2022年甘肅省白銀市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年甘肅省白銀市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)

號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={-1,0,1,2],8={4v(X-3)<0},則408=()

A.{1}B.{2)C.{1,2}D.(0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)2=Ca-2i)(1+3/)(a￡R)的實(shí)部與虛部的和為12,則。=()

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量3=(1,一夕)，向=3,a-b=3V6,貝丘與了的夾角為()

71717r2冗

A.-B.-C.-D.—

6433

4.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇

環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為0,42,“3,49,設(shè)數(shù)列{小}為等差數(shù)列，

它的前〃項(xiàng)和為S",且"2=18,44+46=90,則58=()

A.189B.252C.324D.405

121I

5.已知[VaV?則關(guān)于x的方程%2一（Q+1）%+]Q2+2=o有解的概率為（）

2131

A.-B.—C.-D.-

5846

6.已知M為拋物線C：%2=2py（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)M到。的焦點(diǎn)的距離為7,到x軸的

第1頁共23頁

距離為5,貝!]p=（）

A.3B.4C.5D.6

?,cos3a-cosa

7.已知tana=2,?則'—()

cos(a+~)

23

A.-B.-

4

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

A.18B.36C.54D.108

9.某保險公司銷售某種保險產(chǎn)品，根據(jù)2020年全年該產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）和該產(chǎn)

品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖.根據(jù)雙層餅圖，下列說

法正確的是（）

12月：6%月：5%

2月：5%

11月：10%

3月：6%

季度1月：6%

第四季底Hi

28%第：季度

10月：12%5月：9%

笫:.季度26()

30()

30%

9月：12%6月：11%

8月:10%7月:8%

A.2020年第四季度的銷售額為380萬元

B.2020年上半年的總銷售額為500萬元

C.2020年2月份的銷售額為60萬元

D.2020年12個月的月銷售額的眾數(shù)為60萬元

10.已知等比數(shù)列｛如｝的公比為4,前〃項(xiàng)和%=m+qn,若46=843,則$4=()

A.13B.15C.31D.33

11.在四邊形ABCO中（如圖1所示），AB=AD,ZABD=45°,BC=BD=CD=2,將四

邊形ABC。沿對角線折成四面體ABC。（如圖2所示），使得N4BC=90°,則四面

體ABCO外接球的表面積為（）

第2頁共23頁

A

A

A.9nB.8TTC.77TD.61r

12.已知雙曲線C：，一b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,Fi,左，右頂點(diǎn)分別

為4,A2,P為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線南1與附2的斜率之積等于3,則下列說法

正確的是()

A.雙曲線C的離心率為遙

B.若且SM&FZ=3,則a=2

C.以線段PFi,4A2為直徑的兩個圓外切

D.若點(diǎn)乃到C的一條漸近線的距離為我，則C的實(shí)軸長為4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知/(%)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(x)=-In(ax).若/(-e1)=2,則a=.

y?一］

14.若x,y滿足約束條件3x+y-540,則z=x+y的最大值為.

.3%—2y4-1>0

15.函數(shù)/(x)=-M+g的圖象在點(diǎn)(1,/(I))處的切線的斜率為.

16.若函數(shù)尸tan(3x+f在［-半芻上單調(diào)遞減，且在［一金上的最大值為小，則3

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：

共60分.

17.(12分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為mh,c,△ABC的面積為5,已

知4cosc+ccosA=V3,a=y/2b.

(1)求q；

(2)若S=+c?—爐)，求4.

