2023-2024學(xué)年山東省泰安市高三上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)試題（附解析）

2023-2024學(xué)年山東省泰安市高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后.將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．設(shè)，則p是q成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．的值為（

）A． B． C． D．4．函數(shù)y＝1＋x＋的部分圖象大致為（

）A． B． C． D．5．有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：：xR,+=:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny:x,=sinx:sinx=cosyx+y=其中假命題的是A．， B．， C．， D．，6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．8．在下列四組函數(shù)中，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的是（

）A．，B．，C．，D．，二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則 D．10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．B．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為C．是函數(shù)的一個(gè)周期D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象11．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等比數(shù)列B．是單調(diào)遞減數(shù)列C．D．12．已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上存在極大值B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為D．若，則的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在中，若，則14．已知是第四象限角，且，則.15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.16．已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知函數(shù)，，是的導(dǎo)函數(shù).(1)已知的解集為A，集合，若，求a的值；(2)若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求a的取值范圍.18．已知函數(shù).(1)解不等式；(2)設(shè)，求在上的最值.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)若，求；(2)延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使得，若，求面積的最大值.21．某公司在年初購買了一批價(jià)值1000萬元的設(shè)備，設(shè)備的價(jià)值在使用過程中逐年減少，前5年每年年底的價(jià)值比年初減少m萬元，從第6年開始，每年年底的價(jià)值為年初的80%，已知第7年年底的設(shè)備價(jià)值為608萬元，設(shè)備運(yùn)行一段時(shí)間后需要運(yùn)行養(yǎng)護(hù)維修，前3年不需要養(yǎng)護(hù)，第4年的養(yǎng)護(hù)費(fèi)為19萬元，此后每年在上一年的基礎(chǔ)上上升25%.(1)求第n年年底設(shè)備價(jià)值的表達(dá)式；(2)當(dāng)設(shè)備價(jià)值低于當(dāng)年設(shè)備花費(fèi)的養(yǎng)護(hù)費(fèi)時(shí)，公司就于當(dāng)年年底淘汰該批設(shè)備，問公司在第幾年年底淘汰該批設(shè)備？（參考數(shù)據(jù)，）.22．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn).，過點(diǎn)和的直線的斜率為k，證明.1．B【分析】利用集合中元素的互異性，對(duì)a，b的取值進(jìn)行分類討論即可.【詳解】由題意，，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，由集合中元素滿足互異性，所以.故選：B2．A【詳解】試題分析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)必有，所以的充分條件，而當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)不一定有，所以的不必要條件，綜上所述，的充分而不必要條件，所以正確選項(xiàng)為A.考點(diǎn)：充分條件與必要條件.【方法點(diǎn)睛】判斷是不是的充分（必要或者充要）條件，遵循充分必要條件的定義，當(dāng)成立時(shí)，也成立，就說是的充分條件，否則稱為不充分條件；而當(dāng)成立時(shí)，也成立則是的必要條件，否則稱為不必要條件；當(dāng)能證明的同時(shí)也能證明，則是的充分條件．3．C【分析】根據(jù)正切和差角公式即可求解.【詳解】,故選：C4．D由題意比較函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的特征，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；當(dāng)x→＋∞時(shí)，y→＋∞，排除B.故選：D.本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，抓住函數(shù)圖象的差異是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．A【詳解】故是假命題；令但故是假命題.6．B【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，，即可判斷的大小關(guān)系，然后作差，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，且，則，則；構(gòu)造函數(shù)，，則，令，則，令，則，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，則時(shí)，有極大值，即最大值，所以，即時(shí)，，且，，則，所以；即.故選：B7．C【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，即①，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則②，由①②得，，所以，,4為周期，對(duì)于C，令，則，則為奇函數(shù)，C正確；對(duì)于A，令，則，所以不為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，即，所以不為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則所以不為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤；故選C.8．D【分析】函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為，則函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱，即函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，分別作出函數(shù)與的圖象，由圖即可得解.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為，如圖作出函數(shù)與，由圖可知函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，所以A選項(xiàng)不符題意；對(duì)于B，函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為，如圖作出函數(shù)與，由圖可知函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)不符題意；對(duì)于C，函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為，如圖作出函數(shù)與，由圖可知函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，所以C選項(xiàng)不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為，如圖作出函數(shù)與，由圖可知函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，所以D選項(xiàng)符合題意.