2016-2017學(xué)年第一學(xué)期蘇科版初三數(shù)學(xué)期中壓軸題訓(xùn)練題二

2016-2017學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)期中壓軸題訓(xùn)練（2）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）兩點．（1）求出拋物線的解析式；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時點M的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標(biāo)為（0，8），點B的坐標(biāo)為（﹣4，0）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；（2）點D的坐標(biāo)為（0，4），點F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動點，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S．①求S的最大值；②在點F的運動過程中，當(dāng)點E落在該二次函數(shù)圖象上時，請直接寫出此時S的值．3．如圖1，在平面直徑坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣3，0）．B（1，0），與y軸交于點C（1）直接寫出拋物線的函數(shù)解析式；（2）以O(shè)C為半徑的⊙O與y軸的正半軸交于點E，若弦CD過AB的中點M，試求出DC的長；（3）將拋物線向上平移個單位長度（如圖2）若動點P（x，y）在平移后的拋物線上，且點P在第三象限，請求出△PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出△PDE面積的最大值．4．如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，﹣4）．（1）求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)（2）中的平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形．5．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．（1）求此拋物線的解析式．（2）求此拋物線頂點D的坐標(biāo)和對稱軸．（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交于點A，點B與點O關(guān)于點A對稱（1）填空：點B的坐標(biāo)是；（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由；（3）在（2）的條件下，若點C關(guān)于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的坐標(biāo)．7．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．（1）請直接寫出點A，C，D的坐標(biāo)；（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標(biāo)；（3）如圖（2），F(xiàn)為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．8．如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0）．與y軸交于點C（0，5）．有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N．交x軸于點E和F．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF=，求點Q的坐標(biāo)；（3）在矩形的平移過程中，當(dāng)以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標(biāo)．9．如圖，頂點為M的拋物線y=a（x+1）2﹣4分別與x軸相交于點A，B（點A在點B的右側(cè)），與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由．（3）拋物線上是否存在點N（點N與點M不重合），使得以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動點E從O點出發(fā)，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB方向以個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點到達(dá)終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構(gòu)成無數(shù)個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．11．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）經(jīng)過點A（4，﹣5），與x軸的負(fù)半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積；（3）如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標(biāo)．12．如圖，已知拋物線m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的頂點A在x軸上，并過點B（0，1），直線n：y=﹣x+與x軸交于點D，與拋物線m的對稱軸l交于點F，過B點的直線BE與直線n相交于點E（﹣7，7）．（1）求拋物線m的解析式；（2）P是l上的一個動點，若以B，E，P為頂點的三角形的周長最小，求點P的坐標(biāo)；（3）拋物線m上是否存在一動點Q，使以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點D？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．13．如圖，拋物線y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y軸于點C，CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，BE⊥y軸，交y軸于點E，交AO的延長線于點D，BE=2AC．（1）用含m的代數(shù)式表示BE的長．（2）當(dāng)m=時，判斷點D是否落在拋物線上，并說明理由．（3）若AG∥y軸，交OB于點F，交BD于點G．①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值．②連結(jié)AE，交OB于點M，若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是．14．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點E為x軸下方拋物線上的一動點，當(dāng)S△ABE=S△ABC時，求點E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標(biāo)；（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點．當(dāng)點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．16．如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點（1）求m的值及C點坐標(biāo)；（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構(gòu)成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標(biāo)；若不存在，請簡要說明理由（3）P為拋物線上一點，它關(guān)于直線BC的對稱點為Q①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(biāo)；②點P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），當(dāng)t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由．17．如圖1，二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（0，1），點B在第一象限內(nèi)，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，點M是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點，過點B作軸的垂線，垂足為N，且S△AMO：S四邊形AONB=1：48．（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥BC于點F．當(dāng)PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H（不與點A，點B重合），使GH+BH的值最小，求點H的坐標(biāo)和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點K（3，4），將二次函數(shù)y=x2﹣2x+1沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線上點A，點C的對應(yīng)點分別為點A′，點C′；當(dāng)△A′C′K是直角三角形時，求t的值．