2023年河南省TOP20名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（4月份）

2023年河南省TOP20名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（4月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設(shè)集合一=集|/>0},B={-1,0,1,2},則ACB=（）

A.{-1}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z+l|=且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y）,貝ij（）

A.x=1B.y=1C.x+y=0D.x—y=0

3.下列直線中，可以作為曲線y=cos（2x-］）的對稱軸的是（）

A.x=B.x=gC.%D.x=y

4.尿酸是鳥類和爬行類的主要代謝產(chǎn)物，正常情況下人體內(nèi)的尿酸處于平衡的狀態(tài)，但如

果體內(nèi)產(chǎn)生過多來不及排泄或者尿酸排泄機制退化，則體內(nèi)尿酸滯留過多，當(dāng)血液尿酸濃度

大于7mg/dL時，人體體液變酸，時間長會引發(fā)痛風(fēng)，而隨低食物（低口票吟食物）對提高痛風(fēng)病

人緩解率、降低血液尿酸濃度具有較好的療效.科研人員在對某類隨低食物的研究過程中發(fā)現(xiàn),

在每天定時，定量等特定條件下，可以用對數(shù)模型U（t）=描述血液尿酸濃度（單

位：mg/dL）隨攝入隨低食物天數(shù)t的變化規(guī)律，其中%為初始血液尿酸濃度，K為參數(shù).已知

Uo=20,在按要求攝入隨低食物50天后，測得血液尿酸濃度為15,若使血液尿酸濃度達到

正常值，則需將攝入隨低食物的天數(shù)至少提高到（力“1.49）（）

A.69B.71C.73D.75

5.計劃安排甲、乙兩個課外興趣小組到5處水質(zhì)監(jiān)測點進行水樣采集，每個興趣小組采集3處

水樣，每處水樣至少有1個興趣小組進行采集，則不同的安排方法共有（）

A.30種B.32種C.34種D.36種

6.已知拋物線C：y2=2px（p>0）焦點為F,準線為，，點4（3,2「）在C上，直線4F與，交于

點B,則踹=（）

A.1B.yplC.qD.2

7.在正方體48C0-4B1C1D1中，M,N,P分別為&B,&G，&。的中點，則下列結(jié)論中

錯誤的是（）

A.MN//AD1B.平面MNP〃平面BCi。

C.MN1CDD.平面MNP1平面4BD

8.已知圓C：(x-l)2+(y-2)2=5,圓C'是以圓/+y2=i上任意一點為圓心，半徑為1

的圓.圓C與圓C'交于A,B兩點、,則當(dāng)44cB最大時，|CC'|=()

A.1B.y/~2C.<3D.2

9.32名業(yè)余棋手組隊與甲、乙2名專業(yè)棋手進行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機選擇一名專

業(yè)棋手進行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名，則業(yè)余

棋手隊獲勝.已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為g,每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概

率均為;，若業(yè)余棋手隊獲勝，則選擇與甲進行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為()

A.24B.25C.26D.27

a

10.已知無窮數(shù)列｛即｝滿足：如果冊1=n>那么am+i=an+「且%=as=1,a3=-3,

a4=4,a2是由與的等比中項?若的前幾項和無存在最大值S,貝□=()

A.0B.1C.2D.3

11.已知圓臺。1。的上、下底面半徑分別為r,R,高為h,平面a經(jīng)過圓臺。1。的兩條母線,

設(shè)a截此圓臺所得的截面面積為S,則()

A.當(dāng)/iZR-r時，S的最大值為(R+2r)八

B.當(dāng)/iNR—r時，S的最大值為絲嚶嘩力

C.當(dāng)九<R-r時，S的最大值為(R+2r)h

22

D.當(dāng)九<R—r時，S的最大值為空萼羋山

2(RT)

12.已知a=Ln2,4,b=log32.8,c=lg5.7,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知向量五=(1,2),b=(-2,-1)?寫出一個與方一B垂直的非零向量蕓=.

14.己知曲線/(x)=［曙>°過曲線上兩點4B分別作曲線的切線交于點

(一十L),—L%<u

P,4P1BP.記4,B兩點的橫坐標分別為％x2,則/+/=.

