2022年河南省開封市南郊中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

2022年河南省開封市南郊中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知銳角丹石滿足？㈤為=tan(,4+6),則tanB的最大值為()

質播

A.2-J1B.C.2D.A

參考答案：

D

略

5

2.已知在等比數(shù)列｛a“｝中，a,+a3=10,&+%=彳，則等比數(shù)列瓜｝的公比q的值為

()

11

A.4B.2C.2D.8

參考答案：

B

考點：等比數(shù)列的性質.

專題：計算題.

分析：先設公比為q,用a,+as除以ai+a?正好等于T進而求得q.

5

解答：解：依題意，設公比為q,由于ai+a3=10,ai+a6=4,

所以q3=a/a土百...q豆,

故選B

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質.屬基礎題.

3.已知等比數(shù)列｛a｝前n項和為S,?則下列一定成立的是()

A.若a3>0,貝la?。13VoB.若at>0,貝i]azowVO

C.若a3>0,則SZOM〉。D.右a,>0,貝！|S2o”>O

參考答案：

考點：等比數(shù)列的性質.

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

分析：對于選項A,B,D可通過q=-1的等比數(shù)列排除，對于選項C,可分公比q>0,q

<0來證明即可得答案.

解答：解：對于選項A,可列舉公比q=-1的等比數(shù)列1,-1,1,-I,…，顯然滿足as

>0,但aa)i3=l>0,故錯誤；

對于選項B,可列舉公比q=-1的等比數(shù)列-1,1,-1,1-,顯然滿足a4>0,但

32011=0,故錯誤；

對于選項D,可列舉公比q=-1的等比數(shù)列-1,1,-1,1…，顯然滿足a2>0,但

52014=0,故錯誤；

對于選項C,因為a3=ai?q2>0,所以a,>0.

當公比q>0時，任意a.>0,故有SzoQO;當公比q<0時，q20,3<0,故1-q>0,1-

ai(1-q)

q2013>0,仍然有S233=1a>0,故C正確，

故選C.

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命

題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題.

4.已知拋物線G：,「一8ax（a>0］，直線I傾斜角是45,且過拋物線G的焦點，直線Z被拋

d_W=i

物線J截得的線段長是16,雙曲線C?：/的一個焦點在拋物線G的準線上，則

直線Z與尸軸的交點P到雙曲線G的一條漸近線的距離是（）

A.2B.C.D.1

參考答案：

D

-5?—，=16a=16,a=1

拋物線的焦點為（2a,0〕,由弦長計算公式有wn"50,所以拋物線的標

線方程為=8x準線方程為X=-2,故雙曲線的一個焦點坐標為〔一2,0）,即C=4,所

b=Vc2—a2'='V4—1=百y—+V3at._

以，漸近線方程為，直線?方程為V=*一&所

旦=1

以點21點p到雙曲線的一條漸近線的距離為Ml，選以

點睛：本題主要考查了拋物線與雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.先由直線過拋物線

的焦點，求出弦長，由弦長求出。的值,根據雙曲線中4瓦c的關系求出b,漸近線方程等，由

點到直線距離公式求出點P到雙曲線的一條漸近線的距離.

5.已知函數(shù)/（x）=（x-a）（x-b）（其中。>6）的圖象如右圖所示，

則函數(shù)=的圖象是（)

參考答案:

A

6.已知雙曲線4-b"b2(0<b<2)與x軸交于A、B兩點，點C(O,b),則aABC面積

的最大值為()

(A)1(B)2(C)4(D)8

參考答案：

B

由題意4A兩點為(士■。，因此

__________y嘰2

=<廿2,當且僅當b'=4一廿，即&=J5時等

號成立.故最大值為2,選B.

7.當n=3時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為

開蛤

A、30B、14C、8D、6

參考答案：

B

當k=l時，1<3,是，進入循環(huán)S=2,k=,2時，2<3,是，進入循環(huán)S=6,k=3時

3W3,是，進入循環(huán)S=14,左=4時，4$3,否，所以退出循環(huán)，所以S=14.

8.下列函數(shù)中，在區(qū)間(°,+8)上為增函數(shù)的是().

