2023年《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)冊及參考答案（有些習(xí)題僅給答案沒附解答過程）

《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)冊及參考答案（有些習(xí)題僅給答案沒附解答過程）

作業(yè)（一）

（一）填空題

11-x-sinx左安八

1.lim-------=_____________________.答案：0

x->0x

，工2?1VQ

2.設(shè)/（%）=',在x=O處連續(xù)，則％=_________.答案：1

.k,x=0

13

3.曲線y=4+1在（1,2）的切線方程是.答案:y=+]

4.設(shè)函數(shù)/（x+1）=-+2x+5,則f\x）=.答案:2x

5.設(shè)/（x）=xsinx,則/弓）=.答案:一]

（二）單項選擇題

1.當(dāng)x-+8時，下列變量為無窮小量的是（）答案:D

B.工

A.ln(l+x)

X+1

Dsinx

C.。產(chǎn)

x

2.下列極限計算對的的是（）答案:B

1x1

A.limU=lB.=l

1°X10+x

-rsinx,

C.limxsin—=1D.lim------=1

xKfx>x

3.設(shè)y=]g2x,則dy=().答案:B

A.±dxB.」_&C.叫c1,

D.—dx

lxxln10尤x

4.若函數(shù)/（x）在點xo處可導(dǎo)，則（）是錯誤的.答案：B

A.函數(shù)/(x)在點xo處有定義B.lim/(無)=A,但AR/GO)

C.函數(shù)r(x)在點X0處連續(xù)D.函數(shù)/(x)在點*o處可微

5.若f(L)=x，則r(x)=(

).答案：B

X

11c11

A.——B.———C.-D.———

xxxx

（三）解答題

1.計算極限

rx~-3x+2(x—2)(A^—1)

(1)lim——----------=Jim--------------------

2

ix-1—(%_l)(x+l)il(x+1)2

..x~—5x+6[.(x-2)(x-3)x—3_j_

⑵hm-..................=lim-------------------=lim=

xf2(x—4)2

x—2x-6x+8I(x_2)(x-4)

(V1—x—1)(J1—x+1)

(3)lim--------------=lim

A^OX.v->0x(V1—X+1)

2

=lim-----T==------=lim

-0A(VPX+1)i。(V1—X+1)2

2.3+』

2x?—3x+5

=H1n-4二

(4)lim------------------

1831+2x+4f3+?+23

X尸

sin3x..5xsin3x33

(5)lim-------=lim-----------------=—

i°sin5xx-03xsin5x55

rf—4(X-2)(X+2)

(6)hm--------------=lim---------------------=4

12sin(x-2)12sin(x-2)

xsin—+Z?,x<0

x

2.設(shè)函數(shù)/(x)=《a,%=0,

問：（1）當(dāng)。，。為什么值時，/a）在x=0處有極限存在？

⑵當(dāng)。,匕為什么值時,/（處在％=0處連續(xù).

lim/(%)=lim(xsin—+6)=b

.邑x->nx->nx

答案：(1)uu

/,、rsinxi

vlim/(x)=lim-------=1

'->0“I。x

當(dāng)人=1,。任意時，/（元）在X=0處有極限存在;

(2)f(0)=a=lim/(O)=b=1

x->0

當(dāng)a=b=1時,/(x)在x=0處連續(xù)。

3.計算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分:

V

(l)y=+2+log2%―22,求>'

1

答案：/=2x+2vln2+

xln2

ax+h,

(2)y=------，求y

cx+d

答案y/(cx+d)—c(ax+b)ad-cb

(cx+d)2(cx+d)?

(3)y=11=,求V

-J3x—5

答案：y=/1=(3x-5)y=[3

-j3x—52j(3x-5)3

(4)y=Vx-xeY,求yf

答案：yf=——(x+l)eA

(5)y=eavsinbx,求dy

答案:y=?優(yōu))'sin"+/(sinbx)'

=ae^sinbx+emcosh尤?b

=eav(asinbx+bcosbx)dy=eav(42sinZ?x+6cosbx)dx

⑹y=e*+xVx,求dy

答案：dy=(|Vx--^-e')d^

(7)y=CGSG-,求dy

答案：dy=(2xe-——

2vx

(8)y=sinnx+sinnx,求y'

答案：y'=〃sin"T尤cos%+cosra:〃="(sinxcosx+cosnx)

(9)y=ln(x+Jl+Y),求y，

答

案:y'----:.(%+Jl+x，)'=----/(1+—(1+x2)22x)=-----:(1+[*)

