重慶市兩江育才中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題word版含解析

重慶兩江育才中學(xué)高2021級2022年秋第一次月考數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題（每小題5分，其中1-8題為單選，9-12題為多選，共60分）1已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：C2.每年的10月10日為“辛亥革命”紀(jì)戀日，某高中欲從高一、高二、高三分別600人、500人、700人中采用分層抽樣法組建一個(gè)36人的團(tuán)隊(duì)參加活動，則應(yīng)抽取高三（）A.10人 B.12人 C.14人 D.16人【答案】C【解析】【分析】求出高一、高二、高三的人數(shù)之比，進(jìn)而按照比例求出抽取高三的人數(shù).【詳解】高一、高二、高三的人數(shù)之比為，故組建一個(gè)36人的團(tuán)隊(duì)參加活動，則應(yīng)抽取高三的人數(shù)為.故選：C3.設(shè)為兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件可以是（）A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.垂直于同一條直線C.平行于同一條直線 D.垂直于同一個(gè)平面【答案】B【解析】【分析】利用線面，面面平行垂直的判定或性質(zhì)對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到答案.【詳解】對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行不能得出兩個(gè)平面可以相交，故A錯(cuò)；對于B，垂直于同一條直線可以得出，反之當(dāng)時(shí)，若垂直于某條直線，則也垂直于該條直線，正確；對于C，平行于同一條直線，則兩個(gè)平面可以平行也可以相交，故錯(cuò)誤；對于D，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可以平行也可以相交，故錯(cuò)誤；故選：B．4.在正方體中，棱長為2，是底面正方形的中心，點(diǎn)在上，是上靠近的三等分點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直的時(shí)候，的長為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，，表示出，，依題意，即可得到方程，解得即可.【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、，，設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，解?故選：A5.為名學(xué)校甲、乙、丙三名領(lǐng)導(dǎo)到高二1班，高二2班，高二3班三個(gè)班聽課，每個(gè)人只能去一個(gè)班，每個(gè)班必須有領(lǐng)導(dǎo)去，則甲恰好去高二3班聽課的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再求出甲恰好去高二3班聽課的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】解：甲、乙、丙三名領(lǐng)導(dǎo)到個(gè)班聽課，每個(gè)班一位來領(lǐng)導(dǎo)，則共有情況，若甲恰好去高二3班聽課，則另外兩位領(lǐng)導(dǎo)還有種安排，故甲恰好去高二3班聽課的概率.故選：D6.過點(diǎn)的直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得坐標(biāo)，由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，解得：，，，.故選：D.7.某圓柱形容器內(nèi)盛有高的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球，則一個(gè)球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出球的半徑，由體積列出方程，求出球的半徑，進(jìn)而得到一個(gè)球的體積.【詳解】設(shè)球的半徑為，則一個(gè)球的體積為，故，解得：，故一個(gè)球的體積為.故選：B8.張衡是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾在數(shù)學(xué)著作《算罔論》中得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六約等于八分之五．已知在菱形中，，將沿進(jìn)行翻折，使得．按張衡的結(jié)論，三棱錐外接球的表面積約為（）A.72 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由球的性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心位置和球的半徑，由此可求球的表面積.【詳解】如圖1，取BD的中點(diǎn)M，連接．由，可得為正三角形，且，所以，則，以M為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)M且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖2，則，．設(shè)為三棱錐的外接球球心，則在平面的投影必為的外心，則設(shè)．由可得，解得，所以．由張衡的結(jié)論，，所以，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B．9.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為不是互斥事件的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；全是白球【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概念判斷即可.【詳解】解：對于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件．故A正確；對于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件．故B正確；對于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件．故C錯(cuò)誤；對于D：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個(gè)白球”與“全是白球”是互斥事件．故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.為落實(shí)黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試．如圖是該次考試成績隨機(jī)抽樣樣本的頻率分布直方圖．則下列關(guān)于這次考試成績的估計(jì)正確的是（）A.眾數(shù)為82.5 B.80百分位數(shù)為91.7C.平均數(shù)為88 D.沒有一半以上干部的成績在80～90分之間【答案】AB【解析】【分析】A根據(jù)直方圖判斷眾數(shù)的位置即可；B利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法求出80百分位數(shù)即可；C利用直方圖求出平均數(shù)即可；D求出80~90分之間的頻率，與比較大小即可【詳解】由圖知：眾數(shù)出現(xiàn)在之間，故眾數(shù)為，故A正確；由圖可得該次考試成績在分以下所占比例為，在分以下所占比例為，因此，第百分位數(shù)一定位于內(nèi)，所以第百分位數(shù)為，故B正確；由，C錯(cuò)誤；由，有一半以上干部的成績在80~90分之間，D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是（）A. B.復(fù)數(shù)，則C.若復(fù)數(shù)，則， D.若，，則的充要條件是【答案】AC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的求模公式和四則運(yùn)算判斷A、B，利用虛數(shù)不能比較大小判斷C，利用特殊值判斷D．【詳解】解：對于A：設(shè)，，則，，故A正確，對于B：，所以，故B錯(cuò)誤；對于C：虛數(shù)不能比較大小，能比較大小的一定為實(shí)數(shù)，，，故C正確；當(dāng)，時(shí)，滿足，但不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC．12.設(shè)為外心，且滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算A、B，由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出、、，再由二倍角公式判斷C、D.【詳解】解：有題意可知：．