第四章方陣的特征值和特征向量的計算

第四章方陣的特征值和特征向量

定義4.1

對于n階方陣A，若存在常數(shù)

和n維非零向量x，滿足

Ax=x則稱

為A的一個特征值，稱x為A的對應于特征值

的特征向量。

1注1

若

是A的特征值，則有稱之為矩陣A的特征方程，所以特征值也稱為特征根。注2

特征向量不唯一，若x是特征向量，則對任意非零實數(shù)k,kx也是特征向量。但特征值是唯一的。定理4.1若是A的特征值，是的某一多項式，則矩陣的特征值為特別定理4.2

若A為實對稱矩陣，則A的所有特征值均為實數(shù)，不同特征值對應的特征向量正交。且存在正交矩陣Q，使其中Q的第j列是所對應的特征向量，且

2定理4.3若|P|0，B=P-1AP，稱A，B相似，相似矩陣具有相同的特征值。

3§1乘冪法定理4.4

設矩陣A具有n個線性無關的特征向量x1,x2,…,xn，其相應的特征值

1,2,…,n滿足一、乘冪法

乘冪法用來求矩陣按模最大的特征值和相應的特征向量。則對任取的一初始非零向量v0由產(chǎn)生的向量序列滿足證由于x1,x2,…,xn線性無關，故n維向量v0必可由它們線性表示,設

4設α1≠0，當k充分大時有

5注1

收斂速度由比值確定，比值越小收斂速度就越快，比值接近與1，收斂速度就越慢。注2

當矩陣的按模最大特征值是重根時，定理的結論仍然成立。

6注3

當|λ1|>1時，迭代向量{vk}的各個分量將隨著|λ1|k變得很大而使計算機“上溢”。當|λ1|<1時，迭代向量{vk}的各個分量將隨著|λ1|k變得很小vk

成為零向量。

7為克服這兩個弊端，常將向量序列規(guī)范化處理，就得到了改進的乘冪法。二、改進的乘冪法設v

為非零向量，將其規(guī)范化得到向量其中max(v)表示向量v

的絕對值（或模）為最大的分量，因此有計算公式。因此有

8注4在定理的證明中，我們假設α1≠0，在選擇v0時雖然無法判斷，但這并不影響由乘冪法產(chǎn)生的向量序列的收斂性。因為若選擇的v0,即使有α1=0，由于計算誤差的影響，將會使在迭代在某一步會產(chǎn)生的vk，它在x1方向上的分量不為零，這時以后的迭代仍會收斂。注5在定理的證明中，我們假設了A具有n個線性無關的特征向量，當A不具有n個線性無關的特征向量時，乘冪法不適用,但事前無法判斷這一點。所以在應用乘冪法時，發(fā)現(xiàn)不收斂或收斂很慢情況，就要考慮可能出現(xiàn)了此種情況，需改變初始值重新計算。

9例4.2

求矩陣解

計算結果見下表

10按模最大的特征值和相應的特征向量

k

vk

uk0111111112.0027.0056.000.21430.4821128.35719.9844.570.18750.4483138.16819.6043.920.18600.4463148.15719.5743.880.18590.4460158.15719.5743.880.18590.44601三、反冪法只要求出A-1的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的特征值，及其相應的特征向量。反冪法用來求矩陣A的按模最小特征值及其相應的特征向量。設A是非奇異矩陣，其特征值的次序為相應的特征向量為則A-1的特征值滿足

11任取初始非零向量向量v0，構造向量序列注可用解方程組來完成，該方程組是同一個系數(shù)矩陣的一系列方程組，為節(jié)約計算工作量，可采用三角分解法來求解。反冪法也可用來計算矩陣A對應于一個給定的近似特征值的特征向量。設是矩陣A的特征值的一個近似值。滿足設矩陣是非奇異矩陣，對矩陣利用反冪法求出其按模最小特征值，和相應的特征向量。§2Jacobi方法

Jacobi方法用來求實對稱矩陣的所有特征值和相應的特征向量。若A為實對稱矩陣，則A的所有特征值均為實數(shù)，不同特征值對應的特征向量正交。且存在正交矩陣Q，使

13其中Q的第j列是所對應的特征向量，且一.平面旋轉矩陣例4.3

將雙曲線轉化為標準形式。解進行坐標軸旋轉，取

14二n

階實對稱矩陣的對角化Jacobi方法就是尋找一系列正交矩陣，使這樣就有{Tk}是相似矩陣序列，分別用定義4.2選擇矩陣序列{Tk}的準則為所以Tk的選擇取決于矩陣Sk的選擇，現(xiàn)選擇平面旋轉矩陣Sk=S(p,q),它的幾何意義是由S(p,q)定義的線性變換，使n維空間的第p個坐標軸和第q個坐標軸所構成的坐標平面旋轉了的角度。