15.己知雙曲線C：^|-4=l(a>0,b>0)的左頂點為A,P為C的一條漸近線上一點，4P與

C的另一條漸近線交于點Q，若直線AP的斜率為1,且4為PQ的三等分點，則C的離心率為

16.某種平面錢鏈四桿機構(gòu)的示意圖如圖1所示，4c與BD的交點在四邊形4BCD的內(nèi)部.固定

桿BC的長度為JI,旋轉(zhuǎn)桿4B的長度為1,4B可繞著連接點B轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，伸縮桿4D

和CD同時進行伸縮，使得4D和CD的夾角為45。，4。的長度是CD的長度的。倍.如圖2,若

在連接點B,D之間加裝一根伸縮桿BD,則伸縮桿BD的長度的最大值為

圖⑴圖⑵

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

已知數(shù)列｛。工，等差數(shù)列｛bn｝滿足匕=%+%+i，瓦=-3,b2+b3=-12.

（1）證明：an-an+2=2；

（2）若｛廝｝為等差數(shù)列，求｛an｝的前n項和.

18.（本小題12.0分）

太平洋是地球上島嶼最多的大洋，有大小島嶼2萬多個，島嶼面積約占世界島嶼總面積的45%,

蘊藏著豐富的動植物資源.為了解太平洋某海域的島嶼上植物種數(shù)的生態(tài)學(xué)規(guī)律，隨機選擇了

6個島嶼，搜集并記錄了每個島嶼的植物種數(shù)（單位：個）和島嶼面積（單位：平方千米），整理

得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i123456

島嶼面積X61525344454

植物種數(shù)y51015192431

并計算得=2042,Xiyt=1201.

（1）由數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.根據(jù)表中前4號樣本數(shù)據(jù)，求y關(guān)于％的線

性回歸方程；

（2）根據(jù)所求的線性回歸方程計算第5,6號樣本植物種數(shù)的預(yù)報值y,并與相應(yīng)植物種數(shù)的真

實值y進行比較.若滿足|y_y|Wl，則可用此回歸方程估計該海域其他島嶼的植物種數(shù)，并

估計面積為100平方千米的島嶼上的植物種數(shù)；若不滿足，請說明理由.

,_EC=i(x「x)(%-y)_Y."=ixiy-nxy

參考公式:U——9-o-a=y—bx'

-i-%)￡%城一疝

19.(本小題12。分)

如圖，在三棱錐A-BCD中，4BCD=90°,AB=AC=AD.

(1)證明：平面4BD_L平面BCD；

(2)若BD=2,BC=1,當(dāng)直線與平面ACD所成的角最大時，求三棱錐力-BCD的體積.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C：務(wù)，=l(a>b>0)的左頂點為4P為C上一點，。為原點，|P4|=伊。|,

乙4Po=90。，△4「。的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)B為C的右頂點，過點(1,0)且斜率不為。的直線/與C交于M,N兩點，證明：3tan^MAB=

tanZ.NBA.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2,/'(%)為/。)的導(dǎo)數(shù).

(1)討論「(X)的單調(diào)性；

(2)若直線y=］與曲線y=/(x)有兩個交點，求a的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標系xOy中，直線I的參數(shù)方程是心:笠；?入出9(￡為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程是

『二；'2_2為參數(shù))，以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線。2的極

坐標方程為P=L

(1)求G，。2的直角坐標方程；

(2)若直線2與G交于4,B兩點，與。2交于C,0兩點，|0川=|OB|,且|OC|=|OD|,求|CD|.

23.(本小題12.0分)

已知Q,b均不為零，且滿足/+廬=1.證明：

(l)|a|+網(wǎng)wC；

3/

(2)|a^|+|^-|>1.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為4={x|x(x-2)<0}={x[0<x<2},B={-1,0,1,2),

則4CB={1}.

故選:B.

由題意可得A={%|0<x<2},根據(jù)交集的定義求解即可.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由題意，z=x+yi(x,yeR),

由|Z+11=\Z-l\,得J(X+1)2+y2=J.+(y—1)2,

整理得：x+y=0,

故選：C.

