電路 (第四版) 課件 第4章 電路定理

第4章電路定理4.1線性電路4.2疊加定理和齊性定理4.3替代定理4.4

戴維南定理和諾頓定理4.5特勒根定理4.6互易定理4.7最大功率傳輸條件4.8對偶原理

4.1線性電路

4.1.1線性電路的概念

由1.4節(jié)集總參數(shù)元件的概念知,集總參數(shù)元件是一類只表示實際元器件中一種基本物理現(xiàn)象的元件。如果元件的集總參數(shù)值不隨和它有關(guān)的物理量變化,這樣的元件稱為線性元件。例如,線性電阻的阻值不隨流過它的電流以及兩端的電壓而變化,線性受控源的系數(shù)也不隨控制量和被控量變化等。

4.1.2線性電路方程的性質(zhì)

對于線性元件或線性電路而言,描述它們的方程是線性方程。在數(shù)學(xué)中,如果一個函數(shù)(方程)既滿足齊次性又滿足可加性,則稱該函數(shù)是線性函數(shù),齊次性和可加性也是線性函數(shù)的兩個性質(zhì)。

4.2疊加定理和齊性定理4.2.1疊加定理圖4-1所示電路有兩個獨立源共同激勵,設(shè)3個響應(yīng)分別為i1、i2和u1并求解。圖4-1兩個獨立源激勵的電路

以i1、i2為變量列出電路的支路電流方程為

由克萊姆法則求解,得

圖4-2兩個獨立源分別作用的電路

由以上例子可以看出,當(dāng)線性電路中有多個獨立源共同作用(激勵)時,其響應(yīng)等于電路中每個獨立源單獨作用時響應(yīng)的代數(shù)和(線性組合);當(dāng)一個獨立源單獨作用時,其他所有的獨立源均置零(即電壓源短路,電流源開路)。這就是線性電路的疊加定理。一個獨立源單獨作用,其他獨立源置零,實質(zhì)上是將原有的電路簡化了,可見疊加定理是通過許多簡化的電路間接求解復(fù)雜電路響應(yīng)的過程。

功率不滿足疊加定理,例如對圖4-1所示電路,則有

這是因為功率的表達(dá)式是非線性方程。

例4-1試用疊加定理求圖4-3(a)所示電路中的I和U。圖4-3例4-1圖

例4-2試用疊加定理求圖4-4(a)所示電路中的電壓u。圖4-4-例4-2圖

解兩個獨立源分別作用的電路如圖4-4(b)和圖4-4(c)所示。注意受控源應(yīng)保留在電路中,因為控制量改變了,所以受控源的被控量也要隨之改變。對于圖4-4(b)有

4.2.2齊性定理

由式(4-8)可知,當(dāng)有多個獨立源同時激勵時,電路中的任一響應(yīng)(電壓或電流)等于所有獨立源單獨激勵時響應(yīng)的疊加。如果只有一個獨立源激勵,即在式(4-8)中只保留一個獨立源,令其他獨立源均為零,則電路中的任一響應(yīng)為hkujuSj或hkipiSp。由此可見,若激勵增大或減小α

倍(α為實常數(shù)),則響應(yīng)也同樣增大或減小α倍,即響應(yīng)和激勵成正比。這就是線性電路的齊性定理。

另外,當(dāng)有多個獨立源激勵時,由式(4-8)還可以看出,若所有激勵同時增大或縮小α倍,則響應(yīng)也增大或減小α倍,即滿足齊性定理。這里要注意的是激勵必須“同時”增大或減小α倍,響應(yīng)才能增大或減小α倍。

例4-3求圖4-5所示梯形電路中的電流i5。圖4-5例4-3圖

解對于這樣的純電阻電路,傳統(tǒng)的方法是通過電阻的串、并聯(lián)首先求出電流i1,然后通過逐步分流最后求出電流i5。如果利用齊性定理,先假設(shè)i'5=1A,然后逐步求出產(chǎn)生該電流所需的電源電壓,進(jìn)而可以求出電源變化的倍數(shù),最后求出實際的電流i5。由圖知

4.3替代定理

設(shè)圖4-6(a)是一個分解成N1和N2(均為一端口電路)的復(fù)雜電路,令連接端口處的電壓為uk,流過該端口的電流為ik。如果uk和ik為已知,則替代定理為:對于N1而言,可以用一個電壓等于uk的電壓源uS,或者用一個電流等于ik的電流源iS替代N2,替代后N1中的電壓和電流均保持不變,替代后的電路如圖4-6(b)和圖4-6(c)所示。同樣,對于N2而言,可以用uS=uk的電壓源或iS=ik的電流源替代N1,替代后N2中的電壓和電流均保持不變。