X+A/1+尤九+41+%~2X+Vl4-x~dl+x~

1

1+x2

八八、產(chǎn)，1+V?-V2x,

(10)y=2x+------3=-----，求y

y/x

.i

2s，n-in21N1.9

答案：yr=~---；——cosx-1——X2+—x*56

x26

4.下列各方程中y是x的隱函數(shù)，試求V或dy

(1)—+y2一孫+3%=],求dy

答案:解：方程兩邊關(guān)于X求導(dǎo)：2x+2抄'-y-xyf+3=Q

v—3—2Y

(2y-x)yf=y-2x-3,dy=--------dx

2y-x

(2)sin(x+y)+exy=4x,求y'

答案：解:方程兩邊關(guān)于X求導(dǎo)cos(x+y)(l+/)+exy(y+xyf)=4

(cos(x+y)+eJcyx)yf=4-yexy-cos(x+y)

,_4一yexy-cos(x+y)

xexy+cos(x+y)

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：

(1)y=ln(l+x2),求y"

2-2x2

答案:y"=

(1+尤2產(chǎn)

,求y"及y"⑴

3--1--

答案:m

作業(yè)（二）

（一）填空題

1.若J/(x)dr=2X+2x+c，則f(x)=.答案:2'ln2+2

2.J(sinx)'dx=.答案:sinx+c

x

3.若J/(x)dx=F(x)+c,則Je"(e')的=.答案:一F(e')+c

4.設(shè)函數(shù)且「ln(l+/)dx=__________.答案:0

dxJ1

5.若P(x)=J：/^dr,則P'(x)=.答案:一市,

(二)單項選擇題

1.下列函數(shù)中,()是期畝爐的原函數(shù).

A.—cosx2B.2cosx~C.-2cosx2D.--cosx2

22

答案:D

2.下列等式成立的是().

A.sinxdx=d(cosv)B.Inxdx=d(-)

X

D.-^dx=dVx

C.2vdx=—d(2v)

ln2

答案:C

3.下列不定積分中，常用分部積分法計算的是().

2X

A.Jcos(2r+l)dx,B.jxyJl-xdxC.Jxsin2xdxD.j2dx

答案：C

4,下列定積分計算對的的是（).

「16

A.3Adx=2B-Ldv=15

rn

C.(x2+x3)dr=0D.sinMr=0

-nJ-K

答案:D

5.下列無窮積分中收斂的是（).

+81?+001『+oo>+00

A.—dxB一e'dxD.Isinxdx

1x-11x2Jo

答案:B

（三）解答題

1.計算下列不定積分

a”

(1)s

3,

A

答案:J--dr=|(—)"dxe

—3+C

In'

e

⑵]與4

JJx

113

依田r(i+x)2x(l+2x+x2)

答案：|—-j=—dx=<Lr=J(x2+2x2+x2)dx

L4』23

=2vx+—x2+—x2+c

35

4匕

(3)

x+2

答案:~=j(x-2)dr=^x2-2x+c

(4)[―--dx

J1一2x

答案：［」一1d(l-2x)=-^ln|l-2x|+c

dx=--------------

J\-lx2Jl-2x

(5)Jx+x?dx

答案：jXA/2+X2C1X=-jV2+x2d(24-x)=—(2+x2)2+c

(6)dr

答案：=2fsinVxdVx=-2cosVx+c

JVxJ

r.x,

(7)Jxsin—dx

答案：Jxsin'|dx=-2jxdcYsTdx

x,汽x..x

-2xcos-+2,cos—dx=-2xcos—+4sin—+c

22

(8)jln(x+l)dr

答案：jln(x+l)dx=jln(x+l)d(x+l)

=(x+1)ln(x+1)-卜x+l)dln(x+I)=(x+l)ln(x+l)-x4-c

2.計算下列定積分

(1)jJl-x|dx

2

答案:口1-根=J：(l-x)dx+「(x-l)dx=(x-+(lx-x)|^=|

乙乙乙

⑵

答案::=e-Ve

11dx

(3)

1xjl+lnx

eJ1?3]13

答案：f,fe,d(l+Inx)=2(l+lnx)2[=2

Jlxjl+lnxJlVl+lnx

n

(4)f3xcos2jtdx

Jo

r三1r-11

答案：2xcos2Adx=—|2xdsin2x=—xsin2x1——2sin2xdx=——

Jo2Jo2u2」°2

(5)(xln艱x

答案：J；xlnAdx=gj：lnxdx2=^x2Inx|；x=-^(e2+1)

(6)￡(1+xe~')dx

4-x4

答案：J(l+%e')dx=x|j*-=3-xe'\^+J(^e''dx=5+5e^

作業(yè)三

（—）填空題

104-5

1.設(shè)矩陣4=3-232,則A的元素/3=?答案：3

2I6-1

2.設(shè)均為3階矩陣，且網(wǎng)=|同=一3,則|一24四=.答案：一72

3.設(shè)A,B均為〃階矩陣,則等式（A—8）2=1—2AB+62成立的充足必要條件是答.