由已知可得z=x+yiix.yGR),代入|z+1|=|z-i|,利用復(fù)數(shù)的模相等列式化簡得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：y=cos(2x-^)=sin2x,

對于4,當(dāng)x時，y=sinj=1,則x=3是曲線丫=cos(2久一引的對稱軸，4是；

對于B,當(dāng)尤=狎，y=sin：=《^±l，則》=部是曲線y=cos(2x-9)的對稱軸，8不是;

對于C,當(dāng)％=卯寸，y=sinrr=0±1,則x=]不是曲線y=cos(2x*)的對稱軸，C不是；

對于。，當(dāng)*=，時,曠=豆吟=_梟±1，則”與不是曲線y=cos(2x—今的對稱軸，。不

是.

故選：A.

利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項代入驗證作答.

本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)模型U(t)=—Uo"K3當(dāng)t=50時，［/(t)=15,

可得15=-20/n(50/<),即15=-20/n50-20仇K①.

設(shè)血液尿酸濃度達到正常值7mg/dL時，攝入天數(shù)為t',

則7=-20加(t'K),即7=-20lnt'-20hiK②，

2￡22

則--

-=e5=5

5

50

故選：D.

代入t=50得15=-20"50-20，nK,設(shè)濃度為7mg/dL時，攝入天數(shù)為t',則有7=-20)t'-

20lnK,通過作差解出t'即可.

本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于中檔題.

5.【答案】力

【解析】解：依題意，每個興趣小組采集3處水樣，

每處水樣至少有1個興趣小組進行采集，可分為兩步,

第一步，甲組進行采樣，有瑤=10種方法；

第二步，乙組進行采樣，有廢x盤=3種方法.

所以共有10x3=30種不同的安排方法.

故選：A.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理與組合數(shù)計算.

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：■:點2(3,2，？)在拋物線C：y2=2px(p>0)±,

12=2px3,??p=2,F(l,0),

\AF\=I(3-I)2+(2V-3)2=4，

過點4作l的垂線，垂足為H,由拋物線的定義可知川=\AF\=

4,

設(shè)/與x軸交于點G,則|FG|=p=2,

\AH\=2|FG|,V.AH//FG,

|4B|=2|BF|,.?.尸為AB中點,

\BF\

故選:A.

將點4（3,2門）代入拋物線方程中，可得p=2,過點4作，的垂線，垂足為H,，與x軸交于點G,則

\AH\^2\FG\,所以尸為中點，從而可得提的值.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：對4在A/liBCi中，因為M,N分別為&B,&G的

中點，

所以MN〃BC1又BC\〃AD\,所以MN〃AD°A正確.

對B,在△&BD中，因為M,P分別為4山的中點，

所以MP〃BD,

因為MPC平面BG。，BOu平面BQO,

所以MP〃平面BCi。

因為MN//BC],MNC平面BG。，BC】u平面8G。，

所以MN〃平面BG。.

又因為MPCMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面BQ。，B正確.

對C,因為MN〃4Di，ADr1CD,所以MN1CD,C正確.

對D,取BO的中點E,連接4E,EG，則N&EC1是二面角①一BD-G的平面角.

設(shè)正方體棱長為a,則cos乙4iEG=——+；.））2=1*0,

又0。<“EG<180°,則乙4皿豐90°,

所以平面4BD與平面BGD不垂直.

又平面MNP〃平面Be】。，

所以平面MNP與平面&B。不垂直，。錯誤.

故選：D.

根據(jù)中位線以及平行的傳遞性判斷選項A;根據(jù)面面平行的判定定理判斷選項以由平行的性質(zhì)

可判斷選項C；先證明平面4BD與平面BGC不垂直.再根據(jù)平面MNP〃平面86。即可判斷選項

D.

本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔

題.

8.【答案】。

【解析】解：在AABC中，|4C|=|BC|=廳，如圖所示:

顯然。<|明42,“CB是銳角，sin怨=鏢=盥又函數(shù)y=sinx在(0,個上遞增,

因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦4B最大時，乙4cB最大，此時弦4B為圓C'的直徑,

在RtAACC'中，4ACC=90。，MC'|=1,所以|CC'|=J|4C|2-|4C'|2=2.

故選：D.

根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.

