新高考數(shù)學一輪復習講練測專題6.1平面向量的概念及其運算（講）解析版

專題6.1平面向量的概念及其運算新課程考試要求1.平面向量的實際背景及基本概念：理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念.2.向量的線性運算：掌握向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義.3.理解平面向量數(shù)量積的概念及其意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.4.掌握數(shù)量積與兩個向量的夾角之間的關系.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學運算（多例）等.考向預測（1）以考查向量的線性運算、共線為主，且主要是在理解它們含義的基礎上，進一步解題，如利用向量的線性運算求參數(shù)等；（2）考查單位向量較多.（3）以考查向量的數(shù)量積、夾角、模、垂直的條件等問題為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；（4）常常以平面圖形為載體，同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結合，以工具的形式出現(xiàn)．【知識清單】知識點1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．3．單位向量：長度等于1個單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．5．相等向量：長度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．知識點2．平面向量的線性運算一．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：；(2)結合律：減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則二．向量的數(shù)乘運算及其幾何意義1．定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|λa|＝|λ||a|；②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.2．運算律：設λ，μ是兩個實數(shù)，則：①；②；③.知識點3．共線向量共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.知識點4．兩個向量的夾角1．定義已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．2．范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.知識點5．平面向量的數(shù)量積1．已知兩個非零向量a與b，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定0·a＝0.當a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝0.2．a(chǎn)·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．知識點6．數(shù)量積的運算律1．交換律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．對λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．知識點7．向量數(shù)量積的性質1．如果e是單位向量，則a·e＝e·a.2．a(chǎn)⊥ba·b＝0.3．a(chǎn)·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ為a與b的夾角)5．|a·b|≤|a||b|.【考點分類剖析】考點一向量的有關概念【典例1】（2020·山東高三專題練習）給出下列四個命題：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“SKIPIF1<0”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的充要條件是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.其中正確命題的序號是（）A．②③ B．①② C．③④ D．②④【答案】A【解析】對于①，根據(jù)向量相等的概念分析可知不正確；對于②，根據(jù)向量相等的概念以及充要條件的概念分析可知正確；對于③，根據(jù)向量相等的概念分析可知正確；對于④，根據(jù)向量相等的概念以及充要條件的概念分析可知不正確.【詳解】對于①，兩個向量的長度相等，不能推出兩個向量的方向的關系，故①錯誤；對于②，因為A，B，C，D是不共線的四點，且SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即等價于四邊形ABCD為平行四邊形，故②正確；對于③，若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；顯然正確，故③正確；對于④，由SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，但是由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0可能推出SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件，故④不正確,故選：A【典例2】（2020·衡水市第十四中學高一月考）下列說法錯誤的是（）A．向量的長度與向量的長度相等 B．零向量與任意非零向量平行C．長度相等方向相反的向量共線 D．方向相反的向量可能相等【答案】D【解析】A.向量與向量的方向相反，長度相等，故A正確；B.規(guī)定零向量與任意非零向量平行，故B正確；C.能平移到同一條直線的向量是共線向量，所以長度相等，方向相反的向量是共線向量，故C正確；D.長度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正確.【易錯提醒】1．有關平面向量概念的注意點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆．(4)兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點．(5)零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．【變式探究】1.（2020·福建福州市·文博中學高一期末）下列命題中正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是平行四邊形C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【解析】利用向量相等可判斷AD選項的正誤，取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共線可判斷B選項的正誤，取SKIPIF1<0可判斷C選項的正誤.【詳解】對于A選項，若SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向不相同時，SKIPIF1<0，A選項錯誤；對于B選項，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共線且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0無法構成四邊形，B選項錯誤；對于C選項，取SKIPIF1<0，雖然有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不一定平行，C選項錯誤；對于D選項，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，D選項正確.故選：D.2.設a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.【總結提升】(1)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反方向的單位向量．(2)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大?。?3)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．（4）幾個重要結論①向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；②向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．考點二平面向量的線性運算【典例3】（2020·海南高考真題）在SKIPIF1<0中，D是AB邊上的中點，則SKIPIF1<0=（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.【詳解】SKIPIF1<0故選：C【典例4】（2020·湖南衡陽·三模（文））在平行四邊形中，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴.故選：D.【規(guī)律方法】1.常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．2.找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解．【變式探究】1.（2018年新課標I卷理）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB=A．34ABC．34AB【答案】A【解析】根據(jù)向量的運算法則，可得BE=12所以EB=342.（2019·廣東高考模擬（理））已知，，三點不共線，且點滿足，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】已知，，三點不共線，且點滿足，所以=+=）（）+=，所以,故選：A【總結提升】平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解．考點三利用向量線性運算求參數(shù)【典例5】（2020·西藏拉薩那曲第二高級中學高二期中（文））設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個不共線的向量，若向量SKIPIF1<0(k∈R)與向量SKIPIF1<0共線，則（）A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)向量共線定理可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是不共線向量，可得SKIPIF1<0，解方程組即可求解.【詳解】由共線向量定理可知存在實數(shù)λ，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是不共線向量，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：D【典例6】（2020·三亞華僑學校高一開學考試）已知四邊形ABCD為正方形，，AP與CD交于點E，若，則=.【答案】.【解析】由題作圖如圖所示，∵，∴，∴，∴，∴.故答案為：.【總結提升】利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求．【變式探究】1.（2019·山東高考模擬（文））在正方形中，為的中點，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題得,.故選：B2.（2020·全國高一課時練習）已知x,y是實數(shù),向量不共線,若,則________,________.【答案】【解析】因為向量不共線，所以向量均不為零向量，解得故答案為：；考點四共線向量及其應用

