2015年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編：圓(七)解析

2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（7）一．解答題（共30小題）1．（2015?六盤水）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點O是AC邊上的一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點D，連接OD．（1）求證：△ADO∽△ACB．（2）若⊙O的半徑為1，求證：AC=AD?BC．2．（2015?東營）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．（1）求證：AC?AD=AB?AE；（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當(dāng)BC=2時，求AC的長．3．（2015?遂寧）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，BN⊥CD于N．（1）求證：∠ADC=∠ABD；（2）求證：AD2=AM?AB；（3）若AM=，sin∠ABD=，求線段BN的長．4．（2015?麗水）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．5．（2015?瀘州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過點A作⊙O的切線AE與DC的延長線交于點E，AD與BC交于點F．（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的長．6．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長．7．（2015?烏魯木齊）如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E．（1）求證：DC=DE；（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的長．8．（2015?陜西）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點B作⊙O的切線DE，與AC的延長線交于點D，作AE⊥AC交DE于點E．（1）求證：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半徑為5，AC=8，求BE的長．9．（2015?溫州）如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E，DF切半圓于點F．已知∠AEF=135°．（1）求證：DF∥AB；（2）若OC=CE，BF=，求DE的長．10．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P．（1）求證：∠BCP=∠BAN（2）求證：=．11．（2015?巴彥淖爾）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線BD于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．（1）求證：AC=CD；（2）若OC=，求BH的長．12．（2015?通遼）如圖，MN是⊙O的直徑，QN是⊙O的切線，連接MQ交⊙O于點H，E為上一點，連接ME，NE，NE交MQ于點F，且ME2=EF?EN．（1）求證：QN=QF；（2）若點E到弦MH的距離為1，cos∠Q=，求⊙O的半徑．13．（2015?臨沂）如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．14．（2015?梅州）如圖，直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3）．（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時，求點M的坐標(biāo)．15．（2015?聊城）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．（1）求證：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長．16．（2015?天津）已知A、B、C是⊙O上的三個點．四邊形OABC是平行四邊形，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點D．（Ⅰ）如圖①，求∠ADC的大?。á颍┤鐖D②，經(jīng)過點O作CD的平行線，與AB交于點E，與交于點F，連接AF，求∠FAB的大小．17．（2015?銅仁市）如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙0的切線，切點為B．AC經(jīng)過圓心0并與圓相交于點D、C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長線于點E．（1）求證：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半徑．18．（2015?珠海）五邊形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且滿足以點B為圓心，AB長為半徑的圓弧AC與邊DE相切于點F，連接BE，BD．（1）如圖1，求∠EBD的度數(shù)；（2）如圖2，連接AC，分別與BE，BD相交于點G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG?HC的值．19．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P．求證：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．20．（2015?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，=，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；（2）求證：DE=DM．21．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延長線相交于點M，連接AC，CM．（1）若AB=4，求的長；（結(jié)果保留π）（2）求證：四邊形ABMC是菱形．22．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．（1）求證：AB=AC；（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．23．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延長線于點C，E為的中點，連接DE，EB．（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；（2）已知圖中陰影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．24．（2015?黔西南州）如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C．（1）求證：直線PB與⊙O相切；（2）PO的延長線與⊙O交于點E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長．25．（2015?蘭州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A和點D．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半徑；②設(shè)⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結(jié)果保留根號和π）26．（2015?酒泉）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF．（1）如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是（至少說出兩種）：或者．（2）如圖②所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．27．（2015?安順）如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．（1）求證：直線EF是⊙O的切線；（2）求cos∠E的值．28．（2015?呼和浩特）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O外的一點，AM是⊙O的直徑，∠PAC=∠ABC（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）連接PB與AC交于點D，與⊙O交于點E，F(xiàn)為BD上的一點，若M為的中點，且∠DCF=∠P，求證：==．