半線性橢圓問題petrov galerkin逼近雙調(diào)方程混合元一種新格式

Ph.M.Dissertation，ZhengzPh.M.Dissertation，ZhengzhouUniversit，No.20061201407010200PetrovGalerkiaPProximationmodeltose linearelliPtieboundaryvaluProblesananewsehemeforthemixedfiniteelementethofothbiharmonicequnCandida:51Hongyin:ChenShaoehuSPeeia:ComPutationalathmaDeParentofMathematies，ZhengzhouUniverZhengzhou，450052，P.R.ChinMay，200要本文主要研究了二階半線性橢圓問題的PetovGal要本文主要研究了二階半線性橢圓問題的PetovGalerkin逼近和雙調(diào)和方程混合元的一種新格式.對二階半線性橢圓問題分別用雙二次多項式空間作為形函數(shù)空間，用雙線性多項式空間作為試探函數(shù)空間，證明了此逼近模式與標準的雙二次有限元逼近模式具有相同的收斂階.并且根據(jù)插值算子的逼近性質(zhì)進一步證明了有限元解to對雙調(diào)和方程的混合有限元方法采用一種新的格式，對流函數(shù)用雙二次多項式逼近，對渦函數(shù)用雙一次多項式逼近，假設(shè)矩形剖分擬一致，在原始光滑性cialtRaviar格式中分別用雙二次多項式逼近具有相同的收斂階.toCiletRaviart混合元格式.AbstraInthisPaPerAbstraInthisPaPerweintroduceaPetrovGalerkinaPProximationmodeltosemilinearelliPboJndaryvalueProblemsandanewsehemeforthemixedfiniteelementmethodforthebiharnan(1bilinearPolynomialsPaeeareusedastheshaPefunctionsPaeeandthetestfunetionsPaeeresPeetive]y.WeProvethattheaPProximationorderofthestandardquadratiefiniteelementeanbtionconvergetotheProPosedPetrovGalerkinaPProximatesolutionTothemixedfiniteelemenmethodforthebiharpnonieequationtheflowfunetion15aPProximatedbybiquadratiePolynomiaan1thevortexfunetionbybilinearPolynomialAssumingthatthereetangularelementPitio15uasiuniformthenProPosedsehemeeanaeheivethesameaPProximationorderastheCiarleRaviartmixedfiniteelementwiththeflowfuntionandthevortexfunetionsbyPieeewisequadraPo]ynomialsorderelliPticProblems:FourthorlinearelliPProblesdefeetiterationCiarletRaviarment女目錄引 第一章預(yù)目錄引 第一章預(yù)備知 第二章矩形元上插值算子的逼近性 第三章二階半線性橢圓問題的PetrovGaierkin逼 第四章雙調(diào)和方程混合元一種新格式 附錄:碩士期間的主要研究成 致 l 有限元方法是在古典助zGalerkin變分方法的基礎(chǔ)上，以分片插值多項式為工.具，結(jié)合計算機的發(fā)展與推廣而迅速發(fā)展起來的一種求解微分方程的數(shù)值方cournl 有限元方法是在古典助zGalerkin變分方法的基礎(chǔ)上，以分片插值多項式為工.具，結(jié)合計算機的發(fā)展與推廣而迅速發(fā)展起來的一種求解微分方程的數(shù)值方cournt1943年提出在三角形網(wǎng)格上用逐片線性函數(shù)去lt這是有限元方法最原始的思想.