2023年廣東省惠州市惠城區(qū)潼僑中學高三數學理聯考試卷含解析

2023年廣東省惠州市惠城區(qū)潼僑中學高三數學理聯考

試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.若曲線G：y=ax?(a>0)與曲線G：y=e*存在公共切線，則a的取值范圍為(

A.冷’+8)8JC.[4,+~)

參考答案:

C

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程.

專題：導數的綜合應用.

分析：求出兩個函數的導函數，由導函數相等列方程，再由方程有根轉化為兩函數圖象有

交點求得a的范圍.

解答：解：由y=ax2(a>0),得y'=2ax,

由y=e",得y'=e*,

,曲線G：y=ax2(a>0)與曲線G：y=e*存在公共切線，則

2x2

設公切線與曲線G切于點ax】)，與曲線以切于點(、2，e),

x22x22

xe，-ax】e-aX1

2Qxj-e-~2aX]~~

則*2-Xi,將e=2aX[代入x2一x],可得2*小+2,

e乙

Aa=2x],記'(X)2x,

/(x)=，2(x-2)

則4x,當x6(0,2)時，f'(x)<0.

2

f(x).

二當x=2時，min4.

2

—,+co

.■的范圍是［4).

故選：C.

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了方程有根的條件，是

中檔題.

b<a<0,且成=1,則13+'

2.已知占取得最小值時，a+b等于()

A.-V10B.C.一招D.~y/2

參考答案：

B

略

3.如圖的，■為互相垂直的兩個單位向量，則卜()

A.20B,而C.2括D,而

參考答案:

【知識點】向量的坐標運算F2

c

解析：分別以備，■的方向為x,y軸方向建立直角坐標系，則

￡“=卜21)小叫=而正=2凡

【思路點撥】遇到向量的運算時，若直接計算不方便，可建立直角坐標系轉化為坐標運算

進行解答.

8、執(zhí)行如題(8)圖所示的程序框圖，如果輸出S=3,那么判斷框內應填入的條件是

()

A、上工6B、k<lc^七二8D、

參考答案：

:B

5.已知平面向量占與否的夾角等于了,如果同=4?國外1那么四”卜()

A.后B.9

C.質D.10

參考答案：

C

(2a-A),=4x4,-4x4>^x(-—)3=91區(qū)_中==

試題分析：因J+，故產耳恒應選C.

考點：向量的數量積公式及運用.

6.已知aABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則而？(PB+PC)的最小值

是（）

3_4_

A.-2B.-2C.-3D.-1

參考答案：

B

【分析】根據條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結合向量數量積的公式進行計

算即可.

【解答】解：建立如圖所示的坐標系，以BC中點為坐標原點，

則A(0,V3),B(-1,0),C(1,0),

設P(x,y),則PA=(-x,Vs-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),

V33

則PA?(PB+PC)=2x2-2V3y+2y2=2[x2+(y-2)2-4]

逅11

.,.當x=0,y=2時，取得最小值2義(-4)=-2,

【點評】本題主要考查平面向量數量積的應用，根據條件建立坐標系，利用坐標法是解決

本題的關鍵.

1-i

7.復數幣+i等于

A.-iB.1C.-1D.0

參考答案:

D

8.若x€R,rtGNS規(guī)定：H=Mx+l)(x+2).“(x+〃-l),例如：H=(-3)-(-2)-(-l)=-

6,則函數4r)=x-H()

A.是奇函數不是偶函數B.是偶函數不是奇函數

C.既是奇函數又是偶函數D.既不是奇函數又不是偶函數

參考答案：

B

9.如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側視圖是平行四邊形，則該幾何體的體積

為()

正視圖

A.

參考答案：

B

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】空間位置關系與距離.

【分析】由已知中三視圖我們可以確定，該兒何體是以側視圖為底面的直四棱柱，根據已

知三視圖中標識的數據，求出棱柱的底面積和高，代入棱柱體積公式即可得到答案.