故選：D.9．AC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由可得，對(duì)于A,由于，所以，A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，則，又，所以，故，C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：AC10．BCD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得及函數(shù)的最小正周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由圖可知，，所以，所以，故，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，故D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】構(gòu)造法得、判斷A，并可得，應(yīng)用分組求和、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，根據(jù)通項(xiàng)公式判斷單調(diào)性判斷B、C、D.【詳解】由題設(shè)，則，當(dāng)，則，則，所以是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，則，故，則，故不遞減，，在上遞增，所以，綜上，A、C、D對(duì)，B錯(cuò).故選：ACD12．BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性判斷A；求出并利用導(dǎo)數(shù)探討其性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性脫去法則“f”，再利用的單調(diào)性求出最小值判斷C；由已知結(jié)合同構(gòu)思想得，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值判斷D.【詳解】對(duì)于A，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，于是，因此在上單調(diào)遞增，在上無極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，則，即，顯然當(dāng)時(shí)，恒有，方程有兩個(gè)不同實(shí)根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，不等式，則有，，由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以實(shí)數(shù)a的最大值為，C正確；對(duì)于D，若，則，即，由，得，由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，，因此，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，從而，所以的最大值為，D正確.故選：BCD結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.13．【分析】由正弦定理求解．【詳解】由得．故．14．【分析】利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，得，即因?yàn)槭堑谒南笙藿?，即，所以，則，所以，故-215．【分析】求導(dǎo)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，由在上恒成立求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，解得，所以a的取值范圍是，故答案為；16．100【分析】根據(jù)已知遞推公式得出，，則，由此可以求出，根據(jù)，即可求得.【詳解】由，得，則，所以，則，所以，可知，所以，因?yàn)?，所以，，則，所以，又所以，所以，.故10017．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，將集合化簡(jiǎn)，再由交集的結(jié)果，列出方程，即可得到結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），.，，5為方程的根.，.（2）由題知在上有解，的對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞增，，.18．(1)(2)最小值為，最大值為5【分析】（1）由兩角和的正弦公式和倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，解不等式；.（2）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由定義域結(jié)合函數(shù)解析式求值域.【詳解】（1）.∴即，，，，.不等式的解集為（2）.，，設(shè)，則.令，則，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.在上的最小值為，最大值為5.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得是等差數(shù)列，即可求解，進(jìn)而可得，（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1），，又.數(shù)列是公差為2，首項(xiàng)為的等差數(shù)列.,即.當(dāng)時(shí)，，故.（2）時(shí)，時(shí)，.設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，..（）當(dāng)時(shí)，也符合，所以20．(1)(2)4【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理邊角互化、余弦定理分析運(yùn)算即可得解.（2）利用余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積公式、基本不等式分析運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）解：由題意，，，，∵，∴，∵，∴，∴.（2）解：如上圖，由（1）知，∵，∴，∴在中，，又知，∴.∵，∴在中，，∴，∴.∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，∴的面積最大值為4.21．(1)(2)公司應(yīng)在第14年年底淘汰該批設(shè)備【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列等比數(shù)列的定義，即可根據(jù)首項(xiàng)和公差公比求解，（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)第n年年底設(shè)備價(jià)值為萬元，，因?yàn)榍?年每年年底的價(jià)值比年初減少m萬元，所以當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，所以.又因?yàn)閺牡?年開始每年年底的價(jià)值為年初的80%，所以當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列，公比為0.8，首項(xiàng)為，所以.因?yàn)?，即，解?綜上，.（2）設(shè)第n年養(yǎng)護(hù)費(fèi)為萬元，，由題意，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，公比為，.由（1）知，時(shí)，遞減，，當(dāng)時(shí)，令，即，整理得，即.解得.公司應(yīng)在第14年年底淘汰該批設(shè)備.22．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）點(diǎn)在曲線和切線上，所以先求出點(diǎn)，然后代入，計(jì)算出，再對(duì)進(jìn)行求二階導(dǎo)數(shù)，分析在時(shí)的情況即可.（2）現(xiàn)根據(jù)的表達(dá)式化簡(jiǎn)