本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

9.【答案】A

【解析】解：設(shè)選擇與甲進行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X,選擇與乙進行比賽且獲勝的業(yè)余

棋手人數(shù)為丫，

選擇與甲進行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為小則選擇與乙進行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32-人

易知，X所有可能的取值為0,1,2,…，n,則X?B(n之)，則E(X)=:

y所有可能的取值為0，1,2,32-n,則丫一8(32-珥手，則E(Y)=罕，

則獲勝的業(yè)余棋手總?cè)藬?shù)的期望E(X+丫)=E(X)+E(Y)=為+宇=等>10,解得n>24.

故選：A.

由二項分布及其期望計算即可.

本題考查二項分布及其期望，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：由%=1,a4=4,a2是的與的等比中項，得。2=±2,

若=2,由%=CI5=1及已知，得。6=2,由=—3,得。7=—3,則=4,

因此數(shù)列｛廝｝的項依次為：1，2,-3,4,1,2,-3,4,…，數(shù)列｛即｝是以4為周期的數(shù)列，

顯然Sm=n（%++。4）=4n,數(shù)列｛Sm｝單調(diào)遞增，無最大項，因此數(shù)列｛冊｝的前n項和

無最大值；

若a?=—2,同理可得數(shù)列｛aj的項依次為：1,—2,—3,4,1,—2,—3,4,…，數(shù)列｛an｝是以

4為周期的數(shù)列，

S1=1,52=—1>S3=—4,S4=°，$5=1,S6=-1,S7=—4,58=0，

數(shù)列｛S"｝是以4為周期的數(shù)列，且S4n_3=1，S4n-2=-1-S471T=-4,S4rl=0,此時｛%｝的前Zl項

和％存在最大值，

所以％的最大值S=L

故選:B.

由。2是由與。4的等比中項求出。2,再分情況計算判斷作答.

本題主要考查數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：如圖，將圓臺01。補成圓錐PO.

設(shè)圓臺。1。的母線長為I,則產(chǎn)=層+（R_r）2,等腰梯形4BCD為過兩母線的截面.

T"Y

設(shè)PC=%,乙APB=e,由萬=7Z?得％='

KX-rlR一廠

22

則S=1[(x+0-x]sin0=2^R-r')I?sin。,

當(dāng)八NR-r時，0<90°,當(dāng)sin。最大，即截面為軸截面時面積最大，

則S的最大值為：(2R+2r)/i=(R+r)/i.

當(dāng)hVR—r時，9>90°,當(dāng)sin。=1時，截面面積最大，

則S的最大值為離不[2=(R+”￡+(廠內(nèi).

2(/?-r)2(7?-r)

故選：D.

通過將圓臺補成圓錐，利用圖形分h>R-r和h<R~7■討論即可.

本題主要考查圓臺的結(jié)構(gòu)特征，解題的關(guān)鍵的是通過補圖，利用三角形相似和三角形面積公式求

解即可，考查分類討論思想與運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：因為a=)2.4>0,b=log32.8>0,

所以尸黯<舞=ln2A*伍3<(^^)2=(竽/=(ln5)2<(，ne)2=1,

則a<b；

2

,ur,，oA2Zn2.42ln2Aln2A

""ZnlOZnlOIn\HlO

因為InQQ>Ine=1，所以c<ln2A=a,

則有c<a<b.

故選：C.

由題意可知a>0,b>0,c>0,用作商法比較a,￡)的大小，由換底公式可得c<"2.4=a,從

而得答案.

本題考查考查比較大小問題，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用，屬中檔題.

13.【答案】(1,-1)(答案不唯一)

【解析】解：由題意可知五一方=(3,3)，設(shè)不=(x,y)，則3x+3y=0,

取x=L則y=-l,則與五一方垂直的非零向量可以為3=(1,-1).

故答案為：(1,一1)(答案不唯一).

首先計算五一加=(3,3)，設(shè)F=(x,y),利用向量垂直，數(shù)量積為0,即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-1

【解析】解：當(dāng)x>0時,/'⑺=擊；當(dāng)》<0時，/⑶=一擊,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象，不妨設(shè)與<0,x2>0.

