考點(diǎn)28 相似三角形應(yīng)用舉例4大必考題型-解析版

考點(diǎn)28相似三角形應(yīng)用舉例4大必考題型1利用影子測(cè)量物體的高度2借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度3利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度4利用相似測(cè)量河的寬度考點(diǎn)1利用影子測(cè)量物體的高度考點(diǎn)2借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度考點(diǎn)3利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度考點(diǎn)4利用相似測(cè)量河的寬度考點(diǎn)1利用影子測(cè)量物體的高度1．（2023春·陜西榆林·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）某學(xué)校九年級(jí)一班進(jìn)行課外實(shí)踐活動(dòng)，曉玲和張華利用所學(xué)過的知識(shí)測(cè)年樓房的高．如圖，是樓房附近的一棵小樹，張華測(cè)得地面上的點(diǎn)E、小樹頂端和樓頂在一條直線上，米，米；在陽光下，某一時(shí)刻，曉玲站在點(diǎn)處時(shí)，恰好發(fā)現(xiàn)她自己的影子頂端與樓房的影子頂端重合，米，曉玲的身高米，米．已知點(diǎn)、、、、在同一水平直線上，，，，請(qǐng)計(jì)算出樓房的高度．【答案】18米【分析】分別證明，，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又，∴，∴，∵米，米，∴①；∵，，∴，又，∴，∴，∵米，米，米，米，∴②，由①②解得(米)，(米)，答：樓房的高度為18米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，理解題意，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際測(cè)高問題是解答的關(guān)鍵．2．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖所示，現(xiàn)將一高為米的木桿放在燈桿前，測(cè)得其影長為米，再將木桿沿著方向移動(dòng)米至的位置（），此時(shí)測(cè)得其影長為米，求燈桿的高度．

【答案】燈桿的高度為米．【分析】根據(jù)，得到，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，又根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，列出等式，即可求出，的長．【詳解】如圖：由題意得：米，米，，∵，∴．∴，∴，∵，∴．∴，∴．∴，∴米，∴．∴米，∴燈桿的高度為米．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)．3．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人準(zhǔn)備用測(cè)量影子的方法測(cè)算其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面方法：如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當(dāng)調(diào)整自己的位置，當(dāng)樓的頂部，穎穎的頭頂及亮亮的眼睛恰在一條直線上時(shí)，兩人分別標(biāo)定自己的位置C，D．然后測(cè)出兩人之間的距離，穎穎與樓之間的距離（C，D，N在一條直線上），穎穎的身高，亮亮蹲地觀測(cè)時(shí)眼睛到地面的距離．求住宅樓的高度是多少米．

【答案】住宅樓的高度為．【分析】過作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出的長，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

由已知可得．．又，所以．所以，即，解得．所以．所以住宅樓的高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟悉并掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，小明和小敏準(zhǔn)備利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量路燈的高度，小敏把一根長1.5米的竹竿豎直立在水平地面上，小明測(cè)得竹竿的影子長為1米，然后小敏拿竹竿向遠(yuǎn)離路燈方向走了4米()，再把竹竿豎直立在地面上處，小明測(cè)得此時(shí)竹竿的影長為1.8米，已知成一線，求路燈離地面的高度．

【答案】9米【分析】設(shè)，先根據(jù)可知，同理可得，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出h的值．【詳解】解：設(shè)，依題意得，∵，∴，∴，∴，即，∴，解得①，同理，，∴，∴，即，即②，把①代入②得，解得：(米)．答：路燈離地面的高度是9米．

