版函數(shù)的最大(小)值

第2課時函數(shù)的最大(小)值第一章

1.3.1單調性與最大(小)值學習目標1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會借助單調性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考

知識點一函數(shù)的最大(小)值在下圖表示的函數(shù)中，最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少？1為什么不是最小值？答案答案最大的函數(shù)值為4，最小的函數(shù)值為2.1沒有A中的元素與之對應，不是函數(shù)值.一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值.如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值.梳理答案x＝±1時，y有最大值1，對應的點是圖象中的最高點，x＝0時，y有最小值0，對應的點為圖象中的最低點.思考

知識點二函數(shù)的最大(小)值的幾何意義函數(shù)y＝x2，x∈[－1,1]的圖象如下：試指出函數(shù)的最大值、最小值和相應的x的值.

答案梳理一般地，函數(shù)最大值對應圖象中的最高點，最小值對應圖象中的最低點，它們不一定只有一個.題型探究例1

已知函數(shù)f(x)＝

(x>0)，求函數(shù)的最大值和最小值.解答類型一借助單調性求最值解設x1，x2是區(qū)間(0，＋∞)上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2，當x1<x2≤1時，x2－x1>0，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,1]上單調遞增；當1≤x1<x2時，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上單調遞減.(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a).(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b).(3)若函數(shù)y＝f(x)有多個單調區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決出最大(小).函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內最大(小)的.(4)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢.反思與感悟跟蹤訓練1

已知函數(shù)f(x)＝

(x∈[2,6])，求函數(shù)的最大值和最小值.解答解設x1，x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2，由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).例2

(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函數(shù)f(x)的最值；類型二求二次函數(shù)的最值解答解∵函數(shù)f(x)＝x2－2x－3開口向上，對稱軸x＝1，∴f(x)在[0,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增，且f(0)＝f(2).∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值；解答解∵對稱軸x＝1，①當1≥t＋2即t≤－1時，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.④當1<t，即t>1時，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.設函數(shù)最大值為g(t)，最小值為φ(t)，

(3)已知函數(shù)f(x)＝x－2－3，求函數(shù)f(x)的最值；解答由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增.∴當t＝1即x＝1時，f(x)min＝－4，無最大值.(4)“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度hm與時間ts之間的關系為h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？(精確到1m)解答解作出函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的圖象(如圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度.由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，于是，煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29m.(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關，求解時要注意這兩個因素.(2)圖象直觀，便于分析、理解；配方法說理更嚴謹，一般用于解答題.反思與感悟解設x2＝t(t≥0)，則x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增.∴當t＝1即x＝±1時，f(x)min＝－4，無最大值.跟蹤訓練2

(1)已知函數(shù)f(x)＝x4－2x2－3，求函數(shù)f(x)的最值；解答解∵函數(shù)圖象的對稱軸是x＝a，∴當a<2時，f(x)在[2,4]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.當a>4時，f(x)在[2,4]上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.當2≤a≤4時，f(x)min＝f(a)＝2－a2.(2)求二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；解答(3)如圖，某地要修建一個圓形的噴水池，水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標原點，水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標系.那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關系式為h＝－x2＋2x＋

，x∈[0，

].求水流噴出的高度h的最大值是多少？解答例3

已知x2－x＋a>0對任意x∈(0，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.類型三函數(shù)最值的應用解答解方法一令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a>0對任意x∈(0，＋∞)恒成立，方法二x2－x＋a>0可化為a>－x2＋x.要使a>－x2＋x對任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，引申探究把例3中“x∈(0，＋∞)”改為“x∈(，＋∞)”，再求a的取值范圍.解答恒成立的不等式問題，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般轉化為最值問題：f(x)min>a來解決.任意x∈D，f(x)<a恒成立?f(x)max<a.反思與感悟跟蹤訓練3

已知ax2＋x≤1對任意x∈(0,1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解答∴a≤0.∴a的取值范圍是(－∞，0].當堂訓練√答案234512.函數(shù)f(x)＝

在[1，＋∞)上A.有最大值無最小值B.有最小值無最大值C.有最大值也有最小值D.無最大值也無最小值答案√234513.函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分別為A.4,1 B.4,0C.1,0 D.以上都不對答案√23451A.10,6 B.10,8C.8,6 D.以上都不對答案√23451√答案23451規(guī)律與方法1.函數(shù)的最值與值域、單調性之間的聯(lián)系(1)對一個函數(shù)來說，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數(shù)y＝

.如果有最值，則最值一定是值域中的一個元素.(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)