第五章 Wash函數(shù)和CRC編碼

第五章Walsh函數(shù)和CRC編碼12/14/20231CDMA系統(tǒng)工程64階walWalsh泛應(yīng)用于IS-95系統(tǒng)：前向信道數(shù)據(jù)與周期Walsh系列相乘（正交擴(kuò)譜）理論上，不同信道的不同Walsh序列相互正交消除或抑制多址干擾（MAI）實(shí)際上，多徑信號(hào)、其它小區(qū)信號(hào)異步性引起非正交；導(dǎo)致干擾采用PN序列擴(kuò)頻，依靠處理增益克服干擾反向信道使用Walsh函數(shù)作正交調(diào)制編碼，不用于區(qū)分信道介紹Walsh函數(shù)性質(zhì)、生成方法及其譯碼（IS95未規(guī)定）12/14/20232CDMA系統(tǒng)工程5.1Walsh函數(shù)定義N階waWalsh的定義：N個(gè)函數(shù)的集合，記為{Wj(t);t∈[0,T],j=0,1,2,3…N-1},

Wj(t)值域：｛－１，０，１｝，０為跳躍點(diǎn)取值；對(duì)于所有的ｊ，有Wj(０)＝１；在區(qū)間[0,T]內(nèi)，Wj(t)有ｊ次符號(hào)變化（過零點(diǎn)）；

Wj(t)或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)（關(guān)于［0,T］中的點(diǎn)）；12/14/20233CDMA系統(tǒng)工程參見下圖所示函數(shù)。驗(yàn)證為８階Walsh函數(shù)：了解Walsh函數(shù)的性質(zhì)，掌握Walsh函數(shù)的構(gòu)造方法12/14/20234CDMA系統(tǒng)工程5.2

Walsh序列性質(zhì)（對(duì)稱性，有序性）變換：+1→”0”;-1→”1”;j→二進(jìn)制數(shù)12/14/20235CDMA系統(tǒng)工程Walsh序列對(duì)稱性（歷史）當(dāng)時(shí)，Walsh序列關(guān)于點(diǎn)，或者奇對(duì)稱或者偶對(duì)稱如16階Walsh函數(shù)中：12/14/20236CDMA系統(tǒng)工程12/14/20237CDMA系統(tǒng)工程用K位二進(jìn)制數(shù)表示W(wǎng)alsh函數(shù)下標(biāo)j,

則：Wj(0)=1→Wj0=0，13→1101，W13→：寫出如下序列：０１０１１０１０１０１００１０１12/14/20238CDMA系統(tǒng)工程Walsh函數(shù)的有序性（用于譯碼）：12/14/20239CDMA系統(tǒng)工程12/14/202310CDMA系統(tǒng)工程綜上所述，（有序性）歸納如下：Walsh序列關(guān)于集合aK奇對(duì)稱或偶對(duì)稱；Walsh序列關(guān)于集合aK-1(多對(duì)稱點(diǎn))具有同樣的對(duì)稱性；同樣處理，Walsh序列關(guān)于集合a1具有同樣的對(duì)稱性。12/14/202311CDMA系統(tǒng)工程5.3

Walsh函數(shù)產(chǎn)生Walsh函數(shù)可以用多種方法生成：用萊德馬契函數(shù)；用哈達(dá)瑪矩陣；用Walsh函數(shù)對(duì)稱特性。12/14/202312CDMA系統(tǒng)工程5.3.2