案:A3=A4

4.設(shè)AB均為〃階矩陣，（/—8）可逆，則矩陣A+3X=X的解X=.

答案:（/一3廠7

10o)

1001

oo)

-1-

5.設(shè)矩陣A=020，則A=.答案:A=21

00-3oo

3-

（二）單項選擇題

1.以下結(jié)論或等式對的的是（）.

A.若A,8均為零矩陣，則有A=B

B.若A5=AC,且A/O,則B=C

C.對角矩陣是對稱矩陣

D.若Aw0,3。。，則ABHO答案C

2.設(shè)A為3x4矩陣，8為5x2矩陣，且乘積矩陣ACB，故意義，則為（）矩陣.

A.2x4?B.4x2

C.3x5。D.5x3答案A

3.設(shè)A,B均為〃階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）.

A.(A+B)T=*+尸,B.(A-8)T=AT①

C.目=|必D.AB=BA答案C

4.下列矩陣可逆的是（).

--10-1-

B.101

123

1一1「

D.答案A

0022_

1-11

5.矩陣A=20-1的秩是（).

1-34

A.OB.lC.2D.3答案C

三、解答題

1.計算

02100

⑵

0-3:000

(3)

2.計算

7245

解0610

-73-27

5152

1110

-3-2-14

23

3.設(shè)矩陣A11，求|的。

0-1

解由于H耳=H憫

23-1232

22

111112(-l)2+3(-l)=2

i2

0-110-10

123123

同=120-10

011011

所以|Aq=網(wǎng)同=2x0=0

124

4.設(shè)矩陣4=2A1，擬定定的值,使?定）最小。

110

答案:

124-124-p24-

(2)+(l)x(-2)

A2210A-4-7(2)(3)0-1-4

(3)+(l)x(-l)[02-4-7

1100-1-4

124

7

⑶+⑵xy)0—1—4

八2

00

4

9

當(dāng)；I=一時,r(A)=2達成最小值。

4

2-5321

5-8543

5.求矩陣A=的秩。

1-7420

4-1123

答

12-5321-11-74201-7420

(2)+(l)x(-5)

5-85435—8543027-15-63

案：A(1)(3)(3)+(l)x(-2)

1-74202-532109-5-21

(4)+(1)x(^)

4-1123[4-1123_[o27-15-63J

1-7420

(3)+(2)x(-1)027-15—63

r(A)=2。

00000

(4)+(2)x(-l)00000

6.求下列矩陣的逆矩陣:

1-32

(1)A-301

11-1

答案

1-32100-1-32100-

⑵+⑴x3

(4)=-3010100-97310

⑶+(1)x(—1)

11-100104-3-101

1-321001-32100

(2)+(3)x2(3)+(2)x4

0—111120-11112

04-3—101001349

1-30-5-8-18一1-30113一

(2)+(3)x(-l)(2)x(-l)

0-10-2-3-7010237

(l)+(3)x(-2)⑴+Q)x⑶

00349001349

113

A"237

349

1

(2)A=1-1

1-2

A+I1-1

1-2

01105010

(A+/|/)10013100

1-21-20001

-105010

105010

013100013100

0-2-50-110012-11

105010100-106-5

010-53-3010-53-3

0012-110012-11

-106-5

A-'-53-3

2-11

212

7.設(shè)矩陣人=,B，求解矩陣方程

3523

案

1210121010-5210-52

AI)=(2)+(l)x(-3)(1)+(2)X2⑵x(-1)

35010-1-310-1-31013-1

-521X=BA-'X=

3-1J|_T1.

四、證明題

1.試證:若耳，斗都與A可互換，則用+當(dāng)，一%也與A可互換。

證明:(4+B2)A=A+B2A—AB}+AB2-A(jB)+B2),

B1B2A=B[AB-,—AB]B、

2.試證：對于任意方陣A,4+AT,A4T,ATA是對稱矩陣。

提醒：證明

(A+Ary=AT+(A'r)T=Ar+A=A+Ar,

(AAT)T=(AT)rAT=A4T,(ATA)T=AT(Ar)r=AZ

3.設(shè)均為〃階對稱矩陣，則48對稱的充足必要條件是：AB=BA.

