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湖南省2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里,這個(gè)正四面體的高的最小值為()A. B.C. D.2.若a>b>1,0<c<1,則下列式子中不正確的是()A. B.C. D.3.已知集合,則(
)A. B.C. D.4.若則函數(shù)的圖象必不經(jīng)過()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足,,數(shù)列滿足,且,(其中為的前n項(xiàng)和).則A.3 B.C. D.26.已知,,,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.7.下列直線中,傾斜角為45°的是()A. B.C. D.8.已知,且滿足,則值A(chǔ). B.C. D.9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是()A. B.C. D.10.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示,此函數(shù)的解析式可以是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.如圖,某化學(xué)實(shí)驗(yàn)室的一個(gè)模型是一個(gè)正八面體(由兩個(gè)相同的正四棱錐組成,且各棱長(zhǎng)都相等)若該正八面體的表面積為,則該正八面體外接球的體積為___________;若在該正八面體內(nèi)放一個(gè)球,則該球半徑的最大值為___________.12.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___13.調(diào)查某高中1000名學(xué)生的肥胖情況,得到的數(shù)據(jù)如表:偏瘦正常肥胖女生人數(shù)88175y男生人數(shù)126211z若,則肥胖學(xué)生中男生不少于女生的概率為_________14.若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15.如下圖所示的正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2,下底面邊長(zhǎng)為8,高為3216.命題,,則為______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;(Ⅱ)若,且在上的最小值為2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.已知函數(shù),,設(shè)(其中表示中的較小者).(1)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像;(2)設(shè)函數(shù)的最大值為,試判斷與1的大小關(guān)系,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):,,)19.筒車是我國(guó)古代發(fā)哪的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟(jì)環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理.如圖1是一個(gè)半徑為R(單位:米),有24個(gè)盛水筒的筒車,按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)一周需要120秒,為了研究某個(gè)盛水筒P離水面高度h(單位,米)與時(shí)間t(單位:秒)的變化關(guān)系,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.已知時(shí)P的初始位置為點(diǎn)(此時(shí)P裝滿水).(1)P從出發(fā)到開始倒水入槽需要用時(shí)40秒,求此刻P距離水面的高度(結(jié)果精確到0.1);(2)記與P相鄰的下一個(gè)盛水筒為Q,在簡(jiǎn)車旋轉(zhuǎn)一周的過程中,求P與Q距離水面高度差的最大值(結(jié)果精確到0.1)參考數(shù)據(jù):,,,20.設(shè)全集,已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)的值域?yàn)榧螧.(1)求;(2)若且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.(1)化簡(jiǎn):(2)求值:
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由題意可得,底面放三個(gè)鋼球,上再落一個(gè)鋼球時(shí)體積最小,于是把鋼球的球心連接,則可得到一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正四面體,該小正四面體的高為,且由正四面體的性質(zhì)可知,正四面體的中心到底面的距離是高的,且小正四面體的中心和正四面體容器的中心是重合的,所以小正四面體的中心到底面的距離是,正四面體的中心到底面的距離是,所以可知正四面體的高的最小值為,故選擇C考點(diǎn):幾何體的體積2、D【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出正誤.【詳解】解:,,,A正確;是減函數(shù),,B正確;為增函數(shù),,C正確.是減函數(shù),,D錯(cuò)誤.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】直接利用兩個(gè)集合的交集的定義求得M∩N【詳解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1},N={x|x2<4}={x|-2<x<2},則M∩N={x|-1≤x<2},故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)集合的交集的定義和求法,屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】令,則的圖像如圖所示,不經(jīng)過第二象限,故選B.考點(diǎn):1、指數(shù)函數(shù)圖像;2、特例法解題.5、A【解析】由奇函數(shù)滿足可知該函數(shù)是周期為的奇函數(shù),由遞推關(guān)系可得:,兩式做差有:,即,即數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,故:,綜上有:,,則:.本題選擇A選項(xiàng).6、A【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】解:∵,∴,∵,∴,∵,∴,即,∴故選:A7、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率,再由直線方程求出直線斜率,即可求解.