用哈達(dá)瑪矩陣生成Walsh函數(shù)哈達(dá)瑪矩陣是方陣，元素是+1或-1，行之間正交，列之間正交。哈達(dá)瑪矩陣HN（N為階，取值為1,2,4t,t為正整數(shù)）12/14/202313CDMA系統(tǒng)工程哈達(dá)瑪矩陣生成原理：Ha×Hb=Hab,若Ha中元素為+1，則用Hb代入；若為-1，則用-Hb代入。若N為２的冪，規(guī)定H1=[+1]，則：12/14/202314CDMA系統(tǒng)工程例：構(gòu)造N=16階哈達(dá)瑪矩陣規(guī)范形式:12/14/202315CDMA系統(tǒng)工程12/14/202316CDMA系統(tǒng)工程上述哈達(dá)瑪矩陣第i行用二進(jìn)制序列表示，如下表所示：12/14/202317CDMA系統(tǒng)工程如果，則所有的哈達(dá)瑪矩陣的行序列和列序列都是Walsh序列。兩者排列轉(zhuǎn)換關(guān)系為：12/14/202318CDMA系統(tǒng)工程例：考慮16階沃爾什序列，找出與W7相對(duì)應(yīng)哈達(dá)瑪矩陣的行。解：由于X7=(0111),于是可得：12/14/202319CDMA系統(tǒng)工程兩種序號(hào)的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表所示：12/14/202320CDMA系統(tǒng)工程兩種序號(hào)轉(zhuǎn)換關(guān)系還可以用矩陣表示如下：注意：IS-95中“64階Walsh函數(shù)”表，是哈達(dá)瑪序列表12/14/202321CDMA系統(tǒng)工程思考題：

請(qǐng)利用公式a和b，計(jì)算IS-95中“64階Walsh函數(shù)”表中前16個(gè)哈達(dá)瑪序列對(duì)應(yīng)的Walsh序列號(hào)。12/14/202322CDMA系統(tǒng)工程5.3.3

有限域用于描述序列或編碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)有限域的定義：定義了四則運(yùn)算的有限元素集合，記為GF(q)，q（元素?cái)?shù)）稱為階，滿足：１、域?qū)τ凇凹樱?，“乘·”運(yùn)算封閉；２、域總是包含唯一相加恒等元０和唯一相乘恒等元１，使得對(duì)于任意元素∈GF(q)，有：＋０＝，·１＝３、對(duì)于任意元素,存在唯一的加法逆元，使得：

對(duì)于任意的元素，存在唯一的乘法逆元，使得：

12/14/202323CDMA系統(tǒng)工程逆運(yùn)算減法（－）和除法（÷）定義如下：４、對(duì)于元素，有以下規(guī)則：

12/14/202324CDMA系統(tǒng)工程實(shí)數(shù)集、有理數(shù)集是域（不是有限域）實(shí)數(shù)集內(nèi)大于或等于零的元素集合及所有整數(shù)集合不是域。（為什么？）在GF(q)中，整數(shù)元素上的運(yùn)算一般為模q的加法和乘法

驗(yàn)證：運(yùn)算封閉+01234001234112340223401334012440123●012340000001012342024133031424043210,1,2,3,4的加法逆元分別為0,4,3,2,11,2,3,4的乘法逆元為1,3,2,4在整數(shù)域GF(5)中加法、乘法運(yùn)算見下表：相加恒等元相乘恒等元12/14/202325CDMA系統(tǒng)工程當(dāng)q為素?cái)?shù)時(shí)，GF(q)稱為素?cái)?shù)域素?cái)?shù)域中，一定包含加法恒等元０和乘法恒等元１，使得：對(duì)于任何數(shù)（p為素?cái)?shù)，m為整數(shù)），總存在有限域

域特征：一個(gè)域中，相乘恒等元累加得到的相加恒等元的最小個(gè)數(shù)12/14/202326CDMA系統(tǒng)工程如：GF(5)的特征是５，GF(2)的特征是2,的特征是ｐ01001110

最簡(jiǎn)單的域是GF(2)(m=1,p=2),加、乘運(yùn)算見下表：

0100010112/14/202327CDMA系統(tǒng)工程在符號(hào)和中，約定，當(dāng),指素?cái)?shù)域。當(dāng)ｍ＞1時(shí)，是素?cái)?shù)域GF(p)的擴(kuò)展域12/14/202328CDMA系統(tǒng)工程5.3.4矢量空間在序列和編碼的數(shù)學(xué)表述中，矢量空間起到十分重要的作用。n維歐氏空間上的矢量：有向直線坐標(biāo)表示定義：群G是一些對(duì)象的集合，記為，對(duì)這個(gè)集合里的元素，規(guī)定一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算，記為＊，（或?yàn)椋驗(yàn)椤ぃ⑶覞M足以下特性：

