變化率問題（定）

1.1.1變化率問題萊布尼茨牛頓

17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，牛頓和萊布尼茨在前人的探索與研究的基礎(chǔ)上,幾乎同時(shí)創(chuàng)立了微積分,使它成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支.它是數(shù)學(xué)發(fā)展史上繼歐氏幾何后的又一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造,是數(shù)學(xué)史上的里程碑,是人類智慧最偉大的成就之一.

如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分．為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等;

二、求曲線的切線;

三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;

四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一,它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。

導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度．問題1氣球膨脹率

大家都玩過氣球，吹過氣球，我們都會(huì)有這個(gè)一樣感受：“氣球越來(lái)越難吹”．（假如我們每次吹氣的頻率與氣量是一樣的且氣球是標(biāo)準(zhǔn)的球體）你能否從數(shù)學(xué)角度來(lái)解釋呢？氣球膨脹圖當(dāng)吹進(jìn)去的氣體相同時(shí)，氣球膨脹越來(lái)越慢．即:氣球半徑的增加量越來(lái)越小.氣球膨脹率是刻畫氣球變化快慢的重要指標(biāo)．

(1).從表格中，你觀察到了什么？

氣球的體積V1氣球的體積V1V2-V1氣球的半徑r1氣球的半徑r2r2-r1半徑的平均變化快慢0110.0000.6200.6200.6201210.6200.7820.1610.1612310.7820.8950.1130.1133410.8950.9850.0900.0904510.9851.0610.0760.0765611.0611.1270.0660.066二、探究新知，揭示概念

實(shí)例：氣球的半徑變化問題思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，，所以，雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．thO問題1氣球膨脹率問題２高臺(tái)跳水h(t)=-4.9t2+6.5t+10.思考：如果把這兩個(gè)函數(shù)推廣到一般函數(shù)y=f(x)，平均膨脹率與平均速度統(tǒng)稱為平均變化率，你會(huì)描述f(x)在[x1,x2]的平均變化率嗎？x1＋Δx

Δy＝f(x2)－f(x1)

函數(shù)平均變化率的定義注意：x1，x2是定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，因此Δx≠0，但Δx可正也可負(fù)；Δy＝f(x2)－f(x1)是相應(yīng)Δx＝x2－x1的改變量，Δy的值可正可負(fù)，也可為零．因此，平均變化率可正可負(fù)，也可為零．直線AB的斜率AB練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=－x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則＝（）A．3B．3Δx-(Δx)2C．3-(Δx)2D．3-ΔxD例1過曲線f(x)＝x3上兩點(diǎn)P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx＝0.1時(shí)割線的斜率．例2.已知函數(shù)f(x)=x2，分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：(1)[1,3](2)[1,2](3)[1,1.1];(4)[1,1.001]解：【動(dòng)動(dòng)手】1.某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率.解：從出生到第3個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率：第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率.2.已知函數(shù)

f(x)=2x+1，g(x)=-2x,分別計(jì)算在區(qū)間[–3,–1]、[0,5]上f(x)、g(x)的平均變化率.解：函數(shù)f(x)在[－3，－1]上的平均變化率為函數(shù)f(x)在[0,5]上的平均變化率為函數(shù)g(x)在[-3,-1]上的平均變化率為函數(shù)g(x)在[0,5]上的平均變化率為

平均變化率的應(yīng)用例3甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖，試比較兩人的平均速度哪個(gè)大？解：由圖象可知甲的平均速度為：乙的平均速度為：則乙的平均速度較大.【動(dòng)動(dòng)手】甲用5年時(shí)間掙到10萬(wàn)元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬(wàn)元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果？解：甲賺錢的平均速度為乙賺錢的平均速度為．所以乙的經(jīng)營(yíng)成果比甲的好．

【當(dāng)堂檢測(cè)】1．函數(shù)f(x)＝5－3x2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為______.2．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為________.3．甲、乙兩廠污水的排放量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，治污效果較好的是________．-92乙

【當(dāng)堂檢測(cè)】4．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（）A.B.

C.D.D備選例題1.如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________．解：(1)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率：小