29．（2015?泰州）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．（1）試說明DF是⊙O的切線；（2）若AC=3AE，求tanC．30．（2015?資陽）如圖，在△ABC中，BC是以AB為直徑的⊙O的切線，且⊙O與AC相交于點D，E為BC的中點，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（7）參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2015?六盤水）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點O是AC邊上的一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點D，連接OD．（1）求證：△ADO∽△ACB．（2）若⊙O的半徑為1，求證：AC=AD?BC．考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）由AB是⊙O的切線，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，問題可證；（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到結(jié)論．解答： （1）證明：∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，∴∠C=∠ADO=90°，∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB；（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB．∴，∴AD?BC=AC?OD，∵OD=1，∴AC=AD?BC．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．2．（2015?東營）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．（1）求證：AC?AD=AB?AE；（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當(dāng)BC=2時，求AC的長．考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接DE，根據(jù)圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進(jìn)而證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據(jù)已知求得∠OBD=30°，進(jìn)而求得∠BAC=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長．解答： （1）證明：連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴AC?AD=AB?AE；（2）解：連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．點評： 本題考查了圓周角定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2015?遂寧）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，BN⊥CD于N．（1）求證：∠ADC=∠ABD；（2）求證：AD2=AM?AB；（3）若AM=，sin∠ABD=，求線段BN的長．考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接OD，由切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)果；（2）由已知條件證得△ADM∽△ABD，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理代入數(shù)值即可得到結(jié)果．解答： （1）證明：連接OD，∵直線CD切⊙O于點D，∴∠CDO=90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；（2）證明：∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2=AM?AB；（3）解：∵sin∠ABD=，∴sin∠1=，∵AM=，∴AD=6，∴AB=10，∴BD==8，∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin∠NBD=，∴DN=，∴BN==．點評： 本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．4．（2015?麗水）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．考點： 切線的性質(zhì)；扇形面積的計算．分析： （1）連接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代換得∠ODB=∠ACB，利用平行線的判定得OD∥AC，由切線的性質(zhì)得DF⊥OD，得出結(jié)論；（2）連接OE，利用（1）的結(jié)論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論．解答： （1）證明：連接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半徑為4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8，∴S陰影=4π﹣8．點評： 本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．5．（2015?瀘州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過點A作⊙O的切線AE與DC的延長線交于點E，AD與BC交于點F．（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的長．考點： 切線的性質(zhì)；平行四邊形的判定．分析： （1）根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠EAC=∠ABC，根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)和等量代得到∠EAC=∠ACB，從而根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行的判定得到AE∥BC，結(jié)合已知AB∥CD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；（2）作輔助線，連接AO，交BC于點H，雙向延長OF分別交AB，CD于點N，M，根據(jù)切割線定理求得EC=4，證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據(jù)對稱性、圓周角定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用證明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．解答： （1）證明：∵AE與⊙O相切于點A，∴∠EAC=∠ABC，∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四邊形ABCE是平行四邊形；（2）解：如圖，連接AO，交BC于點H，雙向延長OF分別交AB，CD與點N，M，∵AE是⊙O的切線，由切割線定理得，AE2=EC?DE，∵AE=6，CD=5，∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去負(fù)數(shù)），由圓的對稱性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，又根據(jù)對稱性和垂徑定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，設(shè)OF=x，OH=Y，F(xiàn)H=z，∵AB=4，BC=6，CD=5，∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，易得△OFH∽△DMF∽△BFN，∴，，即，①②，①+②得：，①÷②得：，解得，∵x2=y2+z2，∴，∴x=，∴OF=．