新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專(zhuān)題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性（講）解析版

專(zhuān)題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性新課程考試要求1．理解函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性，了解函數(shù)的周期性.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（例5.6.14.15）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（例3等）、邏輯推理（例2）、直觀想象（例9.10）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測(cè)1.判斷函數(shù)的奇偶性與周期性；2.函數(shù)的奇偶性、周期性，通常與抽象函數(shù)、函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合考查，常結(jié)合三角函數(shù)加以考查，有時(shí)與數(shù)列結(jié)合考查周期數(shù)列相關(guān)問(wèn)題．【知識(shí)清單】1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性的判斷【典例1】【多選題】（2020·浙江杭州市·杭州高級(jí)中學(xué)高一月考）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域都是R，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則（）A．SKIPIF1<0是奇函數(shù) B．SKIPIF1<0是奇函數(shù)C．SKIPIF1<0是偶函數(shù) D．SKIPIF1<0是偶函數(shù)【答案】AD【解析】由奇偶性的定義逐一證明即可.【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是偶函數(shù)，故D正確；故選：AD【典例2】【多選題】（2021·浙江高一期末）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0為增函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是偶函數(shù)，在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，故在SKIPIF1<0為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0為增函數(shù)，符合題意；故選：SKIPIF1<0．【知識(shí)拓展】(1)奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)．由于f(x)和f(－x)須同時(shí)有意義，所以奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)奇、偶函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)．①奇函數(shù)有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函數(shù)有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函數(shù)奇偶性的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)．①若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則必有f(0)＝0.有時(shí)可以用這個(gè)結(jié)論來(lái)否定一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)；②既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類(lèi)型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的非空集合；③函數(shù)根據(jù)奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)．(4)奇、偶函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用．①若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．【變式探究】1.（2019·天津耀華中學(xué)高三月考）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知和為奇函數(shù)，為偶函數(shù).令，則，即且.所以為非奇非偶函數(shù).故選D.2.（2021·上海高三二模）設(shè)SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0是偶函數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】C【解析】直接利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定，結(jié)合充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】若函數(shù)SKIPIF1<0圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為偶函數(shù)．若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，①SKIPIF1<0時(shí)為奇函數(shù)，②SKIPIF1<0時(shí)為非奇非偶函數(shù)，③SKIPIF1<0時(shí)為偶函數(shù)，∴若SKIPIF1<0為偶函數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0∴函數(shù)SKIPIF1<0圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為偶函數(shù)的充要條件．故選：C．考點(diǎn)二：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【典例3】（2019·全國(guó)高考真題（文））設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】是奇函數(shù)，x≥0時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，得．故選D．【典例4】（2021·黑龍江哈爾濱三中高三三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可得SKIPIF1<0，代入已知解析式解得SKIPIF1<0.【詳解】SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【典例5】（2021·黑龍江齊齊哈爾市·高三三模（理））已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，由函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：4【總結(jié)提升】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)解析式①將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式．(2)求參數(shù)值在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿(mǎn)足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿(mǎn)足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．【變式探究】1.（2019·江西江西師大附中高三高考模擬（文））若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，又時(shí)，本題正確選項(xiàng)：2.【多選題】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(-∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(-2)=0，則下列區(qū)間中使得xf(x)<0的有（）A．(-1，1) B．(0，2)C．(-2，0) D．(2，4)【答案】CD【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)以及f(-2)=f（2）=0畫(huà)出函數(shù)f(x)的草圖，由xf(x)<0?SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，結(jié)合圖象得出解集.【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，又f(-2)=0，則函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，且f(-2)=f（2）=0，函數(shù)f(x)的草圖如圖又由xf(x)<0?SKIPIF1<0或SKIPIF1<0由圖可得-2<x<0或x>2即不等式的解集為(-2，0)∪(2，+∞).故選：CD3.（2021·上海高三二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，代入1和-1，即可求得函數(shù)值.【詳解】由題知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0考點(diǎn)三：函數(shù)周期性及其應(yīng)用【典例6】（2021·廣德市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（文））已知對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)已知條件先分析出SKIPIF1<0為周期函數(shù)并求解出周期，然后根據(jù)周期性將SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為周期函數(shù)且一個(gè)周期為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故選：B.