專題13 相似三角形的經(jīng)典模型（10大題型）（原卷版）

專題13相似三角形的經(jīng)典模型（10大題型）【題型目錄】題型一A字型相似題型二8字型相似題型三AX型相似題型四母子型相似題型五三角形內(nèi)接矩形相似題型六射影定理相似題型七旋轉(zhuǎn)相似題型八k字型相似題型九折疊相似題型十動態(tài)相似【經(jīng)典例題一A字型相似】【模型解讀】①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，P為的邊上的一點，E，F(xiàn)分別為，的中點，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．102．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．3．（2023秋·上海長寧·九年級上海市第三女子初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點D，過點D作CA的平行線，交邊AB于點E．(1)求線段DE的長；(2)取線段AD的中點M，連接BM，交線段DE于點F，延長線段BM交邊AC于點G，求的值．4．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點P時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個路燈之間的距離；(2)當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時，他在路燈AC下的影子長是多少？【經(jīng)典例題二8字型相似】【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．2．（2021秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在正方形中，點為邊上一點，且，點為對角線上一點，且，連接交于點，過點作于點，若，則正方形的邊長為cm．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形中，，點是對角線上的一動點，將沿翻折得到，直線交射線于點．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點在運(yùn)動過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請說明理由；(3)若，求的值．4．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，連接，交線段于點，若，求的值．(3)如圖2，已知拋物線的對稱軸交軸于點，與直線，分別交于、兩點．試問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【經(jīng)典例題三AX型相似】【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1、（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．2、（2022·河北石家莊·九年級期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點是線段的中點，連接并延長交線段于點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．3、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級期中）已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，連接，交于，則___________．4、（2022·湖南株洲·九年級期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．【經(jīng)典例題四母子型相似】【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當(dāng)時，，則有．1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在等邊中，，點是以為圓心，半徑為3的圓上一動點，連接，為上一點，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．242．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．3．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．4（2023·湖北襄陽·?？家荒＃┤鐖D，點E是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點D，交于F．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，求的長．【經(jīng)典例題五三角形內(nèi)接矩形相似】【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，1．（2022秋·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點E在上，于點F，，已知的面積為a，的面積為b，則矩形的面積為（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，．

（1）若四邊形為的內(nèi)接正方形，則正方形的邊長為；（2）若四邊形為的內(nèi)接矩形，當(dāng)這個矩形面積最大時，則矩形的邊長為．3．（2022秋·湖北宜昌·九年級校考期中）如圖，在中，，高．矩形的一邊在邊上，E、F兩點分別在、上，交于點H．

(1)若矩形為正方形，求該正方形的邊長．(2)設(shè)，當(dāng)x為何值時，矩形的面積最大？并求其最大值．4．（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖①，在中，，，，，動點從點出發(fā)，沿射線以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，過點作的垂線交于點，以為邊向上作矩形，點在或的延長線上，，當(dāng)點與點重合時點停止運(yùn)動，設(shè)點運(yùn)動的時間為（秒）．

(1)求的長；(2)當(dāng)平分矩形的周長時，求的值；(3)當(dāng)點在的直角邊的垂直平分線上時，直接寫出的值；(4)如圖②，當(dāng)點在的延長線上時，、分別交邊于點、，當(dāng)與圖中某個三角形全等時，求的值．【經(jīng)典例題六射影定理相似】【模型解讀】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．1、（2022秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)2、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．4、（2022秋?汝州市校級月考）中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【經(jīng)典例題七旋轉(zhuǎn)相似】【模型解讀】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．1．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點H、I，CH＝IH．則線段HI的長度為（）A．3 B．2 C．5 D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，交于點，則的長為．

3．（2022秋·江西吉安·九年級校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗．讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊都落在對角線上，展開得折痕，，連接，如圖1．

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊于點E，F(xiàn)，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對角線，若圖2中的的邊分別交對角線于點G、點H．如圖3，求的值．4．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，過點A作直線，過點B，C分別作直線l的垂線，垂足分別為點E，D．

操作探究：（1）如圖2，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段BC相交于點G，請再探究線段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；嘗試應(yīng)用：（3）在圖3中，延長線段交線段AC于點F，若，，求．【經(jīng)典例題八k字型相似】【模型解讀】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形1．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點D在半徑OB上，OD＝2DB，點E在半徑OA上，點F在弧上．則半徑OA的長為（

）A． B．2 C． D．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【經(jīng)典例題九折疊相似】1．（2021秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將長方形紙片分別沿，折疊，點D，E恰好重合于點M．記面積為，面積為，且，則的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，正方形中，，點P為射線上一個動點．連接，把沿折疊，當(dāng)點A的對應(yīng)點剛好落在線段的垂直平分線上時，的長為．

3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應(yīng)點落在邊上（點不與點，重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．4．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，已知中，，E是上的一點，，點D是線段上的一個動點，沿折疊，點C與重合，連接．

(1)求證：；(2)若點F是上一點，且，求的最小值．【經(jīng)典例題十動態(tài)相似】1．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，點、分別是邊、的中點，點是在以為圓心、以為半徑的圓弧上的動點，則的最小值等于（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，．動點M從點A出發(fā)，沿邊向點D勻速運(yùn)動，動點N從點B出發(fā)，沿邊向點C勻速運(yùn)動，連接．動點M，N同時出發(fā)，點M運(yùn)動的速度為，點N運(yùn)動的速度為，且．當(dāng)點N到達(dá)點C時，M，N兩點同時停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點B的對應(yīng)點恰好與的中點重合，則的值為．

3．（2023·江蘇淮安·?？级＃┤鐖D：已知菱形中，，點為邊上一動點，連接交外角角平分線于點，連接，，交于點．

(1)如圖，①設(shè)的度數(shù)為，直接寫出的取值范圍______；②當(dāng)點為中點時，連接，求證：；(2)如圖，過點作的平行線，且使，連接，①證明：；②當(dāng)，時，求的長．4．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接、，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點在同一直線上，且過邊的中點O，，直接寫出的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點P是正方形的邊上一動點（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點F，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．

【重難點訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖①，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC上一動點（不與點B，C重合），以AD為邊向右作等邊△ADE，邊DE與AC相交于點F，設(shè)BD＝x，CF＝y(tǒng)，若y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖②所示，則等邊三角形ABC的面積為（）A．3 B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為10的等邊中，點D在邊上，且，將含角的直角三角板（）繞直角頂點D旋轉(zhuǎn)，分別交邊于P、Q，連接，當(dāng)時，的長為（

）A．6 B． C． D．4．（2021秋·四川眉山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．6．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，∠MPN=90°，邊長為6的正方形ABCD的頂點A、B分別在邊PM、PN上移動，連接PC，Q為PC上一點，且PQ=2QC，則線段BQ長度的最小值為．8．（2021秋·四川成都·九年級四川省成都市七中育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E是邊AB的中點，連