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，相似判定和性質(zhì)，勾股定理，正確得作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長．考點： 切線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；（2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進(jìn)而求出AD．解答： （1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED．∵BC與⊙O相切于一點D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=AO=0D，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA=OD，∴四邊形AODE是菱形．（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半徑為．如圖2，連接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC?AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一個綜合題，難度中等．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．7．（2015?烏魯木齊）如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E．（1）求證：DC=DE；（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的長．考點： 切線的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形．分析： （1）利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠DCE=∠E，進(jìn)而得出答案；（2）設(shè)BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的長．解答： （1）證明：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，∴∠ACO=∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE，（2）解：設(shè)BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，OC2+CD2=DO2，則1.52+[（3+x）]2=（1.5+x）2，解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，故BD=1．點評： 此題主要考查了切線的性質(zhì)以及以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)得出∠OCD=90°是解題關(guān)鍵．8．（2015?陜西）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點B作⊙O的切線DE，與AC的延長線交于點D，作AE⊥AC交DE于點E．（1）求證：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半徑為5，AC=8，求BE的長．考點： 切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）根據(jù)切線的性質(zhì)，和等角的余角相等證明即可；（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形進(jìn)行解答即可．解答： （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點B作⊙O的切線DE，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠E=90°，∵∠DAE=90°，∴∠BAD+∠BAE=90°，∴∠BAD=∠E；（2）解：連接BC，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AC=8，AB=2×5=10，∴BC=，∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，∴△ABC∽△EAB，∴，∴，∴BE=．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形等知識點，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分析．9．（2015?溫州）如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E，DF切半圓于點F．已知∠AEF=135°．（1）求證：DF∥AB；（2）若OC=CE，BF=，求DE的長．考點： 切線的性質(zhì)．分析： （1）證明：連接OF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AEF+∠B=180°，由于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是結(jié)論可得；（2）過E作EM⊥BF于M，由四邊形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于OC=CE，推出AC=DE，設(shè)DE=x，則AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2，由勾股定理得：OF=OB=2，則AB=4，BC=4﹣x，由于AC=DE，OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通過Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，問題可得．解答： （1）證明：連接OF，∵A、E、F、B四點共圓，∴∠AEF+∠B=180°，∵∠AEF=135°，∴∠B=45°，∴∠AOF=2∠B=90°，∵DF切⊙O于F，∴∠DFO=90°，∵DC⊥AB，∴∠DCO=90°，即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，∴四邊形DCOF是矩形，∴DF∥AB；（2）解：過E作EM⊥BF于M，∵四邊形DCOF是矩形，∴OF=DC=OA，∵OC=CE，∴AC=DE，設(shè)DE=x，則AC=x，∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2，由勾股定理得：OF=OB=2，則AB=4，BC=4﹣x，∵AC=DE，OCDF=CE，∴由勾股定理得：AE=EF，∴∠ABE=∠FBE，∵EC⊥AB，EM⊥BF∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，在Rt△ECA和Rt△EMF中∴Rt△ECA≌Rt△EMF，∴AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2，解得：x=2﹣，即DE=2﹣．點評： 本題考查了圓周角性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P．（1）求證：∠BCP=∠BAN（2）求證：=．考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題．分析： （1）由AC為⊙O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據(jù)PC是⊙O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到結(jié)論．（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結(jié)論．解答： （1）證明：∵AC為⊙O直徑，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切線，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握定理．11．（2015?巴彥淖爾）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線BD于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．（1）求證：AC=CD；（2）若OC=，求BH的長．考點： 切線的性質(zhì)．