18．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BO=OC=3AO，直線y=﹣x+1與y軸交于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：△DBO∽△EBC；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，BC．（1）求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；（2）動點P從點O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，PA=QA？（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B、C分別為坐標(biāo)軸上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標(biāo)，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．21．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）點P在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△ACP的周長最小時，求出點P的坐標(biāo)；（3）點N在拋物線上，點M在拋物線的對稱軸上，是否存在以點N為直角頂點的Rt△DNM與Rt△BOC相似？若存在，請求出所有符合條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直與x軸，垂足為E，l是拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點．（1）求出二次函數(shù)的表達(dá)式以及點D的坐標(biāo)；（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2與Rt23．如圖，已知點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C，連接AC，頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點．（1）請直接寫出B、C兩點的坐標(biāo)，拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點M是線段BC上的一動點，過點M作MN∥AB，交AC于點N，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t（秒），當(dāng)t（秒）為何值時，存在△QMN為等腰直角三角形？24．如圖，直線y=﹣x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA、PB、PO，若△POA的面積是△POB面積的倍．①求點P的坐標(biāo)；②點Q為拋物線對稱軸上一點，請直接寫出QP+QA的最小值；（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當(dāng)以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，則PB+PD的最小值為；（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點①若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有個；②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），tan∠OAC=．（1）求拋物線的解析式；（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值；（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．27．已知拋物線y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，﹣2），頂點為B．（1）試確定a的值，并寫出B點的坐標(biāo)；（2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點，試寫出一次函數(shù)的解析式；（3）試在x軸上求一點P，使得△PAB的周長取最小值；（4）若將拋物線平移m（m≠0）個單位，所得新拋物線的頂點記作C，與原拋物線的交點記作D，問：點O、C、D能否在同一條直線上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．28．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點（1）當(dāng)m=2時，a=，當(dāng)m=3時，a=；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想a與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點，PQ的長度為2n，當(dāng)△APQ為等腰直角三角形時，a和n的關(guān)系式為；（4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求△AOB與△APQ的面積比．29．如圖①，已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直線BE交y軸正半軸于點E．（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）連接BD、CD，設(shè)∠DBO=α，∠EBO=β，若tan（α﹣β）=1，求點E的坐標(biāo)；（3）如圖②，在（2）的條件下，動點M從點C出發(fā)以每秒個單位的速度在直線BC上移動（不考慮點M與點C、B重合的情況），點N為拋物線上一點，設(shè)點M移動的時間為t秒，在點M移動的過程中，以E、C、M、N四個點為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足條件的t值及點M的個數(shù)；若不能，請說明理由．30．如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標(biāo)為1．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點P在該二次函數(shù)的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖3，一次函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于O、C兩點，點T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動點，過點T作直線TM⊥OC，垂足為點M，且M在線段OC上（不與O、C重合），過點T作直線TN∥y軸交OC于點N．若在點T運動的過程中，為常數(shù)，試確定k的值．參考答案與解析1．（2016?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）兩點．（1）求出拋物線的解析式；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時點M的坐標(biāo)．【分析】（1）由A、B兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）分D在x軸上和y軸上，當(dāng)D在x軸上時，過A作AD⊥x軸，垂足D即為所求；當(dāng)D點在y軸上時，設(shè)出D點坐標(biāo)為（0，d），可分別表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到關(guān)于d的方程，可求得d的值，從而可求得滿足條件的D點坐標(biāo)；（3）過P作PF⊥CM于點F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函數(shù)，可用PF分別表示出MF和NF，從而可表示出MN，設(shè)BC=a，則可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，從而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M點的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得a的值，從而可求出M點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵A（1，3），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x；（2）存在三個點滿足題意，理由如下：當(dāng)點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，∵A（1，3），∴D坐標(biāo)為（1，0）；當(dāng)點D在y軸上時，設(shè)D（0，d），則AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，∴D點坐標(biāo)為（0，）或（0，）；綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標(biāo)為（1，0）或（0，）或（0，）；（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴==3，∴MF=3PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，設(shè)BC=a，則CN=a，在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF==，∴FN=PF，∴MN=MF+FN=4PF，∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2××4PF2，∴a=2PF，∴NC=a=2PF，∴==，∴MN=NC=×a=a，∴MC=MN+NC=（+）a，∴M點坐標(biāo)為（4﹣a，（+）a），又M點在拋物線上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，解得a=3﹣或a=0（舍去），OC=4﹣a=+1，MC=2+，∴點M的坐標(biāo)為（+1，2+）．