18.(12分)某中學(xué)組織一支“雛鷹”志愿者服務(wù)隊(duì)，帶領(lǐng)同學(xué)們利用周末的時間深入居民

第3頁共23頁

小區(qū)開展一些社會公益活動.現(xiàn)從參加了環(huán)境保護(hù)和社會援助這兩項(xiàng)社會公益活動的志

愿者中，隨機(jī)抽取男生80人，女生120人進(jìn)行問卷調(diào)查(假設(shè)每人只參加環(huán)境保護(hù)和社

會援助中的一項(xiàng))，整理數(shù)據(jù)后得到如下統(tǒng)計表：

女生男生合計

環(huán)境保護(hù)8040120

社會援助404080

合計12080200

(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會公益活動所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)？

(2)從本校隨機(jī)抽取的120名參與了問卷調(diào)查的女生中用分層抽樣的方法，從參加環(huán)境

保護(hù)和社會援助的同學(xué)中抽取6人開座談會，現(xiàn)從這6人(假設(shè)所有的人年齡不同)中

隨機(jī)抽取參加環(huán)境保護(hù)和社會援助的同學(xué)各1人，試求抽取的6人中參加社會援助的年

齡最大的同學(xué)被選中且參加環(huán)境保護(hù)的年齡最大的同學(xué)未被選中的概率.

2

附：K2=(a+b)(c+d土)(a"2+c)(b+d)其中"=4+〃+c+d.

P(K2/)0.0250.0100.0050.001

ko5.0246.6357.87910.828

19.(12分)如圖，AB是圓。的直徑，圓。所在的平面，C為圓周上一點(diǎn)，。為線段

第4頁共23頁

PC的中點(diǎn)，NC8A=30°,AB=2PA.

(1)證明：平面AB￡>_L平面尸BC.

(2)若G為4。的中點(diǎn)，AB=4,求點(diǎn)P到平面2CG的距離.

%2y2

20.(12分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：言=l(Q>b>O)的上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為

第5頁共23頁

\FzA/6

B,△AOB的面積為一，原點(diǎn)O到直線AB的距離為一.

23

(I)求橢圓C的方程；

(2)過C的左焦點(diǎn)尸作弦。E,MN,這兩條弦的中點(diǎn)分別為P,Q,若而??疝V=0,

求△”Q面積的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)/'(x)=W+(2?+2)Inx.

第6頁共23頁

(1)當(dāng)。=-5時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在x€[2,e],使得/(x)-M>2x+等心成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第7頁共23頁

第一題計分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

（%=4-芻

22.（10分）在直角坐標(biāo)系X。）?中，直線/的參數(shù)方程為｛'G為參數(shù)）.以坐

丁=2+于

標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p2-2pcose

-4psin6-1=0.

（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)圓C與直線/交于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,2）,求解|+|「珥

［選修4-5：不等式選講］（10分）

第8頁共23頁

1

23.已知函數(shù)/(汽)=|2x—公|+|2%+。|(〃>0).

(1)當(dāng)。=1時，求不等式f(x)W3的解集;

(2)若/(|)<6,求。的取值范圍.

第9頁共23頁

2022年甘肅省白銀市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合人={-1,0,1,2},B={x\x(x-3)<0},則AAB=()

A.{1}B.{2)C.{1,2}D.{0,1,2}

解：集合A={7,0,1,2},B={x\x(x-3)<0}={x|0<x<3},

則ACB={1,2}.

故選：C.

2.己知復(fù)數(shù)2=(a-2i)(l+3z)(aeR)的實(shí)部與虛部的和為12,則a=()

A.1B.2C.3D.4

解：z=(a-2z)(l+3i)=a+3ai-2i-6z2=a+6+(3a-2)i,

所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別為“+6,3?-2,

則a+6+3a-2=12,得a=2.

故選：B.

3.已知向量3=(1,一夕)，向=3,a-b=3V6,貝丘與了的夾角為()

71717r2冗

A.-B.-C.-D.—

6433

解：因?yàn)閍=(l,—6)，\a\=V1+7=2V2,

T—>

又因?yàn)橛?3,=3V6,所以cos—,力>=上M=J^=^,<a,b>G[0,n],

|a|.|b|272,3z

所以VQ,b>=看.

故選:A.