分析： （1）連接OC，由C是的中點，AB是⊙O的直徑，則CO⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；（2）根據(jù)點E是OB的中點，得OE=BE，可證明△COE≌△FBE（ASA），則BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直徑，得BH⊥AF，可證明△ABF∽△BHF，即可得出BH的長．解答： （1）證明：連接OC，∵C是的中點，AB是⊙O的直徑，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；（2）解：∵E是OB的中點，∴OE=BE，在△COE和△FBE中，，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∵OB=，∴BF=，∴AF==5，∵AB是直徑，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴，∴AB?BF=AF?BH，∴BH===2．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，是中檔題，難度不大．12．（2015?通遼）如圖，MN是⊙O的直徑，QN是⊙O的切線，連接MQ交⊙O于點H，E為上一點，連接ME，NE，NE交MQ于點F，且ME2=EF?EN．（1）求證：QN=QF；（2）若點E到弦MH的距離為1，cos∠Q=，求⊙O的半徑．考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）如圖1，通過相似三角形（△MEF∽△MEN）的對應(yīng)角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、對頂角相等證得∠2=∠3；最后根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論；（2）如圖2，連接OE交MQ于點G，設(shè)⊙O的半徑是r．根據(jù)（1）中的相似三角形的性質(zhì)證得∠EMF=∠ENM，所以由“圓周角、弧、弦間的關(guān)系”推知點E是弧MH的中點，則OE⊥MQ；然后通過解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO==，則可以求r的值．解答： （1）證明：如圖1，∵M(jìn)E2=EF?EN，∴=．又∵∠MEF=∠MEN，∴△MEF∽△MEN，∴∠1=∠EMN．∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，∴∠2=∠3，∴QN=QF；（2）解：如圖2，連接OE交MQ于點G，設(shè)⊙O的半徑是r．由（1）知，△MEF∽△MEN，則∠4=∠5．∴=．∴OE⊥MQ，∴EG=1．∵cos∠Q=，且∠Q+∠GMO=90°，∴sin∠GMO=，∴=，即=，解得，r=2.5，即⊙O的半徑是2.5．點評： 本題考查切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．在（1）中判定△MEF∽△MEN是解題的關(guān)鍵，在（2）中推知點E是弧MH的中點是解題的關(guān)鍵．13．（2015?臨沂）如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．考點： 切線的性質(zhì)；扇形面積的計算．分析： （1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB．（2）如圖，連接ED，根據(jù)（1）中AC∥OD和菱形的判定與性質(zhì)得到四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積．解答： （1）證明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）設(shè)EO與AD交于點M，連接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等邊三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S陰影=S扇形EOD==．點評： 此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2015?梅州）如圖，直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3）．（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時，求點M的坐標(biāo)．考點： 切線的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．分析： （1）把點A（4，0），B（0，3）代入直線l的解析式y(tǒng)=kx+b，即可求出結(jié)果．（2）先畫出示意圖，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM，繼而可得點M的坐標(biāo)．解答： 解：（1）∵直線l經(jīng)過點A（4，0），B（0，3），∴設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，∴∴．∴直線l的解析式為：y=﹣x+3；（3）設(shè)M坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），即OM=m，若M在B點下邊時，BM=3﹣m，∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，∴△MBN′∽△ABO，∴=，即=，解得：m=，此時M（0，）；若M在B點上邊時，BM=m﹣3，同理△BMN∽△BAO，則有=，即=，解得：m=．此時M（0，）．點評： 本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出示意圖，熟練掌握切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般．15．（2015?聊城）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．（1）求證：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長．考點： 切線的性質(zhì)；解直角三角形．分析： （1）本題可連接OD，由PD切⊙O于點D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果；（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果．解答： （1）證明：連接OD，∵PD切⊙O于點D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：有（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD==，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴，∴OA=3，∴⊙O半徑=3．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識點，正確的畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2015?天津）已知A、B、C是⊙O上的三個點．四邊形OABC是平行四邊形，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點D．（Ⅰ）如圖①，求∠ADC的大?。á颍┤鐖D②，經(jīng)過點O作CD的平行線，與AB交于點E，與交于點F，連接AF，求∠FAB的大小．考點： 切線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析： （Ⅰ）由CD是⊙O的切線，C為切點，得到OC⊥CD，即∠OCD=90°由于四邊形OABC是平行四邊形，得到AB∥OC，即AD∥OC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．（Ⅱ）如圖，連接OB，則OB=OA=OC，由四邊形OABC是平行四邊形，得到OC=AB，△AOB是等邊三角形，證得∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)果．解答： 解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切線，C為切點，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，即AD∥OC，有∠ADC+∠OCD=180°，∴∠ADC=180°﹣∠OCD=90°；（Ⅱ）如圖②，連接OB，則OB=OA=OC，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OC=AB，∴OA=OB=AB，即△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，∴OF⊥AB，∴，∴∠FOB=∠FOA=∠AOB=30°，∴．