結(jié)論點(diǎn)睛：結(jié)論點(diǎn)睛：周期性常用的幾個(gè)結(jié)論如下：（1）SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0時(shí)，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恒成立，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個(gè)周期；（2）SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0時(shí)，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恒成立，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個(gè)周期；（3）若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為一個(gè)周期的周期函數(shù)；（4）若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為一個(gè)周期的周期函數(shù).【典例7】（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0的圖象連續(xù)不斷，有下列四個(gè)命題：甲：SKIPIF1<0是奇函數(shù)；乙：SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)；丙：SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；?。汉瘮?shù)SKIPIF1<0的周期為2.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性之間的相互關(guān)系可知，甲、乙、丁三者中必有一個(gè)錯(cuò)誤，結(jié)合連續(xù)函數(shù)單調(diào)性的特征可知，丙、丁互相矛盾，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0的特征知：由于區(qū)間SKIPIF1<0的寬度為2，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減與函數(shù)SKIPIF1<0的周期為2相互矛盾，即丙、丁中有一個(gè)為假命題；若甲、乙成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的周期為4，即丁為假命題.由于只有一個(gè)假命題，則可得該命題是丁，故選：D.【典例8】（2020·四川省石室中學(xué)高三一模（文））已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿(mǎn)足,若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且，又由，即，進(jìn)而可得，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又由，可得，，則，所以．故選C．【規(guī)律方法】1．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計(jì)算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T(mén)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．3．根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．【變式探究】1.（2020·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高三三模（文））奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，且，則＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解析】由題意，奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，則，即，則，即是周期為4的周期函數(shù)，，，則，故選：B．2.（2019·廣東高考模擬（文））已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(1+x)=f(1?x)，且f(1)=a，則f(2)+f(3)+f(4)=（）A．0 B．?a C．a(chǎn) D．3a【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足f(1+x)=f(1?x)，所以f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(?1)又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1?x)可得f(x+1)=f(1?x)=?f(x?1)，所以f(x+2)=?f(x)，故f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，因此，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(?1)+f(0)=?f(1)=?a.故選B3.（2019·山東高考模擬（文））已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．2019 B．0 C．1 D．-1【答案】B【解析】由得：的周期為又為奇函數(shù)，，，即：本題正確選項(xiàng)：考點(diǎn)四：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例8】（2021·寧夏銀川市·賀蘭縣景博中學(xué)高三二模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0?公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性首先求出函數(shù)SKIPIF1<0是以2為周期的函數(shù)，且SKIPIF1<0，而數(shù)列的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，則可將所求轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，即可求得結(jié)果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以2為周期的函數(shù)，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0?公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：B.【典例9】（2020·山西省高三其他（文））已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以，則為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，則a的取值范圍是，故選：C.【典例10】【多選題】（2020·山東省高三其他）已知偶函數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) B．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為偶函數(shù)【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng),∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．∵，∴，則，即，∴，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由此可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng),令，則．在中，將換為，得，∴，∴，則函數(shù)為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng),由題意不妨取滿(mǎn)足條件的函數(shù)，則為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.【典例11】（2020·重慶高三其他（文））定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足：，且當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】由為奇函數(shù)知，∴，即，∴，∴是周期為3的周期函數(shù)，故，即，∴.故選：B.【典例12】（2021·湖南高三三模）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镈，對(duì)D內(nèi)的任意SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，恒有SKIPIF1<0，則稱(chēng)SKIPIF1<0為非減函數(shù)．已知SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的非減函數(shù)，且滿(mǎn)足：①對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②對(duì)任意SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】分析所給條件，得到SKIPIF1<0的函數(shù)圖像在SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，再由任意SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為非減函數(shù)即可求得SKIPIF1<0時(shí)，必有SKIPIF1<0，據(jù)此即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的函數(shù)圖像在SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又因?yàn)閷?duì)任意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的非減函數(shù)，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，必有SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0的函數(shù)圖像關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)，所以SKIPIF1<0時(shí)，也有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：2.【規(guī)律方法】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解