4.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇

環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為0,。2,。3,…，。9,設(shè)數(shù)列{斯}為等差數(shù)列，

它的前〃項(xiàng)和為S〃，且02=18,44+46=90,則58=()

第10頁共23頁

A.189B.252C.324D.405

解：因?yàn)閿?shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，42=18,44+。6=2〃5=90,

所以。5=45,

所以d=妥?.=45g18=9,at=9,

貝ijS8=8m+28d=8X9+28X9=324.

故選：C.

121I

5.已知[VaV],則關(guān)于x的方程/一(a+l)x++)=o有解的概率為()

2131

A.-B.-C.-D.一

5846

解：關(guān)于大的方程%2—(a+1)%=o有解=4=1_(a+i)]2_4x(>+分

i

2，

21

12111一j2

，已知I<a則關(guān)于x的方程/一(a+1)%+-ra2-+5=。有解的概率為:2-I=工，

43”"乙---5

34

故選：A.

6.已知"為拋物線C：/=2py(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)M到C的焦點(diǎn)的距離為7,到x軸的

距離為5,則〃=()

A.3B.4C.5D.6

解：設(shè)M的縱坐標(biāo)為W，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為：y=-芻,

yo+另=7n

由題意可得，兩式相減可得多=2,即p=4,

yo=5

故選:B.

cos3a-cosa

7.已知tana=2,則JI-)

cos(a+-)

2321

A.-B.-C.一D.

5432

-cos3^a-cosacos3a-cosa

解：~~

cos(a+-)-sina

第11頁共23頁

.2

l—cos2a1stn^a

tanatanasin2a+cos2a

1tan2a142

tanatan2a+l—24+1-5'

故選：A.

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

日"1—6---;-"

A.18B.36C.54D.108

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖為：該幾何體為底面腰長為3近的等腰

直角三角形，高為6的三棱柱體：

如圖所示：

故U=*x3夜x3夜x6=54.

故選：C.

9.某保險公司銷售某種保險產(chǎn)品，根據(jù)2020年全年該產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）和該產(chǎn)

品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖.根據(jù)雙層餅圖，下列說

法正確的是（）

12月：6%月：5%

2月：5%

11月：10%

3月：6%

季度I月：6%

第四季改16

28%第：季收

5JJ

10/1:12%26():9%

第?:季度

30()

30%

9H:6月：11%

8月:10%7月：8%

第12頁共23頁

A.2020年第四季度的銷售額為380萬元

B.2020年上半年的總銷售額為500萬元

C.2020年2月份的銷售額為60萬元

D.2020年12個月的月銷售額的眾數(shù)為60萬元

解：設(shè)全年總銷售額為x萬元，貝UxX（5%+5%+6%）=160,

故x=1000,

選項(xiàng)A：第四季度銷售額為1000X28%=280（萬元），故A錯誤.

選項(xiàng)上半年銷售額度為160+260=420（萬元），故B錯誤.

選項(xiàng)C：2月份的銷售額為1000X5%=50（萬元），故C錯誤.

選項(xiàng)O：由圖易知銷售額占比為6%的月份最多，故月銷售額的眾數(shù)為1000X6%=60（萬

元），故。正確.

故選：D.

10.已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,前〃項(xiàng)和%=m+qn,若“6=803，則$4=（）

A.13B.15C.31D.33

解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛斯｝中，若熊=8〃3,則有爐=等=8,解可得q=2,

a3

nn

又由其前n項(xiàng)和5=m+q,則Sn=m+2,

貝!ISi=m=2+m,az—Si-Si=（4+w）-（\+m）—2,

又由q=2,則2=2（2+機(jī)），解可得機(jī)=-l,

故Sn=-1+2",則S4=-1+24=15,

故選：B.