到了二十世紀五十年代，有限元方法為航空結(jié)構(gòu)工程師們所發(fā)展，隨后逐步波及到土木結(jié)構(gòu)工程.到六十年代，有限元方法在許多領(lǐng)域開始廣泛應(yīng)用，包括船舶，巨型建筑的設(shè)計，流體力學(xué)以及電磁學(xué)等.國內(nèi)最早研究有限元方法的是馮康院士(19201993)，他獨立與西方科學(xué)家奠定了有限元方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)([l]3).從而把有限元方法從工程局限中解放au*初一刀rez的一般數(shù)學(xué)理論.二十世紀八十年代初，F(xiàn)alkosbom提出了一種弱化的混合有限元分析方法([9])，擴大了混合有限元方法的適用范圍.混合有限元方法可以同時逼近多個未知函數(shù)，對處理高階方程和含有兩個或兩個以上未知函數(shù)的方程更為便利.利用混合有限元方法還有很多優(yōu)點，例如在計算多孔介質(zhì)流時，通常計算速度，如用通常的有限元方法只能先求出壓力，然后求導(dǎo)得到速度，了離散解的精度.另外混合有限元解具有很好的物理意義和物理性能但要求所構(gòu)造的混合有限元空間必須滿足LBB相容條件，給有限元空間的選取帶來了—定的困難.有限元方法在近似求解橢圓方程邊值問題及拋物方程初邊值問題方面已經(jīng)許拋則性很弱甚至可出現(xiàn)間斷，存在擾動的傳播與反射，沒有拋物問題那樣強的耗散性質(zhì)等等GABaker([10出了一類非標oale改in有限元方法，也稱Petrovoale南乙totoPetovGalerkinGalerkin使得方法具有更大的靈活性.to子的性質(zhì)進一步證明了線性有限元解的虧量迭代序列收斂到PetovGalerkin用上述同樣的單元，對雙調(diào)和方程的混合有限元格式，采用對流函數(shù)用雙二次cial本文的寫作安排如下:第一章:介紹預(yù)備知識，列舉本文所用到的記號和定理.第二章:矩形元上插值算子的逼近性質(zhì).第三章:to第四章:雙調(diào)和方程混合元的一種新格式.第一章預(yù)備知識本章介紹一些本文用到的一些主要結(jié)論和函數(shù)空間，所采用的符號與文獻3]中的符號基本一致.的證明參見相關(guān)文獻.1.1sobolev空間及一些記號Rn為。維歐式空間，。為Rnp次可積函數(shù)組成的集合.Lco第一章預(yù)備知識本章介紹一些本文用到的一些主要結(jié)論和函數(shù)空間，所采用的符號與文獻3]中的符號基本一致.的證明參見相關(guān)文獻.1.1sobolev空間及一些記號Rn為。維歐式空間，。為Rnp次可積函數(shù)組成的集合.Lco合.則按范數(shù)lP<cP二cogDJOXm為非負函數(shù)，1pcop這個空間依范ococ，maP=cococ，maP=co構(gòu)成一個Ba空間，我們稱之為sobolev空間，并定義半范數(shù)cDp=lmm=HizbertmDDv定義設(shè)xYxcyxxIx的恒等算子了是連續(xù)的，即存在常數(shù)M丫xEXx嵌入從記為x、YI為嵌入算子，M為嵌入常數(shù).M下面給出本文用到的幾個不等式.從n肋wsi不等 couvoincacRn為有界區(qū)域，rcJmeas(Doc特別當(dāng)，。。川(卿，時，此不等式給出了，u +1pcoqp +1pcoqp1.2有限元基本理論vHilbet空間，對一般的抽象變分問題，VVv)dapmaxdiams為單元的最大內(nèi)切球直徑，hmax定義兩個有限入為仿射等價的，如果存在可逆的仿射變換藝==枷若存在正常數(shù)c使得剖分族幾滿足定義KK定義1.5c廠，我們稱有限元空間為協(xié)調(diào)元空間.否則成為非協(xié)調(diào)員空—族有限元稱為仿射族，如果其所有有限元都仿射等價于某一參考有限元插值逼近定理:U{K)上成立下列關(guān)系出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)m上成立下列關(guān)系出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)mk為非負整數(shù)，1pqc.(在不依賴于KcKvcmv+在定理條件下，有限元空間殊上的插值算子n。