圖4-6替代定理

下面給出替代定理的證明。在兩個一端口的端子a、c之間反方向串聯(lián)兩個電壓源uS,如圖4-7(a)所示。如果令uS=uk,由KVL有ubd=0,說明b、d之間等電位,即可以將b、d兩點短接,結(jié)果就得到圖4-6(b)。如果在兩個一端口之間反方向并聯(lián)兩個電流源,如圖4-7(b)所示,并令iS=ik,再根據(jù)KCL就可以證明圖4-6(c)。

圖4-7替代定理的證明

圖4-8(a)所示電路是例4-1所求解的電路,應(yīng)用替代定理,用一個uS=U的電壓源替代a-b端口右邊的電路,如圖4-8(b)所示。已知uab=U=1V,可求出I=1/3A。圖4-8替代定理的應(yīng)用

4.4-戴維南定理和諾頓定理根據(jù)電路的基本分析方法,對于已知電路可以直接或間接地求出電路中的所有響應(yīng)。但是在實際問題中,電路中有一條特殊的支路(通常稱為負(fù)載支路),它的參數(shù)是變化的,而其他部分則固定不變。如交流電源插座上可以接不同的負(fù)載,而插座內(nèi)部電路相對固定;音頻功率放大器外部的負(fù)載(擴(kuò)音器)也是可以變化的,而功率放大器內(nèi)部則相對固圖4-9含源一端口以及外部電路定。為了避免對固定部分的重復(fù)計算,可以用戴維南或諾頓定理對固定不變的部分進(jìn)行等效簡化,使電路的分析簡化。這樣一類電路可以表示成圖4-9的形式。

圖4-9含源一端口以及外部電路

4.4.1戴維南定理

戴維南定理指出:一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口(含源一端口NS),對外電路或端口而言可以用一個電壓源和一個電阻的串聯(lián)來等效,該電壓源的電壓等于含源

一端口NS的開路電壓,其電阻等于將含源一端口內(nèi)部所有獨立源置零后一端口的輸入電阻。

將圖4-9中的含源一端口NS開路,如圖4-10(a)所示,圖中uoc為它的開路電壓,圖4-10(b)是將圖4-10(a)內(nèi)部所有獨立源置零后的無源一端口N0和它的等效電阻Req。根據(jù)戴維南定理,對于端口a-b而言,圖4-9中的NS可以等效成圖4-10(c)中所示的形式,即將NS等效成一個電壓源uoc和一個電阻Req的串聯(lián)。電壓源uoc和電阻Req的串聯(lián)電路稱為NS的戴維南等效電路,其中Req也稱為戴維南等效電阻。根據(jù)等效的概念,等效前后一端口a、b之間的電壓u和流過端點a、b上的電流i不變,即對外電路或負(fù)載電路來說等效前后的電壓、電流保持不變?？梢?這種等效稱為對外等效。

圖4-11戴維南定理的證明

例4-4-電路如圖4-12所示,已知uS=36V,iS=2A,R1=R2=10Ω,

R3=3Ω,R4=12Ω,求電路中的電流i4。圖4-12例4-4圖

圖4-13例4-4求解圖

例4-5求圖4-14(a)所示含源一端口的戴維南等效電路。圖4-14-例4-5圖

再由歐姆定律和分流公式,有

4.4.2諾頓定理

諾頓定理指出:一個含有獨立電源、線性電阻和受控源的一端口NS,對外電路或端口而言可以用一個電流源和一個電導(dǎo)(或電阻)的并聯(lián)來等效,該電流源的電流等于NS端口的短路電流,電導(dǎo)(或電阻)等于將該含源一端口內(nèi)部所有獨立源置零后的端口輸入電導(dǎo)(或電阻)。

圖4-15諾頓定理

例4-6電路如圖4-16(a)所示,求諾頓等效電路和戴維南等效電路。

圖4-16例4-6圖

4.5特勒根定理

特勒根定理是電路理論中對集總參數(shù)電路普遍適用的一條基本定理。和基爾霍夫定理一樣,特勒根定理只與電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān),與構(gòu)成電路元件的性質(zhì)無關(guān)。特勒根定理有兩種表述形式。

特勒根定理1:對于一個具有n個節(jié)點、b條支路的電路,設(shè)各支路的電壓與電流分別為(u1,u2,…,ub)和(i1,i2,…,ib),且各支路電壓與電流的參考方向相關(guān)聯(lián),則在任何時刻t,對于所有支路有

證明設(shè)一個具有4個節(jié)點6條支路的有向圖如圖4-17所示。圖4-17特勒根定理的證明

特勒根定理1說明:對于任意電路,在任意時刻t,所有支路功率的代數(shù)和為零。因為該定理的依據(jù)僅僅是電路(網(wǎng)絡(luò))的拓?fù)浼s束(KCL和KVL),和構(gòu)成支路元件的性質(zhì)無關(guān),所以該定理對于由線性、非線性、時不變以及時變等元件構(gòu)成的集總參數(shù)電路(網(wǎng)絡(luò))都適用。

