第四章1 力的運(yùn)動(dòng)合成

第4章運(yùn)動(dòng)的合成把絕對運(yùn)動(dòng)看成相對運(yùn)動(dòng)與牽連運(yùn)動(dòng)的合成結(jié)果，這樣的運(yùn)動(dòng)分析方法稱為運(yùn)動(dòng)的合成。絕對運(yùn)動(dòng)可視為相對運(yùn)動(dòng)與牽連運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)或復(fù)合運(yùn)動(dòng)；反之也可把絕對運(yùn)動(dòng)分解為相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)的合成中，研究物體相對不同參考系的運(yùn)動(dòng)以及它們之間的關(guān)系。利用這些關(guān)系，不但可以比較方便地描述物體較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)；還能給相互聯(lián)結(jié)的物體（如機(jī)構(gòu)）運(yùn)動(dòng)的研究提供便利，4.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的合成4.1.1動(dòng)點(diǎn)動(dòng)系牽連點(diǎn)在選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則：（1）動(dòng)系要?jiǎng)樱?）動(dòng)點(diǎn)要有相對運(yùn)動(dòng)（3）動(dòng)點(diǎn)的相對軌跡要簡單明確通常默認(rèn)定系固連于地面（也可以取定系固連在指定的運(yùn)動(dòng)物體上），因此一般定系的選取是明確的。1.動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選取在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成中，首先必須明確動(dòng)點(diǎn)、定系、動(dòng)系三個(gè)要素。特別是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選取。怎樣選擇動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系？2.牽連點(diǎn)

動(dòng)系中與動(dòng)點(diǎn)瞬時(shí)重合的點(diǎn)，點(diǎn)稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系中運(yùn)動(dòng)時(shí)，牽連點(diǎn)是不斷變化的。牽連點(diǎn)的位置由該瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系中的位置確定，但是它的運(yùn)動(dòng)與動(dòng)點(diǎn)無關(guān)由動(dòng)系確定。

牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)變化，隨動(dòng)系運(yùn)動(dòng)。4.1.2三種速度與加速度

Oxyz為定系，O’x’y’z’為作任意運(yùn)動(dòng)的動(dòng)系，M為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)系坐標(biāo)原點(diǎn)在定系中的矢徑是rO’，動(dòng)系的三個(gè)單位矢量分別為i’、j’、k’。動(dòng)點(diǎn)M在定系中的矢徑是rM，在動(dòng)系中的矢徑是r’。有以下表達(dá)式設(shè)此瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的牽連點(diǎn)為M’，它在定系中的矢徑是rM’。有如下關(guān)系絕對速度va和絕對加速度aa

動(dòng)點(diǎn)M相對定系運(yùn)動(dòng)的速度和加速度稱為絕對速度和絕對加速度。相對速度vr和相對加速度ar

動(dòng)點(diǎn)M相對動(dòng)系運(yùn)動(dòng)的速度和加速度稱為相對速度和相對加速度。因?yàn)橄鄬\(yùn)動(dòng)是動(dòng)系中的觀察者對動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述，對于該觀察者i’、j’、k’是常矢量；這樣計(jì)算的導(dǎo)數(shù)是對動(dòng)系的導(dǎo)數(shù)，所以稱為相對導(dǎo)數(shù)，牽連速度ve和牽連加速度ae某瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系上的牽連點(diǎn)對于定系的速度和加速度稱為牽連速度和牽連加速度。由于牽連點(diǎn)的位置是由動(dòng)點(diǎn)的瞬時(shí)位置確定的，牽連點(diǎn)的坐標(biāo)（x’,y’,z’）是該瞬時(shí)對應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系中的一組具體坐標(biāo)值，在求導(dǎo)計(jì)算時(shí)它們是常數(shù)。

相對速度

vr

牽連速度ve4.1.3速度合成定理由可得再由vr與ve的定義式，有速度合成定理該定理表明，無論動(dòng)系作何種運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對速度等于該瞬時(shí)它的牽連速度與相對速度的矢量和。思考題討論1.分析下列各圖中動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)（1）動(dòng)系固連于哪個(gè)物體上？（2）說明相對運(yùn)動(dòng)軌跡與絕對運(yùn)動(dòng)軌跡；（3）分析相對速度、牽連速度與絕對速度的方向。2.分析下列各圖中動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)（1）動(dòng)系固連于哪個(gè)物體上？（2）說明相對運(yùn)動(dòng)軌跡與絕對運(yùn)動(dòng)軌跡；（3）分析相對速度、牽連速度與絕對速度的方向。3.