對于A：．兩邊同時(shí)平方得到：．解得，故A正確．對于B：．兩邊再平方得到：．結(jié)合A可得：．所以B正確．對于C：．兩邊平方得到：．解得．同理可得，．，．，所以，則，，所以，，．．故C正確；由，所以，所以，所以，顯然，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，若與共線，則實(shí)數(shù)_____．【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)公式即可求解【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，因?yàn)榕c共線，所以，解得故答案為：14.過點(diǎn)且傾斜角是直線：的傾斜角的兩倍的直線的方程為______．【答案】【解析】【分析】求出直線的傾斜角，進(jìn)而可得出所求直線的方程.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，又過點(diǎn)，所以所求直線的方程為．故答案為：15.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是____________.【答案】【解析】【分析】由題意得以及，得到，進(jìn)而結(jié)合扇形得面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐得地面半徑為，母線為，高為，則，由題意知，所以，設(shè)圓錐得側(cè)面展開圖得圓心角為，則，所以，即，故答案為：.16.甲、乙兩人拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子做拋擲游戲．規(guī)則如下：由一人同時(shí)擲兩顆骰子，觀察兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和，若兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為兩位數(shù)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是兩位數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，設(shè)第次由甲擲的概率為，求______，求與的關(guān)系，______．【答案】①②.【解析】【分析】據(jù)題意列出第次由甲擲的兩種情況，根據(jù)互斥事件加法公式求得遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造數(shù)列求解通項(xiàng)公式的問題即可得到答案．【詳解】解：兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為兩位數(shù)的概率為．第次由甲擲有兩種情況：①第次由甲擲，第次由甲擲，概率為；②第次由乙擲，第n次由甲擲，概率為．這兩種情況是互斥的，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：；三、解答題（共70分）17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用表示向量；（2）求BM的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用空間向量基本定理用基底表示；（2）在第一問的基礎(chǔ)上運(yùn)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.【小問1詳解】【小問2詳解】，所以，則BM的長為.18.如圖，直三棱柱中，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若此三棱柱的體積為1，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：連接交于點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，為矩形，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，又由平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：在直三棱柱中，平面ABC，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，所以，由，可得，以B點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知直線，直線（1）若，求；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的斜率分別為，求的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接由直線一般式方程的平行公式求出，代入直線方程檢驗(yàn)是否重合即可；（2）先表示出，通過結(jié)合基本不等式即可求出最小值.【小問1詳解】由題意知：，解得或，又時(shí)，，，重合，舍去，故.【小問2詳解】由題意知，又，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故的最小值為.20.如圖，在四邊形中，，．且______；在①、②、③中選一個(gè)作為條件，解答下列問題；①；②；③．（1）求四邊形的面積；（2）求的值．【答案】（1）條件選擇見解析，面積為（2）【解析】【分析】（1）選①：由余弦定理得到，進(jìn)而求出，由勾股定理逆定理得到，由和誘導(dǎo)公式求出，進(jìn)而由面積公式求出與，相加后求出四邊形面積；選②：求出，得到，再由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到，由和誘導(dǎo)公式求出，進(jìn)而由面積公式求出與，相加后求出四邊形面積；選③：由向量數(shù)量積公式得到，由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到，由和誘導(dǎo)公式求出，進(jìn)而由面積公式求出與，相加后求出四邊形面積；（2）先求出，由余弦定理求出，再由正弦定理求出.【小問1詳解】選①：，故，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，由余弦定理得：，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且為鈍角，故，所以，故，又，故四邊形的面積為；選②：，即，在中，，故為銳角，所以，由余弦定理得：，結(jié)合，解得：，因?yàn)椋?，因?yàn)?，且為鈍角，故，所以，故，又，故四邊形的面積為；選③：，即，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得：，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且為鈍角，故，所以，故，又，故四邊形的面積為；【小問2詳解】選①②③，均求出，由圖可知為銳角三角形，，由余弦定理得：，結(jié)合，解得：，由正弦定理得：，即，解得：.21.某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為8，2．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；（2）估計(jì)本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)；（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【詳解】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用頻率分布直方圖求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用頻率分布直方圖中提供的數(shù)據(jù)信息求解；(3)運(yùn)用列舉法和古典概型計(jì)算公式求解.試題解析：（1）由題意可知，樣本容量n==50，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）設(shè)本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)為m，平均分為，則[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040=0.5，解得，=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率.考點(diǎn)：頻率分布直方圖、頻率與頻數(shù)的關(guān)系及古典概型的計(jì)算公式等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以學(xué)校中的數(shù)學(xué)競賽的數(shù)學(xué)成績的抽樣統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖為背景,設(shè)置了三個(gè)較為平常的數(shù)學(xué)問題.解答時(shí)一定要充分利用題設(shè)中提供