11.在四邊形ABC￡>中（如圖1所示），AB=AD,ZABD=45°,BC=BD=CD=2,將四

邊形ABC3沿對角線8。折成四面體48CD（如圖2所示），使得NA7?C=90°,則四面

體ABCD外接球的表面積為（）

A.9nB.81TC.7nD.6n

解：'：AB=AD,ZABD=45°,

第13頁共23頁

B=AD,ZBAD=90a,

又,：BC=BD=CD=2,

貝i]AB2+AD2=4,

：.A'B=AD=V2,

可知△ABOZXAOC,則NABC=NAOC=90°,

取AC的中點(diǎn)。，連接BO,DO,

貝IJBO=D0=^AC,

所以點(diǎn)0為四面體ABCD外接球的球心，

則外接球的半徑為R=\AC=^AB2+BC2=1J(a)2+22=器.

所以四面體ABCD外接球的表面積S=4TTR2=4兀x(挈產(chǎn)=6TT,

故選：D.

12.已知雙曲線C：冬T=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，尸2,左，右頂點(diǎn)分別

為Ai,A2,P為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線南1與附2的斜率之積等于3,則下列說法

正確的是()

A.雙曲線C的離心率為舊

B.若PF|J_PF2,且SAP&FZ=3，則。=2

C.以線段PFi,4A2為直徑的兩個圓外切

D.若點(diǎn)出到C的一條漸近線的距離為百，則C的實(shí)軸長為4

x2

解：對于A,設(shè)P(x,y),則>2=從(—_]),

因?yàn)锳i(-a,0),A2(a,0),直線孫i與%2的斜率率之積等于3,

第14頁共23頁

vyy2b21b2

所以/QM?/(>.="；?----=——2=~2=3,得-1+—=2,故A錯誤;

i2%+ax-ax2-a2a21aL

對于B：因?yàn)閑=2,所以c—2.cii

而P為雙曲線的左支上一點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得-FQI=2a,

又PF1UF2,且5"&七=3，貝"P尸2卜『尸1|=6,

22

由|PF2F+|PF，|=(2C)2,可得(|PF2|-|PF||)+2|PF2h|PFl|=4c,

HP4a2+12=16a2,解得a=l,故8錯誤；

對于C：設(shè)PQ的中點(diǎn)為。1，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則0。|為△PQF2的中位線，

所以|0。1|=$尸乃|=/(IPFil+2a)=^PF\\+a,

則以線段PF1為直徑的圓，圓心為01，半徑ri=3PQ|,

以線段PF2為直徑的圓，圓心為O,半徑〃="，

對于O：因?yàn)辄c(diǎn)尸2到C的一條漸近線的距離為國，所以匕=遮，

又由前面的推理可知2=W，所以。=1,故C的實(shí)軸長為24=2,故力錯誤.

a

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知/(1)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(x)=-In(a￥).若f(-e1)=2,則a=1

解：根據(jù)題意，/(x)是奇函數(shù)，且/(-/)=2,

則f(/)=-/(-■)=-2,

又由當(dāng)x>0時，f(x)=-In(at),則有f(e2)=-In(〃，)=-2,

解可得。=1,

故答案為：1.

第15頁共23頁

y>—1

14.若x,y滿足約束條件3%+y-5WO,則z=x+y的最大值為二

3x—2y+1>0

yN—1

解：X,y滿足約束條件3x+y—5WO,

3x—2y+1N0

則X,y滿足的可行域如圖所示：

聯(lián)立方程解得A(1.2),

由圖可得2=］+>在點(diǎn)A處取得最大值，即z=1+2=3,

故答案為：3.

解：由f(%)=-x2+p得/'(%)=-2x-.

：.f(1)=-2X1-1=-3.

即函數(shù)/。)=一/+1的圖象在點(diǎn)(1,/(D)處的切線的斜率為-3.

故答案為：-3.

16.若函數(shù)尸an(cox+J)在［一］，勺上單調(diào)遞減，且在［-里三上的最大值為低則3

=

—一—4一?

解：因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)tan(3升卻在［一等$上單調(diào)遞減，

所以u)V0,且T=—；之爭，

—CO3

解得32一2，即—2工3<0,

第16頁共23頁

又因?yàn)槭瑃an（o）x+Q在［一條勺上的最大值為同

所以tan（―*D+Q=V5,

即-3—彳=-萬+^TC,攵EZ,

343

1

解得3=-7+3攵，AwZ；

1

所以％=0時，u）=-i

故答案為：—作.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,/XABC的面積為S,已

知acosC+ccosA=V3,a=\[2b.

