第五十四講 高考復(fù)習(xí)-相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

第三節(jié)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率最新考綱1.了解相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率．2．會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.高考熱點(diǎn)1.以考查相互獨(dú)立事件的概率為主，綜合等可能性事件的概率、互斥事件及對(duì)立事件的概率．同時(shí)考查排列、組合知識(shí)．2．以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題.1.相互獨(dú)立事件及同時(shí)發(fā)生的概率(1)相互獨(dú)立事件事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．(2)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于，即P(A·B)＝

．沒(méi)有影響每個(gè)事件發(fā)生的概率的積P(A)·P(B)推廣：如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于

，即P(A1·A2·…·An)＝

．每個(gè)事件發(fā)生的概率的積P(A1)·P(A2)·…·P(An)2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)若n次重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的．(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝

.1．運(yùn)用公式P(A·B)＝P(A)·P(B)時(shí)一定注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立．題型一相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率思維提示P(A·B)＝P(A)P(B)[分析]

分清事件之間的關(guān)系，準(zhǔn)確運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式及對(duì)立事件的概率公式求解．[規(guī)律總結(jié)]

關(guān)于互斥事件與相互獨(dú)立事件概率公式的綜合運(yùn)用，是高考概率問(wèn)題的常見(jiàn)題型．利用概率加法公式、減法公式(對(duì)立事件的概率)、乘法公式進(jìn)行相關(guān)事件的概率計(jì)算，要注意區(qū)分一些容易混淆的概念，如“對(duì)立事件”與“互斥事件”，“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”等，具體問(wèn)題中概率的運(yùn)算公式常附加一些條件，要弄清這些關(guān)鍵字、詞的差異，如“恰有

”、“至少”、“至多”、“都”、“或”等.備選例題1

一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得零分”．某考生已確定有9道題的答案是正確的，其余題中：有一道題可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．試求該考生：(1)得60分的概率；(2)得多少分的可能性最大？[分析]

本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，可用事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式求解．[規(guī)律總結(jié)]

有關(guān)射手射擊問(wèn)題，可以看作典型的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，這里基于以下三點(diǎn)原因：(1)若把射手每射一次看作一次試驗(yàn)，則每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，也就是說(shuō)某一次試驗(yàn)的結(jié)果不影響另一次試驗(yàn)的結(jié)果；(2)整個(gè)射擊過(guò)程都是重復(fù)著同一種試驗(yàn)；(3)整個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果有且只有兩種：擊中目標(biāo)或者擊不中目標(biāo).題型三相對(duì)獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用思維提示靈活應(yīng)用等可能性事件、互斥事件、對(duì)立事件以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式解決問(wèn)題.例3甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒(méi)有影響，求：(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；(3)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率．[分析]

第(1)問(wèn)是有關(guān)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的問(wèn)題，第(2)問(wèn)和第(3)問(wèn)是既有相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，又有互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率問(wèn)題．答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063.答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.[規(guī)律總結(jié)]

如果所要求解的概率問(wèn)題是由若干個(gè)連續(xù)的部分過(guò)程組成的總過(guò)程，那么計(jì)算與此總過(guò)程有關(guān)的事件的概率時(shí)，可應(yīng)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．其解題步驟為：(1)用恰當(dāng)字母表示題中有關(guān)事件；(2)根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；(3)將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積，或若干個(gè)乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足相互獨(dú)立)；(4)利用概率乘法公式計(jì)算概率.備選例題3某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力．每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)．已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響．(1)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率．計(jì)算錯(cuò)誤例某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立)．(1)求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；(2)至少有幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3?[錯(cuò)因分析]