【解答】解：由已知中三視圖該幾何體為四棱柱，

其底面底邊長為2+422-我2=3,底邊上的高為：如,

故底面積S=3X

又因為棱柱的高為3,

故V=3X3?=96，

故選B.

【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積，其中根據三視圖判斷出幾何體的形狀及相

應底面面積和高是解答本題的關鍵.

10.設全集”=火，*山或XN2"Q|-1<X<5),則集合11<*?藥

可以表示為

A.EOFB.(C*)n尸c.(%?U(C/)

D.(CvE{JF)

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.設常數a使方程負nx-s/5cosx=。在閉區(qū)間［°，2M上恰有三個解x1.勺.0,

則位+/+/=____________________

參考答案：

Wr

T

12.5位同學圍成一圈依次循環(huán)報數，規(guī)定：第一位同學報的數是1,第二位同學報的數也

是1,之后每位同學所報的數都是前兩位同學報的數之和；若報的數為3的倍數，則報該

數的同學需拍手一次.已知甲同學第一個報數，

(1)當5位同學依次循環(huán)共報20個數時，甲同學拍手的次數為.

(2)當甲同學開始第10次拍手時，這5位同學己經循環(huán)報數到第個數.

參考答案：

(1)1(2)195

略

--1-+,--1-,+-1--,+…+,---1--=

13.1x22x33x4非("D

參考答案：

n

ax1

14.已知函數f(x)=TT,若f(x)+f(7)=3,貝！Jf(x)+f(2-x)=.

參考答案：

6

【考點】3T：函數的值.

ax13x

【分析】由函數f(x)=x-l,f(x)+f(x)=3,求出a=3,從而f(x)=xT,由此能

求出f(x)+f(2-x)的值.

ax1

【解答】解：,??函數f(x)=TT,f(x)+f(7)=3,

ax+x

f(x)+fd)L-i每一二

/.x=x=x-lx-l=3,解得a=3,

3x

/.f(x)=x-l,

3x+6-3x6(x-l)

/.f(x)+f(2-x)=x-12-x-l=x-1)=6.

故答案為：6.

15.用數字°，1，2,3,4,5,6組成沒有重復數字的四位數，其中個位、十位和百位上的

數字之和為偶數的四位數共有個(用數字作答)

參考答案：

324

16.已知數列｛a“｝的是等差數列，a^-2,a?Wl,a,20,則a,23的概率是.

參考答案：

~3

【考點】CF：幾何概型.

【分析】設出等差數列的公差，把az,必分別用首項和公差表示，然后利用線性規(guī)劃知識

由a,的取值范圍求得兒何概型概率.

【解答】解：設等差數列⑸｝的公差為d,則a產a,+3d,

a1)-2

.a]+d<l

由已知得到|ai+2d)°

設a產x,d=y,則&尸x+3y,

<x+yC1

則不等式組等價為|x+2y>0,對應的可行域如圖AACD,

由a.｝=x+3y>3得到區(qū)域為△BCE,

1X(3-4)X21

Q_J.

△BCE]-3

由幾何概型的公式得到使得a,23的概率是：SAACD=萬*(3-1)X4

_1

故答案為：不

【點評】本題考查了等差數列的通項公式，考查了利用線性規(guī)劃求函數的最值，綜合性較

強，利用數形結合是解決本題的關鍵.

17.已知底面邊長為4段,側棱長為24的正四棱錐S-內接于球q.若球G在球

Q內且與平面d8CD相切，則球6的直徑的最大值為.

參考答案：

8

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(12分)有一塊邊長為6m的正方形鋼板，將其四個角各截去一個邊長為x的小

正方形，然后焊接成一個無蓋的蓄水池。

(I)寫出以x為自變量的容積V的函數解析式V(x),并求函數V(x)的定義域；

(II)指出函數V(x)的單調區(qū)間;

(Ill)蓄水池的底邊為多少時.，蓄水池的容積最大？最大容積是多少？

參考答案：

解析：(I)設蓄水池的底面邊長為a,則a=6-2x,

則蓄水池的容積為：/(x)=M6-2x)L

x>0

由16-2x>°得函數v(x)的定義域為xe(0,3).......4

分

(II)由"0=K6-2x)2=24?+36x得，(力=12?-4取+36.