【典例7】（2020·全國高一課時練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內(nèi)不共線的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若A，B，D三點共線，則SKIPIF1<0____.【答案】SKIPIF1<0【解析】求出SKIPIF1<0，利用三點共線，得到SKIPIF1<0，求出λ和k.【詳解】由題意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且A、B、D三點共線，由共線向量定理得，存在實數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例8】已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．【答案】【解析】由于A，B，P三點共線，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))在同一直線上，由向量共線定理可知，必定存在實數(shù)λ使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．【規(guī)律方法】1.平面向量共線定理的三個應用2.求解向量共線問題的注意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．(3)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點共線?eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O為平面內(nèi)任一點，t∈R)．【變式探究】1.（2020·全國高二課時練習）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相反，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】直接利用向量共線進行計算即可.【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相反，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2.（2020·上海高三專題練習）設是不共線的兩個向量,已知，，若A、B、D三點共線,求k的值.【答案】k=－1【解析】由A、B、C三點共線，存在實數(shù)，使得∵∴故又a,b不共線∴=1，k=－1【總結提升】共線向量定理應用時的注意點(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．考點五平面向量數(shù)量積的運算【典例9】（2020·海南高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】首先根據(jù)題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范圍是SKIPIF1<0，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結果.【詳解】SKIPIF1<0的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范圍是SKIPIF1<0，結合向量數(shù)量積的定義式，可知SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的模與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘積，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：A.【典例10】（2018·天津高考真題（文））在如圖的平面圖形中，已知OM=1.ON=2,∠MON=120°,BM=2A．?15B．?9C．?6D．0【答案】C【解析】如圖所示，連結MN，由BM=2MA,CN=2NA可知點則BC=3由題意可知：OM2=1結合數(shù)量積的運算法則可得：BC?本題選擇C選項.【規(guī)律方法】計算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律，最終轉化為基向量的數(shù)量積，進而求解．(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行求解．【變式探究】1．（2018·全國高考真題（理））已知向量a，b滿足|a|?=1，A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因為a所以選B.2.（2020屆浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四邊形中，，點，分別是邊，的中點，且，若，則______.【答案】【解析】取BD的中點O，連接OM，ON，

可得，

平方可得，

即有，，即有，

解得，

所以，

故答案為：?2.【總結提升】知向量a，b的模及夾角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②對于向量數(shù)量積與線性運算的綜合運算問題，可先利用數(shù)量積的運算律化簡，再進行運算．考點六平面向量的夾角問題【典例11】（2020·全國高考真題（理））已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故選：D.【典例12】（2019·全國高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________.【答案】.【解析】因為，，所以，，所以，所以．【總結提升】向量夾角問題的解答方法：(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系；(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．【變式探究】1.（2020·陜西西安市·西安一中高三月考（文））若兩個非零向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】把已知等式兩邊平方，得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的關系及SKIPIF1<0，然后利用向量的數(shù)量積公式求出量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：D．2．（2020屆浙江紹興市諸暨市高三上期末）已知，是不共線的兩個向量，若對任意的，的最小值為1，的最小值為1，若，則，所成角的余弦值為______.【答案】【解析】因為,所以當時，即，因為，所以當時，，即，所以，所以.故答案為：考點七平面向量的模的問題

【典例13】（2021·全國高考真題（文））若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)題目條件，利用SKIPIF1<0模的平方可以得出答案【詳解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例14】（2019·浙江高考真題）已知正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值是________；最大值是_______.【答案】0【解析】正方形ABCD的邊長為1，可得，，?0，要使的最小，只需要，此時只需要取此時等號成立當且僅當均非負或者均非正，并且均非負或者均非正.比如則.【規(guī)律方法】平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解．（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關角度問題、線段長問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．【變式探究】1．（2020·浙江高三）已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]【答案】D【解析】設，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．2．（2020·全國高二課時練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)SKIPIF1<0和向量數(shù)量積運算可得答案．【詳解】解：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．考點八平面向量垂直的條件

【典例15】（2020·全國高考真題（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因為，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.【典例16】（2020·全國高考真題（理））已知單位向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的夾角為45°，SKIPIF