將具有下面逼近性質(zhì)1Ivflv，hlvflv毛Chvl*vv。泌。Lram引理:let上的雙線性泛函，如果滿足l)有界性，即存在正常數(shù)Ml(2)強制性，即存在常數(shù)c0vv)lYV任萬…則對任意foH’，存在唯一的。。Hv)VvEHHH的共扼空間.下面考慮抽象的變分形式(l.5)丫vh關(guān)于其解的存在唯一性及誤差估計有如下引理CaafLaxMilgram定理的條件，則離散問題有唯一解，且eiCaafLaxMilgram定理的條件，則離散問題有唯一解，且eiIulvv1.3混合有限元理論許多問題都可以化為下列抽象的混合變分形式:丫上的雙線性型，GHM上的連續(xù)線性泛函.下面給出上述混合變分問題解的適定性的判別條件.基本定理l.9)YV2a則混合變分問題存在唯一解(u，喲。HxXhxMgx二M則稱為協(xié)調(diào)元空間，否則稱為非協(xié)調(diào)元空間對于協(xié)調(diào)元，混合元變分問題的離散形式為對于協(xié)調(diào)元，離散混合變分問題有如下結(jié)論:Vv*(1.10對于協(xié)調(diào)元，離散混合變分問題有如下結(jié)論:Vv*(1.10基本定理若雙線性型allVvhYEMhS叩則離散格式(l.10)u*x(l.9)間有誤差估計unlcl離散的IBB條件和正定性條件太強了，在實際應(yīng)用中，會遇到一些問題不滿足.上述條件.為了克服這樣的缺陷，F(xiàn)alkosborn1980年創(chuàng)立了一種改進的方IBB條件要弱一些，能夠適用于的問題六個基本假定，G;Hilbet空間v使得M連續(xù)嵌入)，并使得對于任doVHxVv任ydVEHxVv任ydVEw使得H、斌而且有)lvh其中vhbvh，再0V‘vn丫vhrh:Y*Y其中y.當(dāng)少幾c基本定理本定理有下面五個結(jié))立l.10)存在唯)如果(Hl)一(叢)成立，那么有下面的誤差估計:sh)如果(Hl)一(叢)成立，那么有下面的誤差估計:shHHs注:此定理的條件總體來說較多，但這些條件都比IBB條件和正定性要弱些，因—些條件是自然成立的，應(yīng)用上述定理可以很好的解決許多方程的混合有限元解的存在唯一性以及誤差估計問題，例如:Poison階雙調(diào)和方程，定長stokes問題和彈性力學(xué)問題等.l.5)PetovGalerkin近的一般uvHilbert空aux的雙線即存M(1.12丫u任U，Vv對一般的抽象變分問題，求。。uVv〔auv)auxfV上的線性泛函.定理}對一般的抽象變分問題，求。。uVv〔auv)auxfV上的線性泛函.定理}訓(xùn)v(1.14u任U，v任只其中y為常數(shù).Vv任只vv)}yto*vVv。任價(1.16Pet結(jié)論.2:設(shè)條l.14)l.巧)成立uhvh任價.(1.18第二章矩形元上插值算子的逼近性質(zhì)本章主要是在[15]的基礎(chǔ)上建立矩形元上插值算子的逼近性質(zhì).令T形，其長為Zh2h:通過連接對邊中點得到四個子矩形T如圖:aa第二章矩形元上插值算子的逼近性質(zhì)本章主要是在[15]的基礎(chǔ)上建立矩形元上插值算子的逼近性質(zhì).令T形，其長為Zh2h:通過連接對邊中點得到四個子矩形T如圖:aa定義oxq產(chǎn)12。是雙二次拉格朗日插值多項式定義在T的節(jié)點i=下面我們給出插值算子逼近性質(zhì)的一個重要定理.定理Xx0x0乙+(+(=+h1h+(xx0y0hZ)uxx0hly0hhh+hh+由u+Illul _.2.1寧萬t萬、ulu4us一uZ)ulu4usuZ刀“2JJ，+ ++UUU扮UU22+uuuuu64114121 _.2.1寧萬t萬、ulu4us一uZ)ulu4usuZ刀“2JJ，+ ++UUU扮UU22+uuuuu6411412158+jU ++++ U+U+UUU242一uuuu22121411+u5奮u_33l51書1‘u_行瞬lU+一麗材l6++44487u88+uu3材l4u1us19封2材2l+uZu4材2一uZu6材27一uZus材3材9l+封36一u3u7材38一材39一材45+7一2石峋u93u7ush:14，二l一諾+hZ’45’73女l+tt67十5u6us7材89一一5l二56—試4531_ +u+配況444，8ll2一l5封lu7u1uglh8材4 