【詳解】由直線的傾斜角為45°,可知直線的斜率為,對(duì)于A,直線斜率為,對(duì)于B,直線無斜率,對(duì)于C,直線斜率,對(duì)于D,直線斜率,故選:C8、C【解析】由可求得,然后將經(jīng)三角變換后用表示,于是可得所求【詳解】∵,∴,解得或∵,∴∴故選C【點(diǎn)睛】對(duì)于給值求值的問題,解答時(shí)注意將條件和所求值的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn),然后合理地運(yùn)用條件達(dá)到求解的目的,解題的關(guān)鍵進(jìn)行三角恒等變換,考查變換轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力9、D【解析】根據(jù)圖像平移過程,寫出平移后的函數(shù)解析式即可.【詳解】由題設(shè),.故選:D10、A【解析】根據(jù)圖象,先確定以及周期,進(jìn)而得出,再由求出,即可得到函數(shù)解析式.【詳解】顯然,因?yàn)?,所以,所以,由得,所以,即,,因?yàn)?,所以,所?故選:A二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、①.②.【解析】由已知求得正八面體的棱長(zhǎng)為,進(jìn)而求得,即知外接球的半徑,進(jìn)而求得體積;若球O在正八面體內(nèi),則球O半徑的最大值為O到平面的距離,證得平面,再利用相似可知,即可求得半徑.【詳解】如圖,記該八面體為,O為正方形的中心,則平面設(shè),則,解得.在正方形中,,則在直角中,知,即正八面體外接球的半徑為故該正八面體外接球的體積為.若球O在正八面體內(nèi),則球O半徑的最大值為O到平面的距離.取的中點(diǎn)E,連接,,則,又,,平面過O作于H,又,,所以平面,又,,則,則該球半徑的最大值為.故答案為:,12、2【解析】當(dāng)x≤0時(shí),令函數(shù)值為零解方程即可;當(dāng)x>0時(shí),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí),,∵,故此時(shí)零點(diǎn)為;當(dāng)x>0時(shí),在上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時(shí),y<0,當(dāng)x=2時(shí),y>0,故在(1,2)之間有唯一零點(diǎn);綜上,函數(shù)y在R上共有2個(gè)零點(diǎn).故答案為:2.13、【解析】先求得,然后利用列舉法求得正確答案.【詳解】依題意,依題意,記,則所有可能取值為,,,共種,其中肥胖學(xué)生中男生不少于女生的為,,,共種,故所求的概率為.故答案為:14、【解析】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)判斷得在上單調(diào)遞減,再結(jié)合對(duì)稱軸和區(qū)間邊界值建立不等式即可求解.【詳解】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得,在上嚴(yán)格單調(diào)遞減,二次函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸為所以,即故答案為:15、6【解析】如下圖所示,O'B'=2,OM=216、,【解析】由全稱命題的否定即可得解.【詳解】因?yàn)槊}為全稱命題,所以為“,”.故答案為:,.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由奇函數(shù)即可解得,需要檢驗(yàn);(Ⅱ)由得,進(jìn)而得,令,得,結(jié)合的范圍求解即可.試題解析:(Ⅰ)經(jīng)檢驗(yàn)成立.(Ⅱ).,設(shè)設(shè)..當(dāng)時(shí),成立.當(dāng)時(shí),成立.當(dāng)時(shí),不成立,舍去.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、(1)見解析;(2)見解析.【解析】(1)根據(jù)(其中表示中的較小者),即可畫出函數(shù)的圖像;(2)由題意可知,為函數(shù)與圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即,設(shè),根據(jù)零點(diǎn)存在定理及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且為連續(xù)曲線,可得有唯一零點(diǎn),再由函數(shù)在上單調(diào)遞減,即可得證.試題解析:(1)作出函數(shù)的圖像如下:(2)由題意可知,為函數(shù)與圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo),且,∴.設(shè),易知即為函數(shù)零點(diǎn),∵,,∴,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,且為連續(xù)曲線,∴有唯一零點(diǎn)∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,即.19、(1)m(2)m【解析】(1)根據(jù)題意P從出發(fā)到開始倒水入槽用時(shí)40秒,可知線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了,由,可求圓的半徑,由題意可知以O(shè)A為終邊的角為,由此即可求出P距離水面的高度;(2)由題意可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s,易知P開始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度的解析式,設(shè)P,Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B,C表示,易知,點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad,求出Q距離水面的高度,可得則P,Q距離水面的高度差,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解:由于筒車轉(zhuǎn)一周需要120秒,所以P從出發(fā)到開始倒水入槽的40秒,線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了,因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為,得,以O(shè)A為終邊的角為,所以P距離水面的高度m【小問2詳解】解:由于筒車轉(zhuǎn)一周需要120秒,可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s,又以O(shè)A為終邊的角為,則P開始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度,如圖,P,Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B,C表示,則,點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad,此時(shí)Q距離水面的高度則P,Q距離水面的高度差,利用,可
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