15

16S(p,q)是正交矩陣，且變換S(p,q)TA

S(p,q)只改變了矩陣A的第p行、第q

行和第p列、第q

列的元素，而矩陣A的其它元素保持不變。也稱S(p,q)為Givens矩陣。

17由有計算公式

18適當?shù)倪x擇使，只須取取

19就有定理4.5按上述計算公式構造的線性變換滿足三經(jīng)典的Jacobi方法經(jīng)典的Jacobi方法的特點是每次變換將絕對值最大的非對角元素化為零。按前述的計算公式做一次計算，可將矩陣A中的一對非主對角元素

和

化為零，但在下一次計算中，前面已經(jīng)化為零的元素，又可能變?yōu)榉橇阍?。所以需要多次循環(huán)計算才能達到預定精度。計算步驟為（1）首先在A中選擇絕對值最大的非對角線元素，設選擇平面旋轉矩陣使的非對角線元素（2）再在

T1

中選擇絕對值最大的非對角線元素，設又選擇平面旋轉矩陣使的非對角線元素此時的又可能變換成了非零元素。

20（3）重復以上過程，直到滿足預定精度為止。

例4.4

用Jacobi方法計算矩陣的所有特征值和特征向量，精確到0.0005。

解（1）先將矩陣A

中的化為0

21

（2）將矩陣T1

中的化為0

22

（3）將矩陣T2

中的化為0繼續(xù)以上計算過程有

23由此得A的精確到0.0005的三個特征值

1=-0.016647，

2=1.4801，

3=2.5366。同時也求出了以下三個精確到0.0005的特征向量

24四、Jacobi過關法經(jīng)典的Jacobi方法每次選取的是矩陣中絕對值最大的非對角元素作為消去對象，需要在所有的非對角線元素中進行比較選擇，計算工作量相當大。Jacobi過關法也稱為“閥“Jacobi方法，是一種改進方法。計算（1）設置閥值，也稱為“關”掃描矩陣所有非對角線元素，對絕對值小于閥值v1的元素，就讓其過“關”，暫不作處理。對絕對值大于等于閥值v1的元素，就

25

26構造平面旋轉矩陣，并利用旋轉變換將其變?yōu)榱恪６啻螔呙璺菍窃?，直到所有的非對角線元素的絕對值都小于閥值v1為止。（2）縮小閥值多次掃描矩陣從（1）所得矩陣的非對角線元素，并做相應的平面旋轉變換。直到所有的非對角線元素的絕對值都小于閾值v2為止。............................（k）設置閥值vk其中ε為給定的誤差精度。多次掃描矩陣從（k-1）步變換所得矩陣的非對角線元素，并做相應的平面旋轉變換。直到所有的非對角線元素的絕對值都小于閥值vk為止。經(jīng)過以上的計算過程，得到一個近似的對角矩陣,其主對角線元素就是所求矩陣特征值的近似值，所有平面旋轉變換矩陣的乘積所得矩陣的列向量就是所求矩陣特征向量的近似值。

27§3QR方法QR方法可以用來求一般矩陣所有特征值。一、Householder變換定義4.3

設v是n維向量,且vTv=1,稱

H=I-2vvT為Householder矩陣，也稱為鏡像變換矩陣H是對稱的正交矩陣。H作為線性變換是一種鏡像變換,不改變向量x的長度,只改變其方向。

28注1注2考查以v為法向量的過原點的超平面S對任一n維向量w,都可以表示為

29定理4.6對n維向量x,y,若，則一定存在鏡像矩陣H,使得

30

31證

當時，取當時，取定理4.7對n維向量總存在鏡像矩陣H,使Hx

的后n-r

個分量為0，第r

個分量為(1≤r≤n)且Hx

的前面r-1個分量與x

的前r-1個分量相同。證

記二、矩陣的正交三角分解設A1=A，可以構造Householder矩陣H1，使又可以構造Householder矩陣H2，使

32作n-1次變換后,A化為上三角陣An因Q是正交矩陣的乘積，所以也是正交矩陣，R是上三角矩陣,這種分解稱為A的正交三角分解。簡稱QR分解。三、QR方法QR方法是目前求矩陣所有特征值的最有效方法。

33令A1=A,對A1作分解A1=F1R1其中F1非奇異，反序相乘有A2=R1F1又對A2作分解A2=F2R2其中F2非奇異，反序相乘有

A3=R2F2則這樣可產(chǎn)生一個矩陣序列{Ak}容易證明{Ak}是相似矩陣序列，因此它們具有相同特征值。且

34

35定理4.8若k→∞時，乘積矩陣收斂于一個非奇異矩陣F，并且每一個Rk

均為一個上三角矩陣，則｛Ak｝收斂于一個上三角矩陣，且A的特征值就為的對角線元素。

證

由于

收斂，則有極限又由于每一個Rk均為上三角矩陣，故R也為上三角矩陣，因此

36（1）當取Fk為下三角矩陣L時，Rk為上三角矩陣時，就得到矩陣的L