封閉性：G在＊運(yùn)算下是封閉的；即如果a∈G,b∈G,則a＊b也是G中元素。

結(jié)合律：對(duì)于集合中的任意三個(gè)元素a,b,c，滿足結(jié)合律；即任意的a∈G,

b∈G，c∈G,有（a＊b）＊c=a＊（b＊c）。

恒等元：在集合中存在一個(gè)恒等元，對(duì)集合中的任意元素a∈G,均有a*(恒等元)＝a成立。

逆元：對(duì)于集合中的每一個(gè)元素都存在逆元，亦即對(duì)于每一個(gè)元素a，均可以找到一個(gè)逆元，滿足a＊(逆元)＝（恒等元）。12/14/202329CDMA系統(tǒng)工程域F上矢量空間V的概念：在一個(gè)域F上定義矢量空間V是元素的集合，元素稱為矢量，滿足下列性質(zhì)：矢量在矢量加法上構(gòu)成矢量群；滿足分配律：對(duì)任意u,v∈V,α，β∈F；有

α(u+v)=αu+αv;(α+β)u=αu+βu

滿足結(jié)合律：對(duì)于任何u∈V；α，β∈F；有

(αβ)u=

α(βu)對(duì)于相乘恒等元１∈F，u∈V

，有1u=u

12/14/202330CDMA系統(tǒng)工程n

位二進(jìn)制數(shù)（有序序列，共有個(gè)），可以構(gòu)成GF(2)上的矢量空間，記為Vn,其矢量加法和標(biāo)量乘法（數(shù)乘）定義如下：

12/14/202331CDMA系統(tǒng)工程子空間的概念：Vn的子集S稱為子空間，如果集合S中存在全零矢量（0,0,‥,0）集合S中的任何兩矢量的和仍在集合S中（封閉性）考慮Vn中的K個(gè)矢量，其線性組合為：

如果存在并不全為零標(biāo)量，使得：則稱線性相關(guān)；否則線性無(wú)關(guān)。

12/14/202332CDMA系統(tǒng)工程如果一個(gè)矢量空間中的任意矢量都可以由某個(gè)集合中的矢量構(gòu)成，稱矢量空間由該集合張成。在任何一個(gè)矢量空間或子空間中，至少存在一組線性無(wú)關(guān)的矢量可以張成該空間；這組矢量稱為矢量空間的基,其中矢量個(gè)數(shù)稱為矢量空間的維數(shù)。12/14/202333CDMA系統(tǒng)工程矢量空間的矩陣表示考慮線性無(wú)關(guān)矢量集合：張成16個(gè)元素的矢量空間，其中的任意的矢量表示為：G稱為生成矩陣，其行矢量是矢量空間的基本矢量。12/14/202334CDMA系統(tǒng)工程5.3.5用基本矢量產(chǎn)生Walsh函數(shù)可以證明：階Walsh序列構(gòu)成GF(2)上個(gè)K維矢量空間

由K個(gè)線性無(wú)關(guān)的基本矢量張成由Walsh序列下標(biāo)矢量構(gòu)成K×K單位陣其每一行下標(biāo)對(duì)應(yīng)的Walsh序列線性無(wú)關(guān)可以構(gòu)成生成矩陣。

12/14/202335CDMA系統(tǒng)工程舉例：考慮生成N=16階Walsh序列1、由構(gòu)成單位矩陣的下標(biāo)矢量，得到對(duì)應(yīng)的Walsh序列2、構(gòu)成生成矩陣：12/14/202336CDMA系統(tǒng)工程3、通過矩陣計(jì)算得到全部16階Walsh序列如通過計(jì)算得到12/14/202337CDMA系統(tǒng)工程5.4

用于CDMA的正交Walsh函數(shù)5.4.1前向鏈路Walsh函數(shù)接收端解擴(kuò)信息符號(hào)通過預(yù)先指定的Walsh序列進(jìn)行相關(guān)而加以恢復(fù)前向鏈路（包括導(dǎo)頻信道、同步信道以及業(yè)務(wù)信道）信息符號(hào)分別與不同的64階周期性Walsh序列進(jìn)行模2和Walsh函數(shù)（序列）用作區(qū)別信道和標(biāo)識(shí)序列信息與序列同步后：19.2kb/s1符號(hào)覆蓋64序列4.8kb/s4周期Walsh序列12/14/202338CDMA系統(tǒng)工程其中是數(shù)據(jù)符號(hào)的能量