【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、點與函數(shù)圖象的關(guān)系及分類討論等．在（2）中注意分點D在x軸和y軸上兩種情況，在（3）中分別利用PF表示出MF和NC是解題的關(guān)鍵，注意構(gòu)造三角形相似．本題涉及知識點較多，計算量較大，綜合性較強(qiáng)，特別是第（3）問，難度很大．2．（2016?淮安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標(biāo)為（0，8），點B的坐標(biāo)為（﹣4，0）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；（2）點D的坐標(biāo)為（0，4），點F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動點，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S．①求S的最大值；②在點F的運動過程中，當(dāng)點E落在該二次函數(shù)圖象上時，請直接寫出此時S的值．【分析】（1）把A點和B點坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線的解析式；然后計算函數(shù)值為0時對應(yīng)的自變量的值即可得到C點坐標(biāo)（2）①連結(jié)OF，如圖，設(shè)F（t，﹣t2+t+8），利用S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面積公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到△CDF的面積有最大值，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S的最大值；②由于四邊形CDEF為平行四邊形，則CD∥EF，CD=EF，利用C點和D的坐標(biāo)特征可判斷點C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點D，則點F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣t2+t+12）代入拋物線解析式得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t后計算△CDF的面積，從而得到S的值．【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，所以拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8；當(dāng)y=0時，﹣x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，所以C點坐標(biāo)為（8，0）；（2）①連結(jié)OF，如圖，設(shè)F（t，﹣t2+t+8），∵S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=?4?t+?8?（﹣t2+t+8）﹣?4?8=﹣t2+6t+16=﹣（t﹣3）2+25，當(dāng)t=3時，△CDF的面積有最大值，最大值為25，∵四邊形CDEF為平行四邊形，∴S的最大值為50；②∵四邊形CDEF為平行四邊形，∴CD∥EF，CD=EF，∵點C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點D，∴點F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），∵E（t﹣8，﹣t2+t+12）在拋物線上，∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7，當(dāng)t=7時，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，∴此時S=2S△CDF=18．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握點平移的坐標(biāo)規(guī)律．3．（2016?欽州）如圖1，在平面直徑坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣3，0）．B（1，0），與y軸交于點C（1）直接寫出拋物線的函數(shù)解析式；（2）以O(shè)C為半徑的⊙O與y軸的正半軸交于點E，若弦CD過AB的中點M，試求出DC的長；（3）將拋物線向上平移個單位長度（如圖2）若動點P（x，y）在平移后的拋物線上，且點P在第三象限，請求出△PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出△PDE面積的最大值．【分析】（1）由點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）令拋物線解析式中x=0求出點C的坐標(biāo)，根據(jù)點A、B的坐標(biāo)即可求出其中點M的坐標(biāo)，由此即可得出CM的長，根據(jù)圓中直徑對的圓周角為90°即可得出△COM∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，代入數(shù)據(jù)即可求出DC的長度；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)求出平移后的拋物線的解析式，令其y=0，求出平移后的拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，由此即可得出點P橫坐標(biāo)的范圍，再過點P作PP′⊥y軸于點P′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，通過分割圖形求面積法找出S△PDE關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方結(jié)合而成函數(shù)的性質(zhì)即可得出△PDE面積的最大值．【解答】解：（1）將點A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為y=x2+x﹣2．（2）令y=x2+x﹣2中x=0，則y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），點M為線段AB的中點，∴M（﹣1，0），∴CM==．∵CE為⊙O的直徑，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．（3）將拋物線向上平移個單位長度后的解析式為y=x2+x﹣2+=x2+x﹣，令y=x2+x﹣中y=0，即x2+x﹣=0，解得：x1=，x2=．∵點P在第三象限，∴＜x＜0．過點P作PP′⊥y軸于點P′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，如圖所示．在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==，在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CD?sin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，∴D（﹣，），D′（0，），∵P（x，x2+x﹣），∴P′（0，x2+x﹣）．∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′?ED′+（DD′+PP′）?D′P′﹣PP′?EP′=﹣﹣x+2（＜x＜0），∵S△PDE=﹣﹣x+2=﹣+，＜﹣＜0，∴當(dāng)x=﹣時，S△PDE取最大值，最大值為．故：△PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為S△PDE=﹣﹣x+2（＜x＜0），且△PDE面積的最大值為．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點間的距離、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出邊與邊之間的關(guān)系；（3）利用分割圖形求面積法找出S△PDE關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，但數(shù)據(jù)稍顯繁瑣，本題巧妙的利用了分割圖形法求不規(guī)則的圖形面積，給解題帶來了極大的方便．4．（2016?新疆）如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，﹣4）．（1）求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)（2）中的平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形．【分析】（1）根據(jù)對稱軸、A、B點的坐標(biāo)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式，可得函數(shù)解析式；（3）根據(jù)函數(shù)值，可得E點坐標(biāo)，根據(jù)菱形的判定，可得答案．