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明打算利用燈光下自己的影子長度來測(cè)量一盞路燈的高度，如圖，身高1.8米的小明從路燈燈泡A的正下方點(diǎn)B處，沿著平直的道路走8米到達(dá)點(diǎn)D處，測(cè)得影子DE長是2米，求路燈燈泡A離地面的高度AB的長．【答案】9米【分析】由，，得到，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．【詳解】，，，解得：；路燈燈泡A離地面的高度AB為9米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，根絕相似三角形的性質(zhì)列出方程是本題的解題關(guān)鍵．考點(diǎn)2借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度6．（2021秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用標(biāo)桿測(cè)量假山的高度，婷婷先將一根3米高的標(biāo)桿豎直放在D處，再從D點(diǎn)向后退了4.5米到F時(shí)，恰好看見標(biāo)桿頂端C、假山頂端A成一條直線．已知婷婷的眼睛到地面的距離為1.5米，米，點(diǎn)B、D、F在一條直線上，，，，請(qǐng)你利用以上的數(shù)據(jù)求出假山的高．【答案】假山的高為15米．【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，得出，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．由題意得，，，．則，，，∵，，∴，∴，即，∴，．∴假山的高為15米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形判定得出是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，小明想利用太陽的影子測(cè)量樹的高度，他首先在地面上直立一根3米的標(biāo)桿，在測(cè)量時(shí)，標(biāo)桿的影子為，此時(shí)樹的影子一部分落在地面處，另一部分落在墻上處，已知，米，點(diǎn)，，，，，，在同一平面內(nèi)，求樹的高度．（溫馨提示：①太陽光與地面以及與地面平行線的夾角相等；②為了方便解答，請(qǐng)用圖2．）【答案】11【分析】如圖：延長交延長線于H，再證，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得，然后再證可得，再用線段的和差求得，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：如圖：延長交延長線于H∴∴，即，則又∵∴∴∵∴,解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)，使得與河岸垂直，并在點(diǎn)豎起標(biāo)桿，再在的延長線上選擇點(diǎn)，豎起標(biāo)桿，使得點(diǎn)與點(diǎn)，共線．，，測(cè)得，，．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬．【答案】18米【分析】由題意先證明，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得的長．【詳解】解：∵，，∴．∴，．∴．∴．∵，，，∴．解得．∴河寬為18米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）周末，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具測(cè)量銀川北塔湖邊北塔的高度．測(cè)量方案如下：首先，在處豎立一根高的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂端與寶塔頂端在一條直線上，測(cè)得；然后，移開標(biāo)桿，在處放置測(cè)角儀，調(diào)整測(cè)角儀的高度，當(dāng)測(cè)角儀高為時(shí)，恰好測(cè)得點(diǎn)的仰角為，已知，，點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)在一條直線上，求北塔的高．【答案】北塔的高為【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知條件推出，得到，即可求得．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，，∵，∴．∴，，，∴，∴，即，∴∴北塔的高為．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┣帻埶率俏靼沧钪臋鸦ㄓ^賞地，品種達(dá)到了13種之多，每年3、4月陸續(xù)開放的櫻花讓這里成為了花的海洋，一天，小明和小剛?cè)デ帻埵赜瓮?，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棵櫻花樹的高度（櫻花樹四周被圍起來了，底部不易到達(dá)）．小明在處豎立了一根標(biāo)桿，小剛走到處時(shí)，站立在處看到標(biāo)桿頂端和樹的頂端在一條直線上．此時(shí)測(cè)得小剛的眼睛到地面的距離米；然后，小明在地面上放一個(gè)鏡子，恰好在處時(shí)，小剛剛好能從鏡子里看到樹的頂端．已知米，米，米，點(diǎn)小、、在一條直線上，，，．根據(jù)以上測(cè)量過程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出這棵櫻花樹的高度．【答案】8m【分析】延長AC、BD交于點(diǎn)，為的中位線，，證明三角形相似：，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得相關(guān)線段的長度即可．【詳解】如圖，延長、交于點(diǎn)，由題意可知，為三角形的中位線，，，，小明在地面上放一個(gè)鏡子，恰好在處時(shí)，小剛剛好能從鏡子里看到樹的頂端，，又，，，，設(shè)為，則，，則，，解得：，，這棵櫻花樹的高度為【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．考點(diǎn)3利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度11．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）每年的秋冬季節(jié)，青竹湖湘一外國語學(xué)校的銀杏大道是學(xué)校最為靚麗的一條風(fēng)景線，數(shù)學(xué)彭老師有一天為了測(cè)量一棵高不可攀的銀杏樹高度，他利用了反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把鏡子放在離銀杏樹m的點(diǎn)處，然后觀測(cè)者沿著直線后退到點(diǎn)，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)，再用皮尺量得m，觀測(cè)者目高m，則樹高約是多少米？【答案】樹高約是7m．【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△ABE∽△CDE，再根據(jù)其相似比解答．【詳解】根據(jù)題意，易得，，則，則，即，解得：AB=7m，答：樹高AB約是7m．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，運(yùn)用相似比即可解．12．（2022秋·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小玲用下面的方法來測(cè)量學(xué)校教學(xué)大樓的高度．在水平地面上放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)大樓的距離米．