第四章 時(shí)變電磁場(chǎng)

第四章

時(shí)變電磁場(chǎng)§1.1波動(dòng)方程§1.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)§1.3電磁能量守恒定理§1.4唯一性定理§1.5時(shí)諧電磁場(chǎng)§1.6亥姆霍茲定理4.1波動(dòng)方程

在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線(xiàn)形、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有

無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程

波動(dòng)方程——二階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性

麥克斯韋方程——一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng)間的相互作用關(guān)系

麥克斯韋方程組波動(dòng)方程問(wèn)題的提出電磁波動(dòng)方程同理可得

推證問(wèn)題

若為有源空間，結(jié)果如何？

若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)

討論內(nèi)容位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的定義位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的微分方程引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。引入位函數(shù)的意義位函數(shù)的定義位函數(shù)的不確定性滿(mǎn)足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱(chēng)為規(guī)范變換

原因：未規(guī)定的散度為任意可微函數(shù)除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即

在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即位函數(shù)的規(guī)范條件造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定的散度使位函數(shù)滿(mǎn)足的方程得以簡(jiǎn)化。

位函數(shù)的微分方程同樣說(shuō)明若應(yīng)用庫(kù)侖條件，位函數(shù)滿(mǎn)足什么樣的方程?具有什么特點(diǎn)?

問(wèn)題

應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：①位函數(shù)滿(mǎn)足的方程在形式上是對(duì)稱(chēng)的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度；③矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于ρ，這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A，無(wú)需解出就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。

電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位的解也不相同，但最終得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。4.3電磁能量守恒定律

討論內(nèi)容坡印廷定理

電磁能量及守恒關(guān)系坡印廷矢量進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)

電磁能量守恒關(guān)系：

電磁能量及守恒關(guān)系其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量——單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功；

在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率——通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：

坡印廷定理微分形式：其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量——單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功；

在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率——通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率

表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：坡印廷定理微分形式：

在線(xiàn)性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到由

推證即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向

——電磁能量傳輸?shù)姆较?/p>

的大小

——通過(guò)垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）

例4.3.1

同軸線(xiàn)的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線(xiàn)中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線(xiàn)

解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源向負(fù)載，如圖所示。穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線(xiàn)中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為內(nèi)磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線(xiàn)中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）式中是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)

復(fù)矢量的麥克斯韋方程時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)亥姆霍茲方程平均能流密度矢量時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱(chēng)為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。

研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。

任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅立葉分析方法展開(kāi)為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。4.5.1時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題得分析得以簡(jiǎn)化。

設(shè)是一個(gè)以角頻率

隨時(shí)間t作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成

其中時(shí)間因子空間相位因子利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫(xiě)出來(lái)，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部份就可表示復(fù)矢量照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i表示x、y或z）可表示成

各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量例4.5.1

將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以（2）因?yàn)?/p>

故所以

例4.5.2

已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量以電場(chǎng)旋度方程為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對(duì)任意t

均成立。令t＝0，得4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程令ωt＝π/2，得即從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程～略去“.”和下標(biāo)m例題：已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為式中

解：（1）因?yàn)楣孰妶?chǎng)的復(fù)矢量為試求：（1）電場(chǎng)的復(fù)矢量;（2）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值

實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗：

導(dǎo)電媒質(zhì)——當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗

電介質(zhì)——受到極化時(shí)，存在電極化損耗

磁介質(zhì)——受到磁化時(shí)，存在磁化損耗損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)

對(duì)于介電常數(shù)為

、電導(dǎo)率為

的導(dǎo)電媒質(zhì)，有其中

c=

-jσ/ω、稱(chēng)為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。

電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)

對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱(chēng)為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。

同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)

對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為

磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率

對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。損耗角正切

工程上通常用損耗角正切來(lái)表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有

導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性

導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。電介質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)——弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體——一般導(dǎo)電媒質(zhì)——良導(dǎo)體4.5.4亥姆霍茲方程

導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)

在時(shí)諧時(shí)情況下，將、，即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱(chēng)為亥姆霍茲方程。瞬時(shí)矢量復(fù)矢量4.5.5時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)

在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿(mǎn)足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)矢量復(fù)矢量4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量

時(shí)諧場(chǎng)中二次式的表示方法

二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。

設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為

電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱(chēng)為二次式。則能流密度為如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實(shí)部，再代入使用二次式時(shí)需要注意的問(wèn)題二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒(méi)有復(fù)數(shù)形式場(chǎng)量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可場(chǎng)量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即“先取實(shí)后相乘”如復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量中沒(méi)有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因子二次式的時(shí)間平均值在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要關(guān)心二次式在一個(gè)時(shí)間周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場(chǎng)能量密度平均磁場(chǎng)能量密度在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì)算，有則平均能流密度矢量為如果電場(chǎng)和磁場(chǎng)都用復(fù)數(shù)形式給出，即有

時(shí)間平均值與時(shí)間無(wú)關(guān)例如某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都用實(shí)數(shù)形式給出具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其它時(shí)變電磁場(chǎng)；而只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。

在中，和都是實(shí)數(shù)形式且是時(shí)間的函數(shù)，所以也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個(gè)瞬時(shí)的取值；而中的和都是復(fù)矢量，與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以也與時(shí)間無(wú)關(guān)，反映的是能流密度在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均