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A、B點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式為y=﹣x2+x﹣4，配方，得y=﹣（x﹣）2+，頂點坐標(biāo)為（，）；（2）E點坐標(biāo)為（x，﹣x2+x﹣4），S=2×OA?yE=6（﹣x2+x﹣4）即S=﹣4x2+28x﹣24；（3）平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF可能為菱形，理由如下：當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時，即﹣4x2+28x﹣24=24，化簡，得x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，當(dāng)x=3時，EO=EA，平行四邊形OEAF為菱形．當(dāng)x=4時，EO≠EA，平行四邊形OEAF不為菱形．∴平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF可能為菱形．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求函數(shù)的頂點坐標(biāo)；利用平行四邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用方程的判別式是解題關(guān)鍵．5．（2016?六盤水）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．（1）求此拋物線的解析式．（2）求此拋物線頂點D的坐標(biāo)和對稱軸．（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），可以求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式化為頂點式，即可得到此拋物線頂點D的坐標(biāo)和對稱軸；（3）首先寫出存在，然后運用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出各種情況下點P的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），∴，解得，，即此拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴此拋物線頂點D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對稱軸是直線x=1；（3）存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，y），當(dāng)PA=PD時，=，解得，y=﹣，即點P的坐標(biāo)為（1，﹣）；當(dāng)DA=DP時，=，解得，y=﹣4±，即點P的坐標(biāo)為（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）；當(dāng)AD=AP時，=，解得，y=±4，即點P的坐標(biāo)是（1，4）或（1，﹣4），當(dāng)點P為（1，﹣4）時與點D重合，故不符合題意，由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．6．（2016?大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交于點A，點B與點O關(guān)于點A對稱（1）填空：點B的坐標(biāo)是（0，）；（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由；（3）在（2）的條件下，若點C關(guān)于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的坐標(biāo)．【分析】（1）由拋物線解析式可求得A點坐標(biāo)，再利用對稱可求得B點坐標(biāo)；（2）可先用k表示出C點坐標(biāo)，過B作BD⊥l于點D，條件可知P點在x軸上方，設(shè)P點縱坐標(biāo)為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上；（3）利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長，代入拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+與y軸相交于點A，∴A（0，），∵點B與點O關(guān)于點A對稱，∴BA=OA=，∴OB=，即B點坐標(biāo)為（0，），故答案為：（0，）；（2）∵B點坐標(biāo)為（0，），∴直線解析式為y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，∴OC=﹣，∵PB=PC，∴點P只能在x軸上方，如圖1，過B作BD⊥l于點D，設(shè)PB=PC=m，則BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣，在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，∴PB+，∴P點坐標(biāo)為（﹣，+），當(dāng)x=﹣時，代入拋物線解析式可得y=+，∴點P在拋物線上；（3）如圖2，連接CC′，∵l∥y軸，∴∠OBC=∠PCB，又PB=PC，∴∠PCB=∠PBC，∴∠PBC=∠OBC，又C、C′關(guān)于BP對稱，且C′在拋物線的對稱軸上，即在y軸上，∴∠PBC=∠PBC′，∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，在Rt△OBC中，OB=，則BC=1∴OC=，即P點的橫坐標(biāo)為，代入拋物線解析式可得y=（）2+=1，∴P點坐標(biāo)為（，1）．【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等．在（2）中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得到關(guān)于PC的長的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．7．（2016?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．（1）請直接寫出點A，C，D的坐標(biāo)；（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標(biāo)；（3）如圖（2），F(xiàn)為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【分析】（1）令拋物線解析式中y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點A、B的坐標(biāo)，再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點C坐標(biāo)，利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點D的坐標(biāo)；（2）作點C關(guān)于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，由點C的坐標(biāo)可找出點C′的坐標(biāo)，根據(jù)點C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出點E的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點A、F點的坐標(biāo)找出點P的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中y=0時，有﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∵A在B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（1，0）．當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中x=0時，則y=3，∴C（0，3）．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴頂點D（﹣1，4）．（2）作點C關(guān)于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，如圖1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b，則有，解得：，∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時，x=﹣，∴當(dāng)△CDE的周長最小，點E的坐標(biāo)為（﹣，0）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c，則有，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+3．假設(shè)存在，設(shè)點F（m，m+3），△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：①當(dāng)∠PAF=90°時，P（m，﹣m﹣3），∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此時點P的坐標(biāo)為（2，﹣5）；②當(dāng)∠AFP=90°時，P（2m+3，0）∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此時點P的坐標(biāo)為（1，0）；③當(dāng)∠APF=90°時，P（m，0），∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣m2﹣2m+3，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此時點P的坐標(biāo)為（1，0）．