圖示速度分析正確嗎？4.圖示速度分析正確嗎？例4-1

圖示為一橋式起重機(jī)，重物以勻速度u上升，行車以勻速度v在靜止橋架上向右運(yùn)動(dòng)。求重物對地面的速度。解：1.動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選擇：2.三種速度分析、作圖：

3.用速度合成定理求解：例4-2

凸輪機(jī)構(gòu)中的凸輪外形為半圓形，頂桿AB沿垂直槽滑動(dòng)。設(shè)凸輪以勻速度v沿水平面向左移動(dòng)，當(dāng)在圖所示位置q=30°時(shí)，求頂桿B端的速度vB。解：1.動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選擇：2.三種速度分析、作圖：

3.用速度合成定理求解：例4-3

刨床急回機(jī)構(gòu)如圖所示；曲柄OA的一端與滑塊A用鉸鏈聯(lián)接。當(dāng)曲柄OA以勻角速度w繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊在搖桿O1B的槽中滑動(dòng)，并帶動(dòng)搖桿O1B繞固定軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)曲柄長OA=r，兩軸間距離OO1=l。求曲柄在水平位置的瞬時(shí)，搖桿O1B繞O1軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w1及滑塊A對于搖桿O1B的相對速度。解：1.動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選擇：2.三種速度分析、作圖：3.用速度合成定理求解：4.1.4加速度合成定理由速度合成定理對時(shí)間t求絕對導(dǎo)數(shù)，有而由vr與ve的定義式，有再由ar與ae的定義式，有結(jié)果與動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）特點(diǎn)有關(guān)，所以是常矢量，即此時(shí)動(dòng)系的單位矢量

牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。當(dāng)三種運(yùn)動(dòng)都是曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：1.牽連運(yùn)動(dòng)為平移2.牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可得泊松公式：把分別看作是矢徑為所以定義科氏加速度aC為的點(diǎn)的速度，

牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。對于任何牽連運(yùn)動(dòng)，此式都成立，它是點(diǎn)的加速度合成定理的普遍形式。一般情況下，點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)軌跡和相對運(yùn)動(dòng)軌跡可能都是曲線，并且牽連運(yùn)動(dòng)也是曲線運(yùn)動(dòng)，因此點(diǎn)的加速度合成定理可以寫成如下形式：根據(jù)矢積運(yùn)算法則，矢量aC垂直于w和vr，指向按右手法則確定，aC的大小為當(dāng)w和vr垂直時(shí)，當(dāng)w和vr平行時(shí)，工程上的平面機(jī)構(gòu)中，w和vr垂直，此時(shí)有

關(guān)于科氏加速度而且把vr的方向按w的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)就是aC的方向。例4-4

輪船以已知加速度a作直線平移，船上的渦輪機(jī)以已知的角速度w作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)軸與輪船前進(jìn)方向垂直。求半徑為R的渦輪機(jī)轉(zhuǎn)子上A1、A2、A3、A4各點(diǎn)的絕對加速度。解：1.動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選擇：2.三種加速度分析、作圖：3.用加速度合成定理求解：例4-5

圖示的曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長OA＝10cm，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)j=30°時(shí)，其角速度w=1rad/s，角加速度a=1rad/s2。求導(dǎo)桿BC的加速度和滑塊A在滑道中的相對加速度。解：1.動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選擇：2.三種加速度分析、作圖：3.用加速度合成定理求解：例4-6

圖示的圓盤繞定軸O以勻角速度w=4rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊M按x′=2t2的規(guī)律沿徑向滑槽OA滑道，x′的單位是cm，t的單位是s。求當(dāng)t＝1s時(shí)滑塊M的絕對加速度。解：1.動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選擇：2.三種加速度分析、作圖：3.用加速度合成定理求解：補(bǔ)充例題

1.一銷釘可在兩個(gè)槽內(nèi)滑動(dòng)，在圖示瞬時(shí)，槽A具有向右的速度50mm/s及向左的加速度20mm/s2，槽B具有向下的恒定速度10mm/s。試求在圖示位置時(shí)，銷釘?shù)乃俣燃凹铀俣取?.

已知圖示機(jī)構(gòu)在此瞬時(shí)，桿A的角速度為0.25rad/s（順時(shí)針方向），角加速度為0.15rad/s2（逆時(shí)針方向）。求此時(shí)桿B的角加速度。其中a=0.35m，b=0.3m。3.

半徑為r的半圓槽的邊緣有一個(gè)可繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的套管，其內(nèi)穿有一直桿AB，令桿的一端A以勻速度vA沿半圓槽運(yùn)動(dòng)。求在圖示瞬時(shí)，AB桿上與C點(diǎn)重合的一點(diǎn)的速度與加速度。分析：

設(shè)與C點(diǎn)重合的點(diǎn)C1為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連套管CA為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連套管C

aaC1

真實(shí)方向？4.

銷釘M能在DBE的豎直槽內(nèi)滑動(dòng)，同時(shí)又能在OA桿的槽內(nèi)滑動(dòng)。DBE桿以勻速度v1=100mm/s向右運(yùn)動(dòng)，OA桿為勻角速度w=1rad/s順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)某瞬時(shí)OA桿與水平線夾角q=45°，OM的距離l=100mm，求M點(diǎn)的絕對軌跡在此位置的曲率半徑。此題用運(yùn)動(dòng)合成方法計(jì)算的難度：曲率半徑與法向加速度有關(guān)，因此必須先求出全加速度與切向加速度。用加速度合成方法計(jì)算全加速度。計(jì)算任意位置的速度，再對時(shí)間求導(dǎo)一次計(jì)算切向加速度。應(yīng)該注意運(yùn)動(dòng)合成并不是運(yùn)動(dòng)分析的唯一方法，有時(shí)可以采用解析方法計(jì)算。時(shí)此時(shí)軌跡的曲率半徑為5.

機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA處于水平位置，其角速度保持w=1.5rad/s；控制桿BC在水平方向