當(dāng)她與鏡子的距離米時(shí)，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端．已知她的眼睛距地面高度米，請(qǐng)你幫助小玲計(jì)算出教學(xué)大樓的高度是多少米．（注意：根據(jù)光的反射定律：反射角等于入射角）【答案】13.44米【分析】根據(jù)反射定律和垂直定義得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，∴，∴，∴，∴(米)∴教學(xué)大樓的高度是米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．13．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）真身寶塔，位于陜西省扶風(fēng)法門鎮(zhèn)法門寺內(nèi)，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和曉靜很想知道真身寶塔的高度．于是，有一天，他們帶著標(biāo)桿和皮尺來到法門寺進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小玲在處放置一平面鏡，她從點(diǎn)沿后退，當(dāng)退行1.8米到處時(shí)，恰好在鏡子中看到塔頂?shù)南?，此時(shí)測(cè)得小玲眼睛到地面的距離為1.5米；然后，曉靜在處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂點(diǎn)和塔頂在一條直線上，此時(shí)測(cè)得為2.4米，為11.7米．已知，，，點(diǎn)、、、、在一條直線上，請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算真身寶塔的高度．【答案】47【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出QC和PQ的關(guān)系，進(jìn)而得出PQ的長，即可得出答案．【詳解】解：解得∴真身寶塔的高度為47米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決．14．（2021春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）小剛和小亮想用測(cè)量工具和幾何知識(shí)測(cè)量公園古樹的高度，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)底部，如圖，圍欄米，小剛在延長線點(diǎn)放一平面鏡，鏡子不動(dòng)，當(dāng)小剛走到點(diǎn)時(shí)，恰好可以通過鏡子看到樹頂，這時(shí)小剛眼睛與地面的高度米，米，米；同時(shí)，小亮在的延長線上的處安裝了測(cè)傾器（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)），測(cè)得樹頂?shù)难鼋?，米，?qǐng)根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出古樹的高度．【答案】米【分析】設(shè)古樹AB的高度為x米，根據(jù)題意可用x表示出的長度，又可證明，即得到，即可列出方程，解出x即為古樹AB的高度．【詳解】設(shè)古樹AB的高度為x米，∵，米，∴米，∴米，∴米，由題意可知，在和中，∴，∴，即，解得：．故古樹AB的高度為15米．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2022·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）小強(qiáng)在地面處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端此時(shí)米，米．已知眼睛距離地面的高度米，請(qǐng)計(jì)算出教學(xué)樓的高度．（根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角）【答案】13.44m【分析】根據(jù)反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，則可判斷Rt△AEB∽R(shí)t△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)求出AB即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，即解得：答：教學(xué)樓的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用入射與反射構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等解決問題．考點(diǎn)4利用相似測(cè)量河的寬度16．（2020秋·陜西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一點(diǎn)，再在河的這一邊選定點(diǎn)和點(diǎn)，使得，然后選定點(diǎn)，使，確定與的交點(diǎn)，若測(cè)得米，米，米，請(qǐng)你求出小河的寬度是多少米？【答案】小河的寬度是210米.【分析】先證明△ABD∽△ECD，然后利用相似比計(jì)算出AB即可得到小河的寬度．【詳解】∵，，∴，∴，∴，即，∴.答：小河的寬度是210米.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．17．（2019秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為了測(cè)量河的寬度，可以先在河對(duì)岸找到一個(gè)具有明顯標(biāo)志的點(diǎn)A，再在所在的岸邊找到兩點(diǎn)B、C，使△ABC構(gòu)成直角三角形．如果測(cè)得BC＝35.7m，∠ABC＝70°，求河的寬度AC.【答案】河寬AC為98m.【分析】把△ABC按1∶1000在紙上畫出，得到Rt△A′B′C′，利用比例尺求出河寬AC.【詳解】解：把△ABC按1∶1000在紙上畫出，∠C′＝90°，∠B′＝70°，B′C′∶BC＝1∶1000，B′C′=3.57cm，得到Rt△A′B′C′則△ABC∽A′B′C′.用刻度尺量得A′C′＝9.8cm.則，∴AC＝98m.即河寬AC為98m.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，通過比例尺作圖的方式構(gòu)建相似三角形，然后列出比例式是解題的關(guān)鍵．18．（2020·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小華和小康想用標(biāo)桿來測(cè)量河對(duì)岸的樹AB的高，兩人在確保無安全隱患的情況下，小康在F處豎立了一根標(biāo)桿EF，小華走到C處時(shí)，站立在C處看到標(biāo)桿頂端E和樹的頂端B在一條直線上，此時(shí)測(cè)得小華的眼睛到地面的距離DC＝16米；然后，小華在C處蹲下，小康平移標(biāo)桿到H處時(shí)，小華恰好看到標(biāo)桿頂端G和樹的頂端B在一條直線上，此時(shí)測(cè)得小華的眼睛到地面的距離MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，F(xiàn)H＝1.6米，點(diǎn)C、F、H、A在一條直線上，點(diǎn)M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根據(jù)以上測(cè)量過程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出樹AB的高度．【答案】樹AB的高度為8.8米．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得方程，解方程組即可得到結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，交GH于點(diǎn)K，由題意可得：∠EDN＝∠BDP，∠BPD＝