綜上可知：在拋物線上存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形，點P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（1，0）．【點評】本題考查了解一元二次方程、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點A、B、C的坐標(biāo)，利用配方法求出頂點坐標(biāo)；（2）找出點E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征設(shè)出點F的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出點P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．8．（2016?南充）如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0）．與y軸交于點C（0，5）．有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N．交x軸于點E和F．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF=，求點Q的坐標(biāo)；（3）在矩形的平移過程中，當(dāng)以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標(biāo)．【分析】（1）設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x﹣3），把點（0，5）代入即可解決問題．（2）作FG⊥AC于G，設(shè)點F坐標(biāo)（m，0），根據(jù)sin∠AMF==，列出方程即可解決問題．（3））①當(dāng)MN是對角線時，設(shè)點F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解決問題．②當(dāng)MN為邊時，MN=PQ=，設(shè)點Q（m，﹣m2﹣m+5）則點P（m+1，﹣m2﹣m+6），代入拋物線解析式，解方程即可．【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假設(shè)拋物線為y=a（x+5）（x﹣3），把點（0，5）代入得到a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+5．（2）作FG⊥AC于G，設(shè)點F坐標(biāo)（m，0），則AF=m+5，AE=EM=m+6，F(xiàn)G=（m+5），F(xiàn)M==，∵sin∠AMF=，∴=，∴=，整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍棄），∴點Q坐標(biāo)（﹣4，）．（3）①當(dāng)MN是對角線時，設(shè)點F（m，0）．∵直線AC解析式為y=x+5，∴點N（m，m+5），點M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m=﹣3±，∴點M坐標(biāo)（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．②當(dāng)MN為邊時，MN=PQ=，設(shè)點Q（m，﹣m2﹣m+5）則點P（m+1，﹣m2﹣m+6），∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m=﹣3．∴點M坐標(biāo)（﹣2，3），綜上所述以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．9．（2016?甘孜州）如圖，頂點為M的拋物線y=a（x+1）2﹣4分別與x軸相交于點A，B（點A在點B的右側(cè)），與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由．（3）拋物線上是否存在點N（點N與點M不重合），使得以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）由拋物線解析式確定出拋物線的頂點坐標(biāo)和與x軸的交點坐標(biāo)，用勾股定理的逆定理即可；（3）根據(jù)題意判斷出點N只能在x軸上方的拋物線上，由已知四邊形的面積相等轉(zhuǎn)化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面積，再建立關(guān)于點N的坐標(biāo)的方程求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=a（x+1）2﹣4與y軸相交于點C（0，﹣3）．∴﹣3=a﹣4，∴a=1，∴拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，（2）△BCM是直角三角形理由：由（1）有，拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4，∵頂點為M的拋物線y=a（x+1）2﹣4，∴M（﹣1，﹣4），由（1）拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，令y=0，∴x2+2x﹣3=0，∴x1=﹣3，x2=1，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，∴BC2+CM2=BM2，∴△BCM是直角三角形，（3）存在，N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，），∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，且點M是拋物線的頂點，∴①點N在x軸上方的拋物線上，如圖，由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，∴BC=3，CM=，∴S△BCM=BC×CM=×3×=3，設(shè)N（m，n），∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，∴S△ABN=S△BCM=3，∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，∴n=，∵N在拋物線解析式為y=x2+2x﹣3的圖象上，∴m2+2m﹣3=，∴m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，∴N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）．②如圖2，②點N在x軸下方的拋物線上，∵點C在對稱軸的右側(cè)，∴點N在對稱軸右側(cè)不存在，只有在對稱軸的左側(cè)，過點M作MN∥BC，交拋物線于點N，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴直線BC解析式為y=﹣x﹣3，設(shè)MN的解析式為y=﹣x+b∵拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4①，∴M（﹣1，﹣4），∴直線MN解析式為y=﹣x﹣5②，聯(lián)立①②得（舍），，∴N（﹣2，﹣3），即：N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）或N（﹣2，﹣3）．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，直角三角形的判斷，圖形面積的計算，解本題的關(guān)鍵是判斷出△BCM是直角三角形，難點是要兩個四邊形面積相等，點N分在x軸上方的拋物線上和下方的拋物線上，用方程的思想解決問題是解決（3）的關(guān)鍵，也是初中階段常用的方法．10．（2016?臨夏州）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動點E從O點出發(fā)，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB方向以個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點到達(dá)終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構(gòu)成無數(shù)個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線，直線解析式；（2）分兩種情況進(jìn)行計算即可；（3）確定出面積達(dá)到最大時，直線PC和拋物線相交于唯一點，從而確定出直線PC解析式為y=﹣x+，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD，計算即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點，∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；（2）由運動得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF為直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=1；（3）如圖，存在，過點P作PC∥AB交y軸于C，∵直線AB解析式為y=﹣x+3，∴設(shè)直線PC解析式為y=﹣x+b，聯(lián)立，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0∴△=9﹣4（b﹣3）=0∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴P（，）．