材3材12uZug封2U5一一—243—348石u4ug4l4石h8材4 材3材12uZug封2U5一一—243—348石u4ug4l4石u91245lu4U4探6材4u3us封4材7一一石u737++封67一封57一封68材lu+石u7us石“7u9usughZ‘11_219_.211二2.u_24382111119l2石l34lu6u1u1uZ封l3l封23uZu4扮2封2封4封左35一材36一一u48材49一usu7封58封6封6材9一u7us8U180材4材7一u.11_21而_11‘.2.19++19211_11u石uZ3個面ll雙l5+uu7l材lll3石l2uZu6封27材2材u3usu3ug份4封57一58一6ll1且_1808979通過應(yīng)用柯西不等式于是我們可以得到:l2.1應(yīng)用類似的方法我們可以得到下面的推論:定理2.12.224]中的結(jié)論簡單且結(jié)果更優(yōu).PetolrinPetovPetolrinPetovGalerkin項式空間作為形函數(shù)空間，用雙線性多項式空間作為試探函數(shù)空間，可以證明此逼近模式與標準的雙二次有限元逼近模式有同樣的收斂階.根據(jù)第二章插值算子的逼近性質(zhì)進一步證明了半線性有限元解的虧量迭代序列收斂到被給出的3.1Frank等在[16]且對線性橢圓邊值問題[1722]，在剖分擬一致條件下通過應(yīng)用超收斂和漸進展開式討論了這種格式的有效性，證明了線性有限元解作為第一次迭代校正的原始逼近，能夠獲得與標準的二次有限元相同的逼近階 即經(jīng)過多次迭代校正可彌補損失的虧量.對線性二點邊值問題[222324]迭代校正收斂到PetovGalerkin解.在這篇文章中我們將介紹半線性橢圓邊值題虧量迭代格式，并對[24]算子收斂性結(jié)論進行了改進，結(jié)論簡單且比[24]PetovGalerkin逼近格式.接下來我們證明，對半線性有限元解虧量迭代校3.2半線性橢圓邊值問題考慮半線性橢圓邊值問題i刀幾ufzfu(uufzfu(u連續(xù).(3v((zuv，這里r令幾是擬一致矩形剖分，TI是通過連接每個矩形幾的中點得到的子矩形.令以i=12)是定義在Ti上的分片雙i次多項式空間.顯然KcHI釁二Kn川(卿Petoaeriu*vuv)，3.2)3.13.3)用下面的中值定理.w=不+從一否下面的估計式成立.}=不+從一否下面的估計式成立.}uuhCl}乃u一uluuhChl}幾ur(1ll)lff(vlwlvl*l妻(1W=(1vZIv2Iv)}毛C}wlIlvI兒(wwZIlv.根據(jù)(3.3)3.4)以看u*vu*v*IhI:(zu1I*I(由此可以推出(3.63.11)h)v令VvavUv3.14)可以寫成下面形式:根據(jù)邊值問題解推廣的先驗估計我們有2蕊C滬3.16)蕊C滬3.16)例}2Cl}引32u+且成立誤差估計式alriz)=v)+(vuu2即(1212即(1212蕊v)+鎮(zhèn)ll由定理褥奮定理被證明.第四章雙調(diào)和方程混合元的一種新格式本章對雙調(diào)和方程的混合有限元方法采用了一種新的格式，對流函數(shù)用雙二Cial第四章雙調(diào)和方程混合元的一種新格式本章對雙調(diào)和方程的混合有限元方法采用了一種新的格式，對流函數(shù)用雙二Cialtatcialtat式是最常用格式之一，這種格式誤差估計的階數(shù)取決于多項式的次數(shù)和渦函數(shù)通過離散空間中多項式次數(shù)的提高而提高.因而在自然性光滑條件下，為了獲得更高的逼近階，合理的選擇是對流函數(shù)用二次多項式逼近，對渦函數(shù)用低于二次的多項式逼近.本文的目的就是尋找這樣的空間.考慮雙調(diào)和方程的凸多邊f(xié)oHalat項式逼近.alat項式逼近.ddrxh是剖分的最大直徑.令T，離散形式為:求(*Xrx丫vh〔rrcialt已經(jīng)用不同的方法證明了cialtRaviart{p4.3主要結(jié)論和證Cialcial4.3主要結(jié)論和證Cialcial見，這里假設(shè)。是護中的矩形區(qū)域.設(shè)幾。是。的擬一致矩形剖分，幾是通過*中每個矩形的所有對邊中點得到的四個子矩形.定義以112在我們的這種情況下城優(yōu)幾，因此誤差估計不能用通常的辦法來證明.、M假設(shè)上的連續(xù)雙線性型滿足考慮下面的抽象問題Vv任這里xM’分別是xM的對偶空間<.