令,。)=12--48"36>0,解得x〈i或x>3；

令1x)=12--48x+36v0,解得l<x<3.

故函數V(x)的單調增區(qū)間是(0,1),單調減區(qū)間為(1,3).......8分

(IID令修")=12--48x+36=0,得x=l或x=3(舍).

并求得V(l)=16.由V(x)的單調性知，16為V(x)的最大

值.

故蓄水池的底邊為4m時，蓄水池的容積最大，其最大容積是16附3......12分

1=3：(t為參數)

19.在直角坐標系xOy中，直線1的參數方程為1yz、巧t,以原點為極點，x軸

正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為P=2?sin8.

(1)寫出直線1的普通方程及圓C的直角坐標方程；

(2)點P是直線1上的，求點P的坐標，使P到圓心C的距離最小.

參考答案：

【考點】QII：參數方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標方程.

【分析】(1)由已知得t=x-3,從而y=J5(x-3),由此能求出直線1的普通方程；由

P=2V3sin9,得P2=2y/3Psin9,由此能求出圓c的直角坐標方程.

(2)圓C圓心坐標C(0,M),設P(3+t,,由此利用兩點間距離公式能求出

點P的坐標，使P到圓心C的距離最小.

(x=3+t

(1)???在直角坐標系xOy中，直線1的參數方程為［廠Ct(t為參數)

【解答】解:

.'.t=x-3,...y=V^(x-3),

整理得直線1的普通方程為?x~y-3心o,

?.?P=2?sin0,p2=2^psin8,

x2+y2=2V3y,

???圓c的直角坐標方程為：x2+(y-V3)2=3.

(2)圓C：x+(y-V3)=3的圓心坐標c(o,V3).

?.?點P在直線1：Fx~y-343=o上，設p(3+t,、行t),

則|PC|=J(3+t)2+(我13)2=V4t2+12,

.,.t=0時，|PC最小，此時P(3,0).

20.拋擲甲，乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1,2,3,4的正四面體，其底面落于桌

XX

面，記所得數字分別為X,y.設才為隨機變量，若,為整數，則《二°；若》為小于1的

分數，

X

則才=-1;若亍為大于1的分數，則"I.

(1)求概率只4=0)；

(2)求4的分布列，并求其數學期望歐G.

參考答案：

X

(1)依題意，數對(x,y)共有16種，其中使亍為整數的有以下8種：

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,

2),

所以

101?

（2）隨機變量4的所有取值為-I,0,1,

4=7有以下6種：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,

4),

3

-

故年7啥8

4=1有以下2種：（3,2）,（4,3）,

故…X

所以々的分布列為：

-1?0。1。

—14-

8

答：C的數學期望為

21.（本小題滿分14分）

已知數列｛/）的前n項和為工，且4是1與2的等差中項，而數列的首項

為1.

%f-2=0

（1）求為和%的值；

（2）求數列（/）,3J的通項4和&;

（3）設G=/4，求數列kJ的前n項和看。

參考答案:

解：(】)?.6是S,與2的等差中端..?.％=2a.-2.....................1分

:、q=S[=24-2,解得q=2,%+%=S[=2a2—2,解得％=4...1分

(2)S,=2a,-2.=2G?.|-2,又S?-S.”=a..(〃之2,〃€N*)

:a.=2a,-2al.

.?.△-=2.(“22.N,).即數列｛a“｝是等比數列，............5分

an-\

vflt=2./.a?=2"..........................................6分

由已知得”“-4=2.即數列｛4｝是等差數列.乂4=1.

b,=2n-1...............................................8分

(3)???(:.=(2〃-1)2”

2

T"—atbt+a2b?+,,,+0,6,=1x2+3x2+5x2,+…+(2n—1)2",

/.27；=lx2'+3x2J+…+(2〃-3)2"+(2〃-l)2"”