過點B作BD⊥PC，∴直線BD解析式為y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=3S最大=AB×BD=×3×=．即：存在面積最大，最大是，此時點P（，）．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的解析式的確定方法，互相垂直的直線解析式的確定方法，解本題的關(guān)鍵是確定出△PAB面積最大時點P的特點．11．（2016?上海）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）經(jīng)過點A（4，﹣5），與x軸的負(fù)半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積；（3）如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標(biāo)．【分析】（1）先得出C點坐標(biāo)，再由OC=5BO，得出B點坐標(biāo)，將A、B兩點坐標(biāo)代入解析式求出a，b；（2）分別算出△ABC和△ACD的面積，相加即得四邊形ABCD的面積；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，過C作AB邊上的高CH，利用等面積法求出CH，從而算出tan∠ABC，而BO是已知的，從而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO長度，也就求出了E點坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣5與y軸交于點C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又點B在x軸的負(fù)半軸上，∴B（﹣1，0）．∵拋物線經(jīng)過點A（4，﹣5）和點B（﹣1，0），∴，解得，∴這條拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x﹣5．（2）由y=x2﹣4x﹣5，得頂點D的坐標(biāo)為（2，﹣9）．連接AC，∵點A的坐標(biāo)是（4，﹣5），點C的坐標(biāo)是（0，﹣5），又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．（3）過點C作CH⊥AB，垂足為點H．∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=5，∴CH=2，在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，∴tan∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴點E的坐標(biāo)為（0，）．【點評】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積求法、等積變換、勾股定理、正切函數(shù)等知識點，難度適中．第（3）問，將角度相等轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的正切函數(shù)值相等是解答關(guān)鍵．12．（2016?濟(jì)寧）如圖，已知拋物線m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的頂點A在x軸上，并過點B（0，1），直線n：y=﹣x+與x軸交于點D，與拋物線m的對稱軸l交于點F，過B點的直線BE與直線n相交于點E（﹣7，7）．（1）求拋物線m的解析式；（2）P是l上的一個動點，若以B，E，P為頂點的三角形的周長最小，求點P的坐標(biāo)；（3）拋物線m上是否存在一動點Q，使以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點D？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線頂點在x軸上則可得出頂點縱坐標(biāo)為0，將解析式進(jìn)行配方就可以求出a的值，繼而得出函數(shù)解析式；（2）利用軸對稱求最短路徑的方法，首先通過B點關(guān)于l的對稱點B′來確定P點位置，再求出直線B′E的解析式，進(jìn)而得出P點坐標(biāo)；（3）可以先求出直線FD的解析式，結(jié)合以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點D這個條件，明確∠FDG=90°，得出直線DG解析式的k值與直線FD解析式的k值乘積為﹣1，利用D點坐標(biāo)求出直線DG解析式，將點Q坐標(biāo)用拋物線解析式表示后代入DG直線解析式可求出點Q坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的頂點A在x軸上∴配方得y=a（x﹣3）2﹣9a+1，則有﹣9a+1=0，解得a=∴A點坐標(biāo)為（3，0），拋物線m的解析式為y=x2﹣x+1；（2）∵點B關(guān)于對稱軸直線x=3的對稱點B′為（6，1）∴連接EB′交l于點P，如圖所示設(shè)直線EB′的解析式為y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得解得，則函數(shù)解析式為y=﹣x+把x=3代入解得y=，∴點P坐標(biāo)為（3，）；（3）∵y=﹣x+與x軸交于點D，∴點D坐標(biāo)為（7，0），∵y=﹣x+與拋物線m的對稱軸l交于點F，∴點F坐標(biāo)為（3，2），求得FD的直線解析式為y=﹣x+，若以FQ為直徑的圓經(jīng)過點D，可得∠FDQ=90°，則DQ的直線解析式的k值為2，設(shè)DQ的直線解析式為y=2x+b，把（7，0）代入解得b=﹣14，則DQ的直線解析式為y=2x﹣14，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（a，），把點Q代入y=2x﹣14得=2a﹣14解得a1=9，a2=15．∴點Q坐標(biāo)為（9，4）或（15，16）．【點評】本題考查的知識點是二次函數(shù)性質(zhì)、一次函數(shù)性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確找線段和最小的點要通過軸對稱性質(zhì)找對稱點，以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點D則要轉(zhuǎn)化為∠FDG=90°的條件來考慮．13．（2016?溫州）如圖，拋物線y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y軸于點C，CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，BE⊥y軸，交y軸于點E，交AO的延長線于點D，BE=2AC．（1）用含m的代數(shù)式表示BE的長．（2）當(dāng)m=時，判斷點D是否落在拋物線上，并說明理由．（3）若AG∥y軸，交OB于點F，交BD于點G．①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值．②連結(jié)AE，交OB于點M，若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是．【分析】（1）根據(jù)A、C兩點縱坐標(biāo)相同，求出點A橫坐標(biāo)即可解決問題．（2）求出點D坐標(biāo)，然后判斷即可．（3）①首先根據(jù)EO=2FG，證明BG=2DE，列出方程即可解決問題．②求出直線AE、BO的解析式，求出交點M的橫坐標(biāo)，列出方程即可解決問題．【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，∴點A縱坐標(biāo)為﹣3，y=﹣3時，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，∴點A坐標(biāo)（m，﹣3），∴AC=m，∴BE=2AC=2m．（2）∵m=，∴點A坐標(biāo)（，﹣3），∴直線OA為y=﹣x，∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣3，∴點B坐標(biāo)（2，3），∴點D縱坐標(biāo)為3，對于函數(shù)y=﹣x，當(dāng)y=3時，x=﹣，∴點D坐標(biāo)（﹣，3）．∵對于函數(shù)y=x2﹣x﹣3，x=﹣時，y=3，∴點D在落在拋物線上．（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，∴四邊形ECAG是矩形，∴EG=AC=BG，∵FG∥OE，∴OF=FB，∵EG=BG，∴EO=2FG，∵?DE?EO=?GB?GF，∴BG=2DE，∵DE∥AC，∴==，∵點B坐標(biāo)（2m，2m2∴OC=2OE，∴3=2（2m2∵m＞0，∴m=．②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m∴直線AE解析式為y=﹣2mx+2m2﹣3，直線OB解析式為y=x，由消去y得到﹣2mx+2m2﹣3=x，解得x=，∴點M橫坐標(biāo)為，∵△AMF的面積=△BFG的面積，∴?（+3）?（m﹣）=?m??（2m2﹣3），整理得到：2m4﹣9m2∵m＞0，∴m=．故答案為．【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、三角形面積問題、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，通過方程組解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．