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．17．（2015?銅仁市）如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙0的切線，切點為B．AC經(jīng)過圓心0并與圓相交于點D、C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長線于點E．（1）求證：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半徑．考點： 切線的性質(zhì)．分析： （1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，通過等量代換得到結(jié)果．（2）如圖2，連接BD通過△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得結(jié)果．解答： （1）證明：如圖1，連接OB，∵AB是⊙0的切線，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE；（2）如圖2，連接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC===5，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴，∴BC2=CD?CE，∴CD==，∴OC==，∴⊙O的半徑=．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2015?珠海）五邊形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且滿足以點B為圓心，AB長為半徑的圓弧AC與邊DE相切于點F，連接BE，BD．（1）如圖1，求∠EBD的度數(shù)；（2）如圖2，連接AC，分別與BE，BD相交于點G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG?HC的值．考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）如圖1，連接BF，由DE與⊙B相切于點F，得到BF⊥DE，通過Rt△BAE≌Rt△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是結(jié)論可得；（2）如圖2，連接BF并延長交CD的延長線于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE=，求出PF=，通過△AEG∽△CHD，列比例式即可得到結(jié)果．解答： 解：（1）如圖1，連接BF，∵DE與⊙B相切于點F，∴BF⊥DE，在Rt△BAE與Rt△BEF中，，∴Rt△BAE≌Rt△BEF，∴∠1=∠2，同理∠3=∠4，∵∠ABC=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EBD=45°；（2）如圖2，連接BF并延長交CD的延長線于P，∵∠4=15°，由（1）知，∠3=∠4=15°，∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，∴AE=，BE=，在△ABE與△PBC中，，∴△ABE≌△PBC，∴PB=BE=，∴PF=，∵∠P=60°，∴DF=2﹣，∴CD=DF=2﹣，∵∠EAG=∠DCH=45°，∠AGE=∠BDC=75°，∴△AEG∽△CHD，∴，∴AG?CH=CD?AE，∴AG?CH=CD?AE=（2﹣）?=．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，畫出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P．求證：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題．分析： （1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據(jù)DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據(jù)此判斷出PE=PD即可．（2）首先根據(jù)△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據(jù)PE=PD，可得，據(jù)此判斷出AC?PD=AP?BC即可．解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．（2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC?PD=AP?BC．點評： （1）此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．20．（2015?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，=，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；（2）求證：DE=DM．考點： 切線的性質(zhì)；扇形面積的計算．分析： （1）連接OD，根據(jù)已知和切線的性質(zhì)證明△OCD為等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根據(jù)S陰影=S△OCD﹣S扇OBD計算即可；（2）連接AD，根據(jù)弦、弧之間的關(guān)系證明DB=DE，證明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．解答： （1）解：如圖，連接OD，∵CD是⊙O切線，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD為等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S陰影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）證明：如圖，連接AD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．點評： 本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關(guān)系、扇形面積的計算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法．21．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延長線相交于點M，連接AC，CM．（1）若AB=4，求的長；（結(jié)果保留π）（2）求證：四邊形ABMC是菱形．考點： 切線的性質(zhì)；菱形的判定；弧長的計算．專題： 計算題．分析： （1）連接OB，由E為OD中點，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，進(jìn)而求出∠AOE與∠AOB的度數(shù)，設(shè)OA=x，利用勾股定理求出x的值，確定出圓的半徑，利用弧長公式即可求出的長；（2）由第一問得到∠BAM=∠BMA，利用等角對等邊得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM與三角形OBM全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CM=BM，等量代換得到CM=AB，再利用全等三角形對應(yīng)角相等及等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，進(jìn)而確定出CM與AB平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABMC為平行四邊形，最后由鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．解答： （1）解：∵OA=OB，E為AB的中點，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E為OD中點，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，設(shè)OA=x，則OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，則的長l==；（2）證明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM為圓O的切線，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四邊形ABMC為菱形．