1

因為曲線/(")在點4B處的兩條切線互相垂直，所以一表,

]=—1

x2+l_，

11

整理得打小+/+上=0,所以是,+以=-L

故答案為：-1.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象及垂直的斜率關(guān)系計算即可.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

15.【答案】挈

【解析】解：己知直線4P的斜率為1,

設(shè)PQ所在的直線方程為y=x+a,

又雙曲線的漸近線方程為y=±^x,

y=%+a

b,

{y=?

消X可得y=怒，

(y=x+a

聯(lián)立b,

(.y=~aX

消X可得y=黑,

乂A為PQ的三等分點，

則纏=也,

人」力+。a-b

即a=3b,

22

即Q2=9b2=9c-9a,

即￡=￡12,

a3

即C的離心率為吁.

故答案為：子.

由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】3

【解析】解：設(shè)乙4BC=0,且。€（0,兀），

在△力BC中，由余弦定理得4c2=AB2+BC2-2AB-BCcosd=3-2y/~2cos0，

又由正弦定理得=空，則sin〃CB=喘

sinZj4cBs\n0AC

在△4CD中，AD=yTzCD,Z-ADC=45°,則N4CD=會且CD=AC,

在△BCD中，由余弦定理得B/）2=CD2+2-2y/~2CD-cos（^+乙ACB）

=AC2+2+2y/~2ACsinAACB=3-2y/~2cos0+2+2G4c?萼

=5+2y/~2（sin9-cos。）=5+4sin（0-1，

.?.當(dāng)。=與時，5皿9-》取最大值1,可得BO?的最大值為9,

???8。長度的最大值為3.

故答案為：3.

設(shè)N4BC=0,4￡△4BC中，由余弦定理可得=3_2yTlcos9,再由正弦定理得sin4ACB=嚶,

AL,

在ABC。中，由余弦定理可得8。2=5+45譏（。一：），利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】（1）證明：設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由％+2=-12,得2瓦+3d=-12,

由瓦=-3,得d=-2,故垢=-2n—1,

即時+an+i=-2n-1①，

遞推，得％i+i+Qn+2=-2/1—3②，

①一②得Qn-an+2=2,

故即-即+2=2得證?

（2）解：若｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d',

由Q71+2-Qn=一2,可得2d'=—2,則d'=—1.

又???an+an+1=—2n—1,:.2an+d'=—2n—1,:.an=—n,:.ar=—1,

????。那皫醉椇蛃n=%吻=-^-T

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由等差數(shù)列的通項公式可求得d,從而可得垢=-2n-1,則

an+an+1=-2n-1,an+1+an+2=-2n-3,作差即可證明；

（2）設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d',由（1）解得d'=—1,結(jié)合即+an+1=-2n-1求出即=-n,再利用

等差數(shù)列求和公式即可得到答案.

本題主要考查數(shù)列的遞推式，數(shù)列的求和，等差數(shù)列的前n項和公式，考查運算求解能力，屬于中

檔題.

18.【答案】解：（1）依題意，*=處￡詈型=20/=2竽段=12.25,6=學(xué)等

Zj=l演一4%

1201—4x70x12-八

繪42一北需=0?5,。=歹一成=12.25-0.5x20=2.25，

所以所求線性回歸方程為y=o,5x+2.25.

（2）當(dāng)x=44時，y=0.5x44+2.25=24.25-\y-y\=|24.25-24|=0.25<1-

當(dāng)#=54時，y=0.5x54+2.25=29.25，|y-y|=|29.25—31|=1.75>1，

所以不能用此回歸方程估計該海域其他島嶼的植物種數(shù).

【解析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出京歹，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）利用（1）中線性回歸方程，按要求計算并判斷作答.

本題考查線性回歸方程的性質(zhì)，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）證明：如圖，取8D的中點G,連接4G,CG.

因為NBC。=90°,BG=DG,所以BG=CG（直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半）

又因為4B=AC,G為BD的中點，

所以4G1BD,

所以44GB=/.AGD=90°,

又因為AG為公共邊，

所以△ABG三△ACG,

所以NAGC=Z.AGB=90°,所以AG1CG,

又因為4G1BD,BDOCG=G,BD,CGu平面BCD,

所以4G1平面BCO,又因為4Gu平面4B0,

所以平面ABD1平面EC。；

(2)過點C作直線CH1平面BCD,

以C為坐標原點，CD，CB，屈的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建系如圖,

設(shè)直線AB與平面4CD所成的角為a,

_J麗_2a

則sina=|cos伍，瓦?)|

=同而I=Fmv正H

4

sin2a=

(4a24-l)(a2+l)4a4+5a2+l5,

當(dāng)且僅當(dāng)4a2=，即a=?時，等號成立.