提醒：充足性:證明：由于4?=區(qū)4.?.(48尸=4人7=84=48

必要性:證明:由于AB對稱,AB=(AB)T=54,所以AB=B4

4.設(shè)A為〃階對稱矩陣,B為n階可逆矩陣，且B-'=8。證明8TAB是對稱矩陣。

證明：(5-%5尸=8"(BTy=B-lAB

作業(yè)(四)

(-)填空題

1.函數(shù)/(x)=J4-X+—!—的定義域為_____________________.答案：(1,2)U(2,4]

In(x-l)

2.函數(shù)y=3(x-l)2的駐點是,極值點是，它是極____值點.答案：x=l,x=l/J、

P

3.設(shè)某商品的需求函數(shù)為q(p)=K)e一萬，則需求彈性約,=.答案:一22

4.若線性方程,Xi—X2=0

x1+Xx2=0有非0解，則入=答案:入=-1

1116

5.設(shè)線性方程組AX="且0-132,則r時，方程組有唯一解.答案:。一1

00r+10

（二）單項選擇題

1.下列函數(shù)在指定區(qū)間（-8,+00）上單調(diào)增長的是（）.

A.sinxB.e*C.x2D.3-x

答案：B

2.設(shè)/*)=工,則相(x))=()

X

11c

A.-B.——C.xD.x2

XX

答案:C

3.下列積分計算對的的是（).

c?,e_A-e__Acie'+e-t

A.I------------dx=0B.[---------d%=0

JT2L2

23

C.jxsin.xdx=0D.j'i(x+x)ck=0

答案:A

4.設(shè)線性方程組A,"x“X=b有無窮多解的充足必要條件是().

A.r(A)=r(A)<mB.r(/4)<nC.m<nD.r(A)=r(A)<n

答案:D

x}+x2=a]

5.設(shè)線性方程組(x2+x3=a2,則方程組有解的充足必要條件是().

X[+2X2+尤3=。3

A.Q[+〃2+Q3=°B.。]-。2+。3=0

C.%+〃2一。3=。D.-a{+a2+a3=0

答案:C

三、解答題

1.求解下列可分離變量的微分方程:

(1)y'=”

答案:*=62VJe-ydy=\exdx—e-，=e、+c

,cdyxex

(2)^-=--

dx3y

答案：^3y2dy=^xe'dxy3=xex-ex+c

2.求解下列一階線性微分方程：

、，23

(1)y——y=x3

x

答案：p(x)=—2,式幻=/,代入公式得y=J"'Jx3e^'d'dx+c=e2lnv|jxV2,nv<Zx+c]=

=e2Inv[jx3x-2<ix+c]y=x2(^-x2+c)

(2)yr--=2xsin2x

x

I\—dx「-\—dx

答案:p(x)=——，式x)=2xsin2x,代入公式得y=/"2xsin2xeJxdx+c

,x[J

=elnr|j2xsinIxe"'''dx+c\

_Jf2xsin2x1^+cl-Jfsin2"2x+c]

—X\INXSUINX—CLX-rC—AllSillZAUZA>CJ

y-x(-cos2x+c)

3.求解下列微分方程的初值問題：

(1)=e2v->，,y(0)=0

答案：—=e~xe~yJ6Vdy=J=，e2"+c,把y(0)=0代入e°=』e°+c,C=L

222

(2)盯'+y-e'=0,y⑴=0

xx

1e1e

答案：y'+—y=—，P(X)=一,Q(x)=一，代入公式胃

XxXx

X

y=eJx―eJxdx+c^-e'nxdx+c—\-xdx+c,把刈=0代入

JxXxJx

y=—(ev+c),C=—ey=-1(/eX-e)、

xx

4.求解下列線性方程組的一般解:

xt+2X3-x4=0

(1)〈-x,+x2-3X3+2X4=0

2網(wǎng)-x2+5X3-3X4=0

Xi=-2x.+x

答案：《13%A其中再，起是自由未知量)

I“=X3-X4

102-1102-1102-1

A=-11-32->01-11—>01-11

2-15-30-11-10000

所以，方程的一般解為

2X3+X4(其中x”x2是自由未知量)

I%2=七一"4

2x,一元2+九3+%4=1

(2)<X]+2X2-X3+4X4=2

xl+7X2-4X3+1lx4=5

交：

口

案

2-111112-14212-142

(2)+(l)x(-2)

(Ab)=12-142⑴，⑵2-11110—53-7-3

(3)+(l)x(-l)

17-411517-41155-373

64

--

10

-Fl2-14255

12-142573

3--

0-53-7-301----01

1-555

⑶+(2)(2)x(--)555⑴+(2)x(—2)00

00000_______5,00000000

__l64

““其中無i，乙是自由未知量）

X2=『3一鏟4+-

5.當(dāng)幾為什么值時，線性方程組

x,-x2—5X3+4X4=2

2x,-x2+3X3—x4=1

3占-2X2-2X3+3X4=3

7Xj-