點評： 此題考查了切線的性質(zhì)，菱形的判斷，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及弧長公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．22．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．（1）求證：AB=AC；（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．考點： 切線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析： （1）根據(jù)弦切角定理和圓周角定理證明∠ABC=∠ACB，得到答案；（2）作AF⊥CD于F，證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根據(jù)△ABH≌△ACF，得到答案．解答： 證明：（1）∵AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）作AF⊥CD于F，∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．點評： 本題考查的是切線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用性質(zhì)證明相關(guān)的三角形全等是解題的關(guān)鍵，注意圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．23．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延長線于點C，E為的中點，連接DE，EB．（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；（2）已知圖中陰影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．考點： 切線的性質(zhì)；平行四邊形的判定；扇形面積的計算．分析： （1）由∠BOD=60°E為的中點，得到，于是得到DE∥BC，根據(jù)CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形；（2）連接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根據(jù)扇形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．解答： 解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E為的中點，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形；（2）連接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵陰影部分面積為6π，∴=6π，∴r=6．點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，扇形的面積公式，垂徑定理，證明是解題的關(guān)鍵．24．（2015?黔西南州）如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C．（1）求證：直線PB與⊙O相切；（2）PO的延長線與⊙O交于點E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長．考點： 切線的判定．專題： 幾何綜合題．分析： （1）連接OC，作OD⊥PB于D點．證明OD=OC即可．根據(jù)角的平分線性質(zhì)易證；（2）設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．根據(jù)勾股定理得PO=5，則PE=8．證明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根據(jù)勾股定理求解CE．解答： （1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點．∵⊙O與PA相切于點C，∴OC⊥PA．∵點O在∠APB的平分線上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD=OC．∴直線PB與⊙O相切；（2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．∵⊙O與PA相切于點C，∴∠PCF=∠E．又∵∠CPF=∠EPC，∴△PCF∽△PEC，∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．∵EF是直徑，∴∠ECF=90°．設(shè)CF=x，則EC=2x．則x2+（2x）2=62，解得x=．則EC=2x=．點評： 此題考查了切線的判定、相似三角形的性質(zhì)．注意：當(dāng)不知道直線與圓是否有公共點而要證明直線是圓的切線時，可通過證明圓心到直線的距離等于圓的半徑，來解決問題．25．（2015?蘭州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A和點D．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半徑；②設(shè)⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結(jié)果保留根號和π）考點： 切線的判定；扇形面積的計算．分析： （1）連接OD，根據(jù)平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）①根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，從而求得半徑r的值；②根據(jù)S陰影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．解答： 解：（1）直線BC與⊙O相切；連結(jié)OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直線BC過半徑OD的外端，∴直線BC與⊙O相切．（2）設(shè)OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∴所求圖形面積為．點評： 本題考查了切線的判定，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．26．（2015?酒泉）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF．（1）如圖①所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是（至少說出兩種）：∠BAE=90°或者∠EAC=∠ABC．（2）如圖②所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．考點： 切線的判定．分析： （1）求出∠BAE=90°，再根據(jù)切線的判定定理推出即可；（2）作直徑AM，連接CM，根據(jù)圓周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出∠MAC+∠CAE=90°，再根據(jù)切線的判定推出即可．解答： 解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，理由是：①∵∠BAE=90°，∴AE⊥AB，∵AB是直徑，∴EF是⊙O的切線；②∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵∠EAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，即AE⊥AB，∵AB是直徑，∴EF是⊙O的切線；（2）EF是⊙O的切線．證明：作直徑AM，連接CM，則∠ACM=90°，∠M=∠B，∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°，∵∠CAE=∠B，∴∠CAM+∠CAE=90°，∴AE⊥AM，∵AM為直徑，∴EF是⊙O的切線．點評： 本題考查了圓周角定理，切線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線．27．（2015?安順）如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．（1）求證：直線EF是⊙O的切線；（2）求cos∠E的值．考點： 切線的判定；勾股定理．分析： （1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；（2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．解答： （1）證明：如圖，方法1：連接OD、CD．∵BC是直徑，∴CD⊥AB．∵AC=BC．∴D是AB的中點．∵O為CB的