是一個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)周期（即符號(hào)率為19.2ksps對(duì)應(yīng)的周期）

表示第個(gè)Walsh函數(shù)設(shè)第個(gè)移動(dòng)用戶的第個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)為前向鏈路基帶波形

為：12/14/202339CDMA系統(tǒng)工程接收端（移動(dòng)臺(tái)i）恢復(fù)數(shù)據(jù)符號(hào)原理見下圖：移動(dòng)臺(tái)的接收機(jī)只接收到發(fā)送給移動(dòng)臺(tái)

的信號(hào)，抑制了發(fā)給其他移動(dòng)臺(tái)的信號(hào)，只要接收波形與本地Walsh序列同步12/14/202340CDMA系統(tǒng)工程5.4.2反向鏈路的Walsh函數(shù)編碼原理：1、（64，6）編碼器以28.8ksps接收交織符號(hào)；2、編碼器以28.8×64/6=307.2ksps輸出Walsh編碼后的二進(jìn)制符號(hào)，或者以307.2/64=4.8ksps輸出64進(jìn)制Walsh

編碼符號(hào)；3、根據(jù)編碼符號(hào)，確定出哈達(dá)瑪矩陣下標(biāo)i,通過查表得到哈達(dá)瑪序列反向鏈路信道（包括接入信道和業(yè)務(wù)信道）采用64進(jìn)制正交調(diào)制，（n=64,k=6）分組信道編碼器提供6編碼符號(hào)內(nèi)相關(guān)譯碼，解調(diào)定時(shí)12/14/202341CDMA系統(tǒng)工程5.5Walsh函數(shù)譯碼基站接收譯碼：確定移動(dòng)臺(tái)發(fā)射Walsh符號(hào)方法：相關(guān)度量?jī)珊瘮?shù)之間的相似程度并進(jìn)行比較相關(guān)計(jì)算：標(biāo)量積或內(nèi)積，記為<A,B>序列相關(guān)：對(duì)應(yīng)分量相乘、累加12/14/202342CDMA系統(tǒng)工程5.5.1相關(guān)譯碼相關(guān)定義：設(shè)N階Walsh函數(shù)：

其中任意兩函數(shù)之間相關(guān)記為：

序列相關(guān)：三種計(jì)算方法：12/14/202343CDMA系統(tǒng)工程如果兩個(gè)函數(shù)或序列正交，則相關(guān)值為012/14/202344CDMA系統(tǒng)工程譯碼算法：舉例：16階Walsh函數(shù)如表所示：12/14/202345CDMA系統(tǒng)工程12/14/202346CDMA系統(tǒng)工程“最小漢明距離”等效判決注意：漢明距離僅對(duì)序列分量屬于GF(2)是有效的度量12/14/202347CDMA系統(tǒng)工程糾錯(cuò)問題：12/14/202348CDMA系統(tǒng)工程若則自學(xué)快速Walsh變換譯碼部分（4個(gè)“1”）12/14/202349CDMA系統(tǒng)工程5.6IS-95數(shù)據(jù)幀CDMA系統(tǒng)中，信息彼特是以幀的形式傳送前向業(yè)務(wù)信道幀結(jié)構(gòu)如下圖所示：12/14/202350CDMA系統(tǒng)工程對(duì)于9.6kbit/s、4.8kbit/s的數(shù)據(jù)，F(xiàn)為幀質(zhì)量指示比特，即奇偶校驗(yàn)比特，使用循環(huán)碼構(gòu)成12/14/202351CDMA系統(tǒng)工程5.10

幀和消息結(jié)構(gòu)質(zhì)量指示器幀質(zhì)量指示器FQI的作用：1、接收包是否有錯(cuò)2、輔助確定接收幀數(shù)據(jù)速率12/14/202352CDMA系統(tǒng)工程5.10.1前向鏈路CRC計(jì)算9.6kbit/s信息使用12bitFQI，生成多項(xiàng)式為：編碼器電路為：編碼器為線性循環(huán)碼（184，172）12/14/202353CDMA系統(tǒng)工程4.8kbit/s信息使用8bitFQI，生成多項(xiàng)式為編碼器電路為：12/14/