(1)求〃；

(2)若S=W(Q2+c?—臺2),求A.

解：(1)因?yàn)閍cosC+ccosA=V3,

由余弦定理得，“X吆M+cxH處=6，

因?yàn)閍=y[2b.

整理得，b—V3,a—y/2b=V6,

(2)若S=§(a2+c2—b2)=x2accosB=差

-1V3

所以-acsiriB=—accosB,

26

所以tanB=皇，

由5為三角形內(nèi)角得，B=J,

O

、、，asinAr"

由正弦定理得，-==、/5,

bsinB

所以sinA=亭

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角且A>8,

第17頁共23頁

所以4=今或

18.（12分）某中學(xué)組織一支“雛鷹”志愿者服務(wù)隊(duì)，帶領(lǐng)同學(xué)們利用周末的時間深入居民

小區(qū)開展一些社會公益活動.現(xiàn)從參加了環(huán)境保護(hù)和社會援助這兩項(xiàng)社會公益活動的志

愿者中，隨機(jī)抽取男生80人，女生120人進(jìn)行問卷調(diào)查（假設(shè)每人只參加環(huán)境保護(hù)和社

會援助中的一項(xiàng)），整理數(shù)據(jù)后得到如下統(tǒng)計表:

女生男生合計

環(huán)境保護(hù)8040120

社會援助404080

合計12080200

（1）能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會公益活動所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)？

（2）從本校隨機(jī)抽取的120名參與了問卷調(diào)查的女生中用分層抽樣的方法，從參加環(huán)境

保護(hù)和社會援助的同學(xué)中抽取6人開座談會，現(xiàn)從這6人（假設(shè)所有的人年齡不同）中

隨機(jī)抽取參加環(huán)境保護(hù)和社會援助的同學(xué)各1人，試求抽取的6人中參加社會援助的年

齡最大的同學(xué)被選中且參加環(huán)境保護(hù)的年齡最大的同學(xué)未被選中的概率.

2

n(ad-bc)

附：K2=其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P（心沁。）0.0250.0100.0050.001

ko5.0246.6357.87910.828

解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得,

7

tz2-200x(80x40—40x40)?、556<6635

*~120x80x120x80~?,6<6.。外，

則沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會公益活動所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān).

（2）由題意可得，在抽取的6人中，其中環(huán)境保護(hù)占6x舞=4人，社會援助占6乂黑=

2人,

故抽取的6人中參加社會援助的年齡最大的同學(xué)被選中且參加環(huán)境保護(hù)的年齡最大的同

學(xué)未被選中的概率

19.（12分）如圖，A8是圓。的直徑，以，圓O所在的平面，C為圓周上一點(diǎn)，。為線段

PC的中點(diǎn)，ZCBA=30°,AB=2PA.

第18頁共23頁

(1)證明：平面平面PBC.

(2)若G為A。的中點(diǎn)，AB=4,求點(diǎn)P到平面BCG的距離.

(1)證明：因?yàn)椴糭!圓。所在的面，即南1.平面A8C,而BCu平面A8C,所以布J_

BC.

因?yàn)?8是圓。的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，所以ACLBC.

y.PAQAC=A,所以BC_L平面%C,而AOu平面%C,則BC_LAD

因?yàn)锳CJ_BC,NCBA=30°,所以AB=2AC.又AB=2%，所以限=AC,

又。為線段尸C的中點(diǎn).所以ACPC.

又尸CCBC=C,所以AO_L平面P8C,而A￡>u平面A8O,故平面ABO_L平面PBC.

(2)解：連接PG.

由(1)知NBCG=90°,因?yàn)锳B=4,所以AC=2,BC=2百,CG=](鄲+(加/=等

rr??1reJ10J30

所以S^BCG=2xV3X=~~2~-

因?yàn)锳C=B4=2,AD=V2,G0=￥，所以S^CG=x2或x孝=1.

