯變換，得式中，X(s)表示狀態(tài)矢量x(t)的拉普拉斯變換，即

將連續(xù)時間LTI系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的一般步驟歸納如下：第一步，確定系統(tǒng)狀態(tài)變量。一般地說，可以選取系統(tǒng)中表征記憶元件能量狀況的物理量作為狀態(tài)變量。通常，對于用信號流圖(或框圖)表示的模擬系統(tǒng)，選取一階系統(tǒng)(包括積分器)輸出變量為狀態(tài)變量；對于LTI電系統(tǒng)，選取獨立電容電壓和獨立電感電流作為狀態(tài)變量。第二步，用直接法或間接法列出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。第三步，計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或預解矩陣第四步,求狀態(tài)矢量x(t),其計算公式為時域S域第五步，計算沖激響應(yīng)矩陣或系統(tǒng)函數(shù)矩陣H(s)=CΦ(s)B+D

第六步，計算系統(tǒng)輸出(響應(yīng))y(t)，具體方法有兩種：方法1如果狀態(tài)矢量解已經(jīng)求出，可將它直接代入輸出方程得到y(tǒng)(t)。方法2如果狀態(tài)矢量解未知，可按以下公式計算：時域：S域：9.4離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析9.4.1時域狀態(tài)差分方程的解法

描述LTI離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程由狀態(tài)方程和輸出方程組成，其標準形式可表示為式中，f(k)、x(k)和y(k)分別是系統(tǒng)的輸入矢量、狀態(tài)矢量和輸出矢量，系數(shù)矩陣A、B、C和D均為常量矩陣。

當給定系統(tǒng)在k=0時的初始狀態(tài)矢量x(0)以及k≥0時的輸入矢量f(k)后，利用差分方程的遞推性質(zhì)，依次令式9.4-7(a)中的k