A.y=ln(x+2)B.y=~yfx+ic>一(引

1

y=x+-

D.x

參考答案:

A

略

-y----r=1(<1>O.ft>0)

9.已知雙曲線ab,過其左焦點尸作x軸的垂線，交雙曲線于4,B兩

點，若雙曲線的右頂點在以AB為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()

B.(1,2)C.12)D.(2,+8)

參考答案:

B

b2

2222

a+c>—???a+ac>c-a,e-e-2<0vc>1<e<2

由題意得a選B.

10.復數(shù)z滿足41*20=3+i,則z=()

1.1.

—I--frl

A.B.l+lC.5D.5

參考答案：

A

3+i(3+i)(l-2i)5-51

,z(l+2i)------——----——-l-i

由z(l-2】)3-1,貝l+2i(l+2i)(l21)5,故選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

%)=11。&(8-加4。

II.定義在&上的函數(shù)/(X)滿足1/。一1)一/。一2),”>(),則

/6)等于

參考答案：

-3

/(x)=tx+--4(teR)A/Og-)=

12.已知八"xL/OzngZWO,j/Pz

參考答案：

-8

13.極坐標系是以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸.已知直線L的參數(shù)方程

x=t

<

為：（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為：夕=2cosd,若直線L經過圓C的

圓心，則常數(shù)a的值為。

參考答案：

略

14.一個五面體的三視圖如圖所示，正視圖與側視圖是等腰直角三角形，俯視圖為直角梯

形，部分邊長如圖所示，則此五面體的體積為.

參考答案：

2

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】計算題.

【分析】由己知判斷出該幾何體是一個底面為直角梯形，高為2的四棱錐，根據底面上底

為1,下底為2,高為2,計算出底面積，然后代入棱錐的體積公式，即可得到答案.

【解答】解：由三視圖可得，這是一個四棱錐

底面是一個上下底分別為1和2,高為2的直角梯形，棱錐高為2

11

故V=1x萬義（1+2）X2X2=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積，其中根據三視圖判斷幾何體的形狀及相關

棱長的長度是解答的關鍵.

15.在（1+x）（2+x）s的展開式中，X：'的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

參考答案：

120

【考點】二項式系數(shù)的性質.

【分析】根據(2+x)s的展開式的通項公式，計算在(1+x)(2+x)s的展開式中含X，的

項是什么，從而求出犬的系數(shù).

【解答】解：(2+x)$的展開式的通項是

T一廣k力5-kk

，+1乜54x,

所以在(1+x)(2+x)J(2+x)5+x(2+x)'的展開式中，

含丁的項為C52-X2x-120x,

所以《的系數(shù)為120.

故答案為：120.

16.一批設備價值a萬元，由于使用磨損，每年比上一年價值降低b%,則n年后這批設備

的價值為.

參考答案：

a(1-b%)"

【考點】數(shù)列的應用.

【專題】計算題；應用題.

【分析】根據題意可知第一年后，第二年后等等每年的價值成等比數(shù)列，進而根據等比數(shù)

列的通項公式求得答案.

【解答】解：依題意可知第一年后的價值為a(1-b%),第二年價值為a(1-b%)2,依

此類推可知每年的價值成等比數(shù)列，首項a(1-b%)公比為1-b%,進而可知n年后這批

設備的價值為a(1-b%)”故答案為a(1-b%)"

【點評】本題主要考查了數(shù)列的應用.解題的關鍵是利用已知條件求得數(shù)列的通項公式.

與黑(b€R,i為虛數(shù)單位)

17.若復數(shù)1+21的實部和虛部互為相反數(shù)，則6=—.

參考答案：

_2

【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

【專題】計算題；方程思想；數(shù)學模型法；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由實部和虛部互為相反數(shù)求得b值.

2-bi(2-bi)(2-2b)-(b+4)i

【解答】解：l+2i-(l+2i)(l-2i)5,

由題意可得：2-2b=b+4,

__2

解得：b=3.

__2

故答案為：3.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是

基礎題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.如圖，在多面體A2C3EF中，底面ABC3是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,四邊形

BDE尸是矩形，平面BOEF_L平面ABC￡>,DE=2,M為線段B尸上一點，且。M_L平面

ACE.

(1)求的長；

(2)求二面角A-DM-B的余弦值的大小.

參考答案:

(1)1；(2)4.

【分析】

(1)根據DM,平面ACE,找出線線垂直，在平面四邊形皮生。中根據垂直關系求得線

段長度；

(2)由題可知直線zc垂直于平面a/)",故可過zc與ao中點作/w垂線，找到二

面角的平面角，從而在三角形中求解角度的大小即可.