設(shè)點(diǎn)P到平面BCG的距離為h,由SABCGh=S&pcGBC,得彳。九=2、/§,

解得點(diǎn)P到平面BCG的距離為九=野.

x2y2

20.(12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：=+￡=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為

yp2.y/^

B,△AOB的面積為一，原點(diǎn)O到直線AB的距離為一.

23

(1)求橢圓C的方程；

(2)過C的左焦點(diǎn)F作弦DE,MN,這兩條弦的中點(diǎn)分別為P,Q,若法■MN=0,

求AFPQ面積的最大值.

第19頁共23頁

解：(1)易知4(0,b),B(a,0).

因?yàn)椤鰽OB的面積為?，所以S-oB=；ab=孝.

XvV6

又直線AB的方程為一+3=1，即hx^ay-ab=3點(diǎn)O到直線AB的距離為二,

abV6

yja2+b2

=V2

聯(lián)立方程組?

解得a—V2,b=l,

所以橢圓C的方程為萬+y2=1.

(2)由題意知直線OE,MN的斜率均存在，設(shè)。E的斜率為％,D(xi,yi),E(x2,

由(1)知尸(-1,0),

則直線DE的方程為y=k(x+1).

聯(lián)立方程組消去y,得(1+2F)/+4&+2F-2=0,

4k2

由韋達(dá)定理可得與+小=一毒

因?yàn)镻(xp，yp)為DE的中點(diǎn)，所以孫=—7,yP=fc(xP+1)=―幺下，即

1+2/i+2r

P(--%,—^)，

l+2/cz1+2F

所以|PF|=

因?yàn)橹本€MN的斜率為一/，用一日弋替女得Q(―f—,-，所以|QF|=嗎也

所以SAFPQ/IPFIIFQI=

21+2/

2

設(shè)t=Jk+p+2(t>2),51IJSAFP(3=1?昌三=4,止I(t22),當(dāng)且僅當(dāng)t=芋時取

等號.

設(shè)/'(￡)=2t+：(t22),由對勾函數(shù)的性質(zhì)知f(r)在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)1=2時，/(f)最小，即S4FPQ最大，此時忸+3+2=2,解得必=1,

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Ill

所以△FPQ面積的最大值為3x—r=

4+5

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=/+(26f+2)Inx.

(1)當(dāng)。=-5時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在》42,e］,使得/(*)—/>2x+第成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)解：當(dāng)a=-5時，/(x)=7-8欣,可知f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

則/''(%)=2%-、=2"x8.x>0,

可知當(dāng)(0,2)時，f'(x)<0；

當(dāng)(2,+8)時，/(x)>0；

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

(2)解：由題可知，存在x€［2,e］,使得f。)—/>2x+華^成立，

等價于2x+?井一(2a+2)ExV0在［2,e］內(nèi)有解，

可設(shè)/(X)=2x+2/4—(2a+2)Znx,即在［2,e］上，函數(shù)f(x)的<0,

.,,,_(2a+4)(2a+2)2x2-(2a+2)x-(2a+4)2(x+l)［x-(a+2)］

?=2---------=--------m--------=--------------'

令h(x)=0,即(x+l)［x-(Q+2)］=0,解得：x=a+2或x=-1(舍去),

當(dāng)a+22e,即a2e-2時，h(x)<0,/(x)在［2,e］上單調(diào)遞減，

???h(x)min=h(e)=2e+^^-2a—2vo,得a》>}},

e2—e+2p2_p_i_o

又------->e-2,所以a>—產(chǎn),

e-1e-1

當(dāng)a+2W2時，即aWO時，h(x)>0,h(x)在［2,e］上單調(diào)遞增，

：.h(x)mm=h(2)=6+a-(2a+2)/n2<0,

得a>號粵>°，不合題意；

當(dāng)2Va+2Ve,即OVa