定理2說明:在兩個具有相同拓?fù)涞碾娐?網(wǎng)絡(luò))中,一個電路的支路電壓與另一電路對應(yīng)支路電流乘積的代數(shù)和為零,或者是同一電路在不同時刻所有支路電壓與其支路電流乘積的代數(shù)和為零。因為是兩個支路元件不同的電路,所以該定理不能用功率守恒來解釋,但式(4-15)和式(4-16)仍然具有功率的量綱,所以定理2又被稱為“似功率定理”。

例4-7設(shè)有兩個相同的且僅由電阻構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)N0,已知它們的外部接有電阻和電源元件,并獲得部分響應(yīng)數(shù)據(jù),外部元件的連接關(guān)系與響應(yīng)結(jié)果數(shù)據(jù)如圖4-18(a)和(b)所示,根據(jù)特勒根定理試求圖4-18(b)中的電壓U。圖4-18例4-7圖

解可以將圖4-18(b)中的有伴電流源看成一條支路,則圖4-18(a)和(b)就具有相同的拓?fù)?。設(shè)圖4-18(a)為網(wǎng)絡(luò)N,圖4-18(b)為網(wǎng)絡(luò)N^,并令網(wǎng)絡(luò)N0外部的支路分別為支路1和2,N0內(nèi)部的支路編號為3~b,則它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖分別如圖4-19(a)和(b)

所示。

注意:在應(yīng)用特勒根定理時,各對應(yīng)支路電壓和電流的參考方向一定要關(guān)聯(lián),如果非關(guān)聯(lián),則相應(yīng)乘積項的前面應(yīng)加一負(fù)號。

4.6互易定理

圖4-20互易定理形式1

圖4-22互易定理形式3

需要注意的是,在應(yīng)用互易定理時,電路中只能有一個獨立源激勵,N0僅為電阻網(wǎng)絡(luò),若其中含有受控源,一般情況下互易定理不成立,同時要注意激勵源與響應(yīng)的參考方向。

例4-8求圖4-23(a)所示電路中的電壓u。圖4-23例4-8

4.7最大功率傳輸條件

電路有兩大基本功能,一是傳遞和處理信息,二是傳輸和轉(zhuǎn)換能量。就能量而言,人們關(guān)心的是能量傳輸和轉(zhuǎn)換的方式以及傳輸和轉(zhuǎn)換的大小。例如,當(dāng)含源一端口外接負(fù)載時,關(guān)心的問題之一是含源一端口能將多大的功率傳輸給負(fù)載。一般來說,含源一端口內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是不變的,而外接負(fù)載是可變的,問當(dāng)負(fù)載變到何值時負(fù)載可以獲得最大功率。

例4-9電路如圖4-25(a)所示,求RL為何值時它可以獲得最大功率。圖4-25例4-9圖

4.8對偶原理

電路分析的目的是已知電路求響應(yīng),其基本方法是首先設(shè)出電路中的變量,然后依據(jù)電路定律和支路上的VCR得出一個具體電路的等量關(guān)系,由此列寫(或推導(dǎo))出分析電路的等式或方程式。在電路分析中,電路元件、參數(shù)、變量、定律、定理和電路方程之間存在著一些類似的關(guān)系,將這種類似關(guān)系稱為電路中的對偶性或?qū)ε荚怼?/p>

由歐姆定律知,電阻R的VCR為u=Ri,在該式中若分別用電流i換電壓u、u換i、電導(dǎo)G換電阻R,可得出i=Gu,這就是電導(dǎo)的VCR。若給定一個電路等式或方程式,經(jīng)過替換后所得新的等式或方程式仍然成立,則稱后者為前者的對偶式,將可以替換的元件(參數(shù))、變量等稱為對偶對。如在上述替換中,u=Ri和i=Gu是對偶式,而u和i、R和G分別為對偶對。

圖4-26串聯(lián)和并聯(lián)電路的對偶

另外,如圖4-27(a)所示電路,由網(wǎng)孔法得網(wǎng)孔電流方程為

若用對偶對替換上式中的各量,得

該式就是圖4-27(b)所示電路的節(jié)點電壓方程。

圖4-27網(wǎng)孔法和節(jié)點法對偶的電路

由以上分析知,在已知關(guān)系的條件下,若用對偶對替換這些關(guān)系中的對應(yīng)量以后,所得的關(guān)系仍然成立,這樣的關(guān)系稱為對偶關(guān)系,替換前后的關(guān)系(或方程)互為對偶。電路中的這種對偶關(guān)系就是對偶原理。從數(shù)學(xué)意義上講,對偶關(guān)系式是相同的,但從電路分析的意義上來說,它們描述著不同的電路。

由對偶原理知,若在電路中得到了某種關(guān)系或結(jié)論,則在它的對偶電路中也存在著類似的關(guān)系或結(jié)論,所以利用對偶原理能夠給分析電路帶來一定的方便。讀者在學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)注意總結(jié)和發(fā)現(xiàn)電路中的對偶關(guān)系,這樣有助于對電路關(guān)系(公式)的記憶和理解。但需要注意“對偶”