，.>V少任{咋cXcM，是有限元空間.43.1[六個基本假定和基本定理lwlwvwvI:T^滿足:XHM=川QH瓜vdxdyD(H1)H3H4s(hch構(gòu)造算子rh滿足(H5)對一個給定的voHrxV價任勝，dHlP0P0Vl2HlP0Banach，且范數(shù)定義為=inf}v+Pvv!}v}lCvl顯:betI(wu)w側(cè)幾u)dx=I(wu)(4.16)204144I(ww))}wYw04144I(ww))}wYw任巧/POWv)成Izvl蕊簇VwvPOv)v)和v)v).可幾喲六辦.gg~丫v任巧POg因此，(4.10)存在一類解，所有解相差一個常數(shù)rvl44)為了得到定理的證明，必須先估計rvl44)為了得到定理的證明，必須先估計CldI由rhy從而C)l蕊c比vzz13 z13 J一為!112一兒所以有通過基本定理3所以ruoIp鎮(zhèn)1llu蕊su蕊su鎮(zhèn)ChZlo]馮康，基于變分原理的差分格式.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)，1%]馮康，石鐘慈，彈性結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論.科學(xué)出版社，]馮康，馮康文集.國防工業(yè)出版社，.]馮康，基于變分原理的差分格式.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)，1%]馮康，石鐘慈，彈性結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論.科學(xué)出版社，]馮康，馮康文集.國防工業(yè)出版社，.1619[5EBrezzi，OntheexisteneeuniquenessandaPProximationofsaddlePointProblemsarisinns3orh8]羅振東，有限元混合法理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用.濟南，山東教育出版社，19[9]R.5.Falk，J.E.Osbom，Ermrestimatesformixedmethods，RAIRO，Numer.Anal.，3(1980)，249~277110GABaker，AfiniteelementmethodforfirstorderhyPerbolieequations[JMatheomP1975299951006林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，864:40[12CiarletPGTheFiniteElementMethodforElliPtieProblemsNorthHollandAmsterdam1978[l3]李立康，索伯列夫空間引論.上?？茖W(xué)出版社，[l4]李榮華，邊值問題的Galerkin151JBGaoandYDYangTheDefectIterationoftheFiniteElementforElliPtieBouValueProblemsandPetrovGalerkinAPProximationJComPut.MathVol.16No.l1989152~1643[16RFrankJ.HertlingJ.RMonnet，TheaPPlieation[16RFrankJ.HertlingJ.RMonnet，TheaPPlieationofiterateddefeeteorreetiontov碩ationreHabilitationSehrift，UniversitatHeidelberg1990[18}R.RannaeherDefeetcorreetionteehniquesinthefiniteelementmethod，MetzDaysonNmeriealAnalysis，Univ.Metz.，June1990eory20QLinAHZhou，Defecteoetionforfiniteelementgradient，SystSeiandMathS5:3(1992)，278~2Problems，Mathnumer.Sinieae[23〕MAKlasnoselskete.，APProximationSolutionofOPeratorEquationgs，MoseowP1969