14．（2016?貴港）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點E為x軸下方拋物線上的一動點，當(dāng)S△ABE=S△ABC時，求點E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把A、B兩點的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）當(dāng)S△ABE=S△ABC時，可知E點和C點的縱坐標(biāo)相同，可求得E點坐標(biāo)；（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點D，可求得ED和AD的長度，設(shè)出點P坐標(biāo)，過P作PQ⊥x軸于點Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對應(yīng)邊可得到關(guān)于P點坐標(biāo)的方程，可求得P點坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A、B兩點坐標(biāo)代入解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣5；（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，∴C（0，﹣5），∵S△ABE=S△ABC，且E點在x軸下方，∴E點縱坐標(biāo)和C點縱坐標(biāo)相同，當(dāng)y=﹣5時，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E點坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）；（3）假設(shè)存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（m，m2+m﹣5），如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點D，過P作PQ⊥x軸于點Q，則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，當(dāng)∠BAP=∠CAE時，則△EDA∽△PQA，∴=，即=，∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），當(dāng)m2+m﹣5=（5+m）時，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（與A點重合，舍去），當(dāng)m2+m﹣5=﹣（5+m）時，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（與A點重合，舍去），∴存在滿足條件的點P，其橫坐標(biāo)為或．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用．涉及到的知識點有待定系數(shù)法、三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)及分類討論等．在（3）中利用∠BAP=∠CAE構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強(qiáng)，難度適中．15．（2016?武漢）拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標(biāo)；（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點．當(dāng)點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．【分析】（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得D點坐標(biāo)；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，拋物線的解析式為y=x2﹣；②如圖1，當(dāng)點D在OP左側(cè)時，由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D與P關(guān)于y軸對稱，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；當(dāng)點D在OP右側(cè)時，延長PD交x軸于點G．作PH⊥OB于點H，則OH=1，PH=3．∵∠DPO=∠POB，∴PG=OG．設(shè)OG=x，則PG=x，HG=x﹣1．在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．∴點G（5，0）．∴直線PG的解析式為y=x﹣解方程組得，．∵P（1，﹣3），∴D（，﹣）．∴點D的坐標(biāo)為（1，﹣3）或（，﹣）．（2）點P運動時，是定值，定值為2，理由如下：作PQ⊥AB于Q點，設(shè)P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），則at2+c=0，c=﹣at2．∵PQ∥OF，∴，∴OF==﹣==amt+at2．同理OE=﹣amt+at2．∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC．∴=2．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②利用函數(shù)值相等的點關(guān)于對稱軸對稱得出D點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（2）利用待定系數(shù)法求出E、F點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．16．（2016?黔西南州）如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點（1）求m的值及C點坐標(biāo)；（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構(gòu)成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標(biāo)；若不存在，請簡要說明理由（3）P為拋物線上一點，它關(guān)于直線BC的對稱點為Q①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(biāo)；②點P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），當(dāng)t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先判斷出面積最大時，平移直線BC的直線和拋物線只有一個交點，從而求出點M坐標(biāo)；（3）①先判斷出四邊形PBQC時菱形時，點P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解；②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，從而確定出它的最大值．【解答】解：（1）將B（4，0）代入y=﹣x2+3x+m，解得，m=4，∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC解析式為y=﹣x+4，當(dāng)直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時，△MBC面積最大，∴，∴x2﹣4x+b=0，∴△=14﹣4b=0，∴b=4，∴，∴M（2，6），（3）①如圖，∵點P在拋物線上，∴設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），當(dāng)四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上，∵B（4，0），C（0，4）∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，∴m=﹣m2+3m+4，∴m=1±，∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），②如圖，設(shè)點P（t，﹣t2+3t+4），過點P作y軸的平行線l，過點C作l的垂線，∵點D在直線BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，BE+CF=4，∴S四邊形PBQC=2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（PD×CF+PD×BE）=4PD=﹣4t2+16t，∵0＜t＜4，∴當(dāng)t=2時，S四邊形PBQC最大=16【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值的確定，對稱性，面積的確定，解本題的關(guān)鍵是確定出△MBC面積最大時，點P的坐標(biāo)．17．（2016?重慶）如圖1，二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（0，1），點B在第一象限內(nèi)，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，點M是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點，過點B作軸的垂線，垂足為N，且S△AMO：S四邊形AONB=1：48．（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥BC于點F．