生成不等式的根本性母題

生成不等式的根本性母題由函數(shù)的凸凹性可得琴生不等式,由琴生不等式已生成一類高考試題,相信還會(huì)繼續(xù)生成高考試題,為脫去琴生不等式的高等數(shù)學(xué)外衣,為中學(xué)數(shù)學(xué)所用,我們構(gòu)造如下母題.[母題結(jié)構(gòu)]:(Ⅰ)若f(x)在區(qū)間D上連續(xù)可導(dǎo),且(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,則對(duì)任意的x1,x2,…,xn∈D,都有f(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)(其中pi>0,p1+p2+…+pn=1),當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí),等號(hào)成立;(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間D上連續(xù)可導(dǎo),且(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,則對(duì)任意的x1,x2,…,xn∈D,都有f(p1x1+p2x2+…+pnxn)≤p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)(其中pi>0,p1+p2+…+pn=1),當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí),等號(hào)成立.[母題解析]:(Ⅰ)設(shè)x≤x2≤…≤xn,由pi>0,p1+p2+…+pn=1,則p1x+p2x2+…+pnxn≥xp2x2+…+pnxn≥(1-p1)xp2x2+…+pnxn≥(p2+…+pn)xp2(x2-x1)+p3(x3-x1)+…+pn(xn-x1)≥0成立;又由(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(x)≥(p1x+p2x2+…+pnxn);令g(x)=p1f(x)+p2f(x2)+…+pnf(xn)-f(p1x+p2x2+…+pnxn)(x≤x2≤…≤xn),則(x)=p1(x)-p1(p1x+p2x2+…+pnxn)≥0g(x)在x≤x2時(shí)單調(diào)遞增g(x)≤g(x2)=(p1+p2)f(x2)+…+pnf(xn)-f((p1+p2)x2+…+pnxn)≤(p1+p2+p3)f(x3)+…+pnf(xn)-f((p1+p2+p3)x3+…+pnxn)≤…≤(p1+p2+…+pn)f(xn)-f((p1+p2+…+pn)xn)=f(xn)-f(xn)=0g(x1)≤0f(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn),當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí),等號(hào)成立;同理可證(Ⅱ).1.應(yīng)用模式子題類型Ⅰ:(1994年全國高考理科試題)已知函數(shù)f(x)=tanx,x∈(0,),若x1,x2∈(0,),且x1≠x2,證明:[f(x1)+f(x2)]>f().[解析]:先證明如下命題:若f(x)在區(qū)間(0,)上連續(xù)可導(dǎo),且(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x1,x2∈(0,),且x1≠x2時(shí),[f(x1)+f(x2)]>f();不妨設(shè)0<x1<x2,則x1<,由(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增(x)>();令g(x)=[f(x)+f(x2)]-f(),則(x)=[(x)-()]>0g(x)在區(qū)間(0,x2)上單調(diào)遞增g(x)>g(x2)=0g(x1)>0[f(x1)+f(x2)]>f();當(dāng)x∈(0,)時(shí),由f(x)=tanx(x)=(x)=>0(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增[f(x1)+f(x2)]>f().[點(diǎn)評(píng)]:利用母題解決問題,首先要證明題中對(duì)應(yīng)的母題中的命題,有時(shí)解決一般性問題比解決其特殊問題要簡單得多,這也是我們構(gòu)造母題的原因之一.[同類試題]:1.(1994年全國高考文科試題)已知函數(shù)f(x)=logax(x>0,且a≠1,x∈R+),若x1,x2∈R+,判斷與f()的大小,并加以證明.2.巧妙取值子題類型Ⅱ:(2005年全國Ⅰ高考試題)(Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值;(Ⅱ)設(shè)正數(shù)p1,p2,p3,…,p滿足p1+p2+p3+…+p=1,證明:p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+plog2p≥-n.[解析]:設(shè)g(x)=xlog2x(x>0),則(x)=log2x+log2e在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;(Ⅰ)由≥g()f(x)=g(x)+g(1-x)≥2g()=-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x,即x=時(shí)等號(hào)成立f(x)的最小值為-1;(Ⅱ)由≥g()=g()=-p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+plog2p=g(p1)+g(p2)+g(p3)…+g(p)≥-n.[點(diǎn)評(píng)]:本題中的第(Ⅰ)問是在不等式:≥g()中取x1=x,x2=1-x而得到;第(Ⅱ)問是在不等式:g(p1x1+p2x2+…+pnxn)≤p1g(x1)+p2g(x2)+…+png(xn)(其中pi>0,p1+p2+…+pn=1)中取n為2n,且xi=pi而得到;巧妙選取n,xi,pi的值,是利用母題證明或構(gòu)造不等式的關(guān)鍵.[同類試題]:2.(2004年全國Ⅱ高考試題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值;(Ⅱ)設(shè)0<a<b.證明:0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.3.構(gòu)造函數(shù)子題類型Ⅲ:(2012年湖北高考試題)(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r為有理數(shù),且0<r<1.求f(x)的最小值;(Ⅱ)試用(Ⅰ)的結(jié)果證明如下命題:設(shè)a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù).若b1+b2=1,則a1a2≤a1b1+a2b2;(Ⅲ)請(qǐng)將(Ⅱ)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí),有求導(dǎo)公式(xα=αxα-1.