學年《函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)》

第3章導數(shù)及應用3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)復習引入：一般地，對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于屬于區(qū)間D的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，有問題1：函數(shù)單調(diào)性的定義怎樣描述的?

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).

(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).4.討論函數(shù)y=x2－4x＋3的單調(diào)性.定義法單增區(qū)間：(２，+∞).單減區(qū)間：(－∞，２).圖象法5.確定函數(shù)f(x)=xlnx在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)?哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)?提出問題:(1)你能畫出函數(shù)的圖象嗎?(2)能用單調(diào)性的定義嗎?試一試,提問一個學生:解決了嗎?到哪一步解決不了?（產(chǎn)生認知沖突）發(fā)現(xiàn)問題:定義是解決單調(diào)性最根本的工具,但有時很麻煩,甚至解決不了.尤其是在不知道函數(shù)的圖象的時候,如該例,這就需要我們尋求一個新的方法來解決．（1）（2）引導：隨著時間的變化,運動員離水面的高度的變化有什么趨勢?是逐漸增大還是逐步減小?如圖（1）,它表示跳水運動中高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象,圖（2）表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)的圖象.

運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?通過觀察圖象,我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）運動員從起點到最高點,離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)是增函數(shù).相應地,．（2）從最高點到入水,運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少,即h(t)是減函數(shù).相應地,．函數(shù)的單調(diào)性可簡單的認為是：說明函數(shù)的變化率可以反映函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有著密切的聯(lián)系.觀察下面函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系

2yx0.......再觀察函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導數(shù)為負;而當x=2時其切線斜率為0,即導數(shù)為0.函數(shù)在該點單調(diào)性發(fā)生改變.在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導數(shù)為正.函數(shù)在某個點處的導數(shù)值與函數(shù)在該點處的單調(diào)性的關系是：

一般地,設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,則函數(shù)在該區(qū)間

如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù).如果f′(x)<0,則f(x)在這個區(qū)間為增函數(shù);則f(x)在這個區(qū)間為減函數(shù).如果f′(x)>0,函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系:

若f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),則轉(zhuǎn)化為在(a,b)上恒成立;若f(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù),則轉(zhuǎn)化為在(a,b)上恒成立.

例1.已知導函數(shù)的下列信息:當1<x<4時，當x>4,或x<1時，當x=4,或x=1時，試畫出函數(shù)f(x)的圖象的大致形狀.xyO14

利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間．1（2）根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性步驟：1.確定函數(shù)f(x)的定義域.2.求出函數(shù)的導數(shù)f′(x)3.解不等式f′(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間;

解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.xyo例3如圖,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數(shù)關系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO

從導數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況解:(1)→(B),(2)→(A),(3)→(D),(4)→(C)

一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快,這時,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

如圖,函數(shù)在或內(nèi)的圖象“陡峭”,在或內(nèi)的圖象平緩.

有關含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題(1)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系;

如何從導數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況;數(shù)學知識：(2)求解函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟:①確定函數(shù)y=f(x)的定義域（養(yǎng)成研究函數(shù)的性質(zhì)從定義域出發(fā)的習慣）;②求導數(shù)f′(x);③得結論:f′(x)>且在定義域內(nèi)的為增區(qū)間;f′(x)<0且在定義域內(nèi)的為減區(qū)間．數(shù)學思想：數(shù)形結合和轉(zhuǎn)化思想．(3)由函數(shù)在(a,b)上的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍:若f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),則