【詳解】(1)記置與R/J的交點為。，連接os,如下圖所示：

因為ZJMJ_平面ZEC,QEu平面Z&C,

故

又因為ZW〃口，可以確定一個平面，故卷均在平面屬初中;

因為四邊形ZBCD是菱形，且故可得JM)=ZA=2；

故在矩形刖初中：

因為與故可得NOMB=NEQD,

又因為ZMM=ZEDO,HD-DE-2,

…八UM=DO=-BD=\

故可得三AfllO,故可得2

即也“二】.

(2)記尼。與O"的交點為"，連接皿，如下圖所示：

因為四邊形Z8CD為菱形，故可得ZCLBD,

又因為平面BZ）EF_L平面ABCD,且平面^。底/口平面ABCD=BD

且NCu平面d5CD,AClJfD,

故可得ZO_L平面DMA：

由（1）可知的_LQ”,故NO曲即為二面角A-OM-8的平面角;

=—=1mZMDB二苴

在ADMT中，容易知8。2,故5

““加且=竺="OH=&

在ADHO中,又5OD\,解得5

加=與的=6

在菱形中,容易知2

▲.OH=—cAH=----

故在AB/人僅JZWW中，因為5,AO->J3,故由勾股定理可得5,

cosZOHA=—

故AH4.

二面角A-DM-B的余弦值的大小為4.

【點睛】本題考查由線面垂直求解線段的長度，以及二面角大小的求解，屬綜合性中檔題.

19.（本題滿分15分）設"鳥是橢圓C：戶+戶"的左、右焦點,

A、B分別為其左頂點和上頂點，耳乃是面積為6的正三角形

（I）求橢圓C的方程;

（H）過右焦點外的直線？交橢圓c于W兩點，直線期、的分別與已知直線

x=4交于點F和Q,試探究以線段尸0為直徑的圓與直線？的位置關系.

參考答案：

（）是面積為的正三角形

?I---△BFXF273

旦

分

4

石2

則

Xa分

2，

橢圓C的鹿為￡+￡=1...............。分

43

（II）根據題意可知，苜裝/斜率不為0

設直線/方程為：x=my+lAf（xjyxhA^x2,j2）

由卜x+4j'=1-得：（3小少2+6p_g=。

（x=mv+1

I-6m

IJl+J2=-一~；

又設點R4/P）.g（4,y0）v同理,

6幾

p,+3..10

分

(4八%》

線段PQ的中點D，2'即6-3E),

2

則D到直線？的距離為d=Wm+l.12分

95f）

以PQ為直徑的圓的半徑（碼+3）（研+3）

9j3[+也產一4,必

*n2/i/a+3m（n+/2）+9

14分

因為d-r,所以，以&為直徑的圓與直線？相切。.....................15分

略

20.已知函數(shù)f(x)=*x+1|+|x-31-in的定義域為R.

(I)求實數(shù)m的取值范圍.

2____

(II)若m的最大值為n,當正數(shù)a、b滿足3a+b+a+2b=n時，求7a+4b的最小值.

參考答案：

考點：基本不等式；函數(shù)的定義域及其求法.

專題：不等式的解法及應用.

分析：(1)由函數(shù)定義域為R,可得|x+l+|x-3|-m》0恒成立，設函數(shù)g(x)

=|x+l|+|x-3|,利用絕對值不等式的性質求出其最小值即可;

-(6a+2b+a+2b)(—^—4——)

(2)由(1)知n=4,變形7a+4b=43a+ba+2b,利用基本不等式

的性質即可得出.

解答：解：(1)???函數(shù)定義域為R,

/.Ix+1+|x-31-m20恒成立，

設函數(shù)g(x)=|x+l+|x-3,則m不大于函數(shù)g(x)的最小值，

又|x+l+|x-32|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值為4,.?.mW4.

(2)由(1)知n=4,

士(6a+2b+a+2b)(1(2(3a+b)2(a+2b))

A7a+4b=4a+2b3a+b

*2X2^^)4

3

當且僅當a+2b=3a+b,即b=2a=10時取等號.

9

...7a+4b的最小值為W

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、絕對值不等式的性質、基本不等式的性質、“乘1

法”，考查了推理能力與計