當(dāng)PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H（不與點A，點B重合），使GH+BH的值最小，求點H的坐標(biāo)和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點K（3，4），將二次函數(shù)y=x2﹣2x+1沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線上點A，點C的對應(yīng)點分別為點A′，點C′；當(dāng)△A′C′K是直角三角形時，求t的值．【分析】（1）根據(jù)S△AMO：S四邊形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比為1：7，從而求出BN，繼而求出點B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線解析式．（2）先判斷出PE×PF最大時，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大時G（5，），再簡單的計算即可；（3）由平移的特點及坐標(biāo)系中，兩點間的距離公式得A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m【解答】解：（1）∵點C是二次函數(shù)y=x2﹣2x+1圖象的頂點，∴C（2，﹣1），∵PE⊥x軸，BN⊥x軸，∴△MAO∽△MBN，∵S△AMO：S四邊形AONB=1：48，∴S△AMO：S△BMN=1：49，∴OA：BN=1：7，∵OA=1∴BN=7，把y=7代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2﹣2x+1中，可得7=x2﹣2x+1，∴x1=﹣2（舍），x2=6∴B（6，7），∵A的坐標(biāo)為（0，1），∴直線AB解析式為y=x+1，∵C（2，﹣1），B（6，7），∴直線BC解析式為y=2x﹣5．（2）如圖1，設(shè)點P（x0，x0+1），∴D（，x0+1），∴PE=x0+1，PD=3﹣x0，∵∠DPF固定不變，∴PF：PD的值固定，∴PE×PF最大時，PE×PD也最大，PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3，∴當(dāng)x0=時，PE×PD最大，即：PE×PF最大．此時G（5，）∵△MNB是等腰直角三角形，過B作x軸的平行線，∴BH=B1H，GH+BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值，∴當(dāng)GH和HB1在一條直線上時，GH+HB1的值最小，此時H（5，6），最小值為7﹣=（3）令直線BC與x軸交于點I，∴I（，0）∴IN=，IN：BN=1：2，∴沿直線BC平移時，橫坐標(biāo)平移m時，縱坐標(biāo)則平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m），∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m當(dāng)∠A′KC′=90°時，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此時t=m=2±；當(dāng)∠KC′A′=90°時，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此時t=m=4；當(dāng)∠KA′C′=90°時，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此時t=0．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點間的結(jié)論公式，解本題的關(guān)鍵是相似三角形的性質(zhì)的運用．18．（2016?新疆）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BO=OC=3AO，直線y=﹣x+1與y軸交于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：△DBO∽△EBC；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【分析】（1）先求出點C的坐標(biāo)，在由BO=OC=3AO，確定出點B，A的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先求出點A，B，C，D，E的坐標(biāo)，從而求出BC=3，BE=2，CE=，OD=1，OB=3，BD=，求出比值，得到得出結(jié)論；（3）設(shè)出點P的坐標(biāo)，表示出PB，PC，求出BC，分三種情況計算即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3，∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵該拋物線與x軸交于A、B兩點，∴，∴，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，（2）由（1）知，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=3，BE=2，CE=，∵直線y=﹣x+1與y軸交于點D，∴D（0，1），∵B（3，0），∴OD=1，OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△BCE∽△BDO，（3）存在，理由：設(shè)P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①當(dāng)PB=PC時，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②當(dāng)PB=BC時，∴3=，∴m=±，∴P（1，）或P（1，﹣），③當(dāng)PC=BC時，∴3=，∴m=﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合條件的P點坐標(biāo)為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了點的坐標(biāo)的確定方法，兩點間的距離公式，待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷△BCE∽△BDO．難點是分類．19．（2016?臨沂）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，BC．（1）求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；（2）動點P從點O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，PA=QA？（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先確定出點A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)運動表示出OP=2t，CQ=10﹣t，判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；（3）分三種情況用平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點間的距離公式計算即可，【解答】解：（1）∵直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，∴A（5，0），B（0，10），∵拋物線過原點，∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，∵拋物線過點B（0，10），C（8，4），∴，∴，∴拋物線解析式為y=x2﹣x，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（2）如圖1，當(dāng)P，Q運動t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t時，由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，∴2t=10﹣t，∴t=，∴當(dāng)運動時間為時，PA=QA；（3）存在，∵y=x2﹣x，∴拋物線的對稱軸為x=，∵A（5，0），B（0，10），∴AB=5設(shè)點M（，m），①若BM=BA時，∴（）2+（m﹣10）2=125，∴m1=，m2=，∴M1（，），M2（，），②若AM=AB時，∴（）2+m2=125，∴m3=，m4=﹣，∴M3（，），M4（，﹣），③若MA=MB時，∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，∴m=5，∴M（，5），此時點M恰好是線段AB的中點，構(gòu)不成三角形，舍去，∴點M的坐標(biāo)為：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣），【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分情況討論，也是本題的難點．20．（2016?眉山）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B、C分別為坐標(biāo)軸上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標(biāo)，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點坐標(biāo)代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當(dāng)BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標(biāo)，確定出P坐標(biāo)