[解析]:(Ⅰ)由(x)=r-rxr-1f(x)的最小值f(1)=0;(Ⅱ)①當(dāng)a1,a2中至少有一個(gè)為0時(shí),則a1a2≤a1b1+a2b2成立;②當(dāng)a1>0,a2>0時(shí),令g(x)=lnx(x>0),則(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減≤ln(b1+b2=1)a1a2≤a1b1+a2b2;(Ⅲ)推廣命題:設(shè)ak≥0,bk為正有理數(shù)(k=1,2,…,n).若b1+b2+…+bn=1,則a1a2…an≤a1b1+a2b2+…+anbn;證明:①當(dāng)ak(k=1,2,…,n)中至少有一個(gè)為0時(shí),則a1a2…an≤a1b1+a2b2+…+anbn成立;②當(dāng)ak>0(k=1,2,…,n)時(shí),令g(x)=lnx(x>0),則(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減≤ln(b1+b2+…+bn=1)a1a2…an≤a1b1+a2b2+…+anbn.[點(diǎn)評(píng)]:由a1a2≤a1b1+a2b2b1lna1+b2lna2≤ln(a1b1+a2b2)(b1+b2=1)≤ln,對(duì)比母題中的不等式,類比聯(lián)想到應(yīng)研究函數(shù)g(x)=lnx;利用母題證明不等式的關(guān)鍵是由待證不等式,類比聯(lián)想到應(yīng)研究函數(shù).[同類試題]:3.(2011年湖北高考試題)(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞).求函數(shù)f(x)的最大值;(Ⅱ)設(shè)ak,bk(k=1,2,…,n)均為正數(shù),證明:(i)若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,則a1a2…an≤1;(ii)若b1+b2+…+bn=1,則≤b1b2…bn≤b12+b22+…+bn2.4.子題系列:4.(2010年陜西高考試題)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.(Ⅰ)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點(diǎn)處有共同的切線,求a的值和該切線方程;(Ⅱ)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當(dāng)h(x)存在最小值時(shí),求其最小值(a)的解析式;(Ⅲ)對(duì)(Ⅱ)中的(a)和任意的a>0,b>0,證明:()≤≤().5.(2006年四川高考試題)己知函數(shù)f(x)=x2++alnx(x>0),f(x)的導(dǎo)函數(shù)是(x),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1,x2,證明:(Ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí),>;(Ⅱ)當(dāng)a≤4時(shí),|(x1)-(x2)|>|x1-x2|.6.(2009年全國高中數(shù)學(xué)遼寧初賽聯(lián)賽試題)已知函數(shù)f(x)=2x+alnx.(Ⅰ)若a<0,證明:對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)x1,x2,總有[f(x1)+f(x2)]≥f()成立;(Ⅱ)若對(duì)任意x∈[1,e],不等式f(x)≤(a+3)x-x2恒成立,求a的取值范圍.5.子題詳解:1.解:由(x)=:①當(dāng)a>1時(shí),(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減≤f();②當(dāng)0<a<1時(shí),(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增≥f().2.解:(Ⅰ)由f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)(x)=-1=-f(x)的最大值=f(0)=0;(Ⅱ)由g(x)=xlnx(x)=lnx+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增g()>[g(a)+g(b)]g(a)+g(b)-2g()>0;令h(x)=g(a)+g(x)-2g()-(x-a)ln2(x>a),則(x)=(lnx+1)-(ln+1)-ln2=lnx-ln(a+x)<0h(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞減h(x)<h(a)=0g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.綜上,0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.3.解:(Ⅰ)由(x)=-1f(x)的最大值=f(1)=0;(Ⅱ)令g(x)=lnx,則(x)=-在(0,+∞)上單調(diào)遞減g(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥p1g(x1)+p2g(x2)+…+png(xn)(其中pi>0,p1+p2+…+pn=1);(i)令xi=ai,pi=,則p1x1+p2x2+…+pnxn=≤1g(p1x1+p2x2+…+pnxn)≤0p1g(x1)+p2g(x2)+…+png(xn)=≤0b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≤0a1a2…an≤1;(ii)由g(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥p1g(x1)+p2g(x2)+…+png(xn)p1x1+p2x2+…+pnxn≥x1x2…xn…(*);在(*)中,令xi=pi=bi得:b1b2…bn≤b12+b22+…+bn2;再令pi=bi,xi=得:≤b1b2…bn.故≤b1b2…bn≤b12+b22+…+bn2.4.解:(Ⅰ)由f(x)=g(x),(x)=(x)x=e2,a=切線方程:y-e=(x-e2);(Ⅱ)由(x)=(-2a)(x>0);①當(dāng)a≤0時(shí),(x)>0h(x)在(0,+∞)上遞增,無最小值;②當(dāng)a>0時(shí),h(x)的最小值(a)=h(4a2)=2a(1-ln2a);(Ⅲ)由(a)=2a(1-ln2a)(a)=-2ln2a(x)=-在(0,+∞)上單調(diào)遞增()≤;由≤()-2ln2a-2ln2b≤-4lnln(4ab)≥2ln4ab≥()2(a+b)2≥4ab成立.5.解:(Ⅰ)由f(x)=x2++alnx(x)=2x-+(x)=2+-;當(dāng)a≤0時(shí),(x)>0(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增>;(Ⅱ)由(x)=2+-當(dāng)a≤4時(shí),(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;不妨設(shè)x1<x2,則|(x1)-(x2)|>|x1-x2|(x2)-(x1)>x2-x1(x2)-x2>(x1)-x1當(dāng)a≤4時(shí),g(x)=(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增;由(x)=(x)-1=1+-;①當(dāng)a≤0時(shí),(x)>0;②當(dāng)0<a≤4時(shí),min(x)=()>0.綜上,(x)>0g(x)在(0