因為B。=2,BC=1,Z.BCD=90°,

所以CD=C，

此時三棱錐A-BCD體積p=1sAecDx4G=gx?x?=噂，

故當(dāng)直線ZB與平面ACC所成的角最大時，三棱錐A-BCD的體積為工.

【解析】(1)取BD的中點G,連接AG,CG,則有4G_L8C,由△4BG三△4CG可得N4GC=NAGB=

90°,AG1CG,由線面垂直的判定定理可得4Gl平面BCO,即得；

(2)設(shè)4G=a(a>0),建立空間坐標系，則有時當(dāng)。=殍時，直線AB與平面4co所成的角最大,

再利用棱錐的體積公式計算即可.

本題考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解線面角問題，三棱錐的體積的

求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題.

20.【答案】解：（1）不妨設(shè)點P在久軸的上方，由橢圓的性質(zhì)可知|0*=a,

???△AP。是以P為直角頂點的等腰直角三角形，?》（一，為代入，+5=1,專片+1=1，

整理得a?=3b2,1?,△4P。的面積為1,.a1a=1,；.a2=4,b2=9，故橢圓C的方程為1+

LL34

孚=1;

4

（2）證明：設(shè)直線/M的斜率為的，直線BN的斜率為七，M（x1,y1）/V（x2,y2）,

直線MN的方程為％=my+1,

不妨設(shè)V0V則七=tan4MAB,k2=tanzJVBA,

聯(lián)立｛鼠U4，可得（小+3療+2my-3=0,

4=16m2+36>0,則y1+y2=一;%為=

?>?TV2=T,即2啊”2=3（%+%），

/1Z2°

丫13,,、1,3

.==>式z?—1）=映丫2—=2仇+丫2）-曠］=/+2y2=1

―古一（叫+3）巧—畋仍+3y?-前+y?+3y2一拉+獷孑

乙

???3kl=k2,:.3tanMAB=tanzJVBA.

【解析】（1）通過分析得p（-，個，將其坐標代入橢圓方程，結(jié)合AAP。面積和a,b,c的關(guān)系即

可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線4M的斜率為右，直線BN的斜率為優(yōu)，M（Xi，yi）N（X2/2），直線的

方程為％=my4-1,再將其與橢圓聯(lián)立得到韋達定理式，通過化簡得2myiy2=3（乃+力），最后

計算萼，將上式代入即可證明其為定值.

k2

本題考查了直線與圓錐曲線的綜合運用，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)g(x)=/'(%)="歡一2ax+1,g(%)的定義域為(0,+8),

g'Q)=f_2a,

當(dāng)aWO時，g'[x}>0,g(%)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時，令g'(%)=0,得％=

若％G(0,/)，“(%)>0,g(%)單調(diào)遞增；

若％w(+,+oo),g'x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)Q40時，尸(乃在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)Q>0時，(。)在區(qū)間(0喧)上單調(diào)遞增，則心+8)上單調(diào)遞減.

22

(2)直線y=臺與曲線y=f(x)有兩個交點，即關(guān)于x的方程以nx-ax2=自有兩個解，

即。吟-裊

令等一裊其中％>0,則/5)=?+1|=上竽必，

令s(x)=x-xlnx+e2,則s'(%)=-Inx,

當(dāng)0<x<1時,s'(x)>0,此時函數(shù)s(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)%>1時，s\x)<0,此時函數(shù)s(%)單調(diào)遞減.

由s(l)=14-e2,s(e2)=0,得0<x<1時，x—xlnx+e2=%(1—Inx)+e2>0,則w'(x)>0；

當(dāng)[VxVe?時，s(x)>s(e2)=0,則"(%)>0；

當(dāng)%>??時，s(x)<s(e2)=0,則w'(%)<0,

所以函數(shù)W。)在區(qū)間